西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第十章 λ矩阵

习题10.1解答 1设λ矩阵A(=diag(d(),d(0),,d5(λ).如果d)d+()j=1,2,3,4,求的前三项行列式因 解A0)的1阶行列式因子显然为d(0),2阶行列式因子显然为d()d2(入,3阶行列式因子 显然为d1()d2(入d(),4阶行列式因子显然为d1()d2(d()d4),5阶行列式因子显然为 di()d2(a)d3 ()da()ds(n 2设λ矩阵 -1 222+2-4 22+2-32-132+2-3 把A()写成A22+A1+A0的形式,其中A2,A1,A0都是数字矩阵,又将(A()2也写成上述 形式 002 解A()=|2042+3A3A3 203元 222 001 111 l-2-4 103 (A()2=(A22+A1+A02 A2x+(A2A1+A1A2)x3+(A2A4+A1A1+A42)2+(A1A0+A0A1)+A2 103 4210 35-18 3-20-27 01324+1593322+-212-25z2 3010 11723 27-17 8-22-36 211026 +271741 161126 3求 Jordan块J0,n)的平方的特征矩阵的各阶行列式因子 解

习题 10.1 解答 1.设λ矩阵 A(λ)=diag(d1(λ), d2(λ),..., d5(λ))．如果 dj(λ)|dj+1(λ),j=1,2,3,4，求λ的前三项行列式因 子． 解 A(λ)的 1 阶行列式因子显然为 d1(λ), 2 阶行列式因子显然为 d1(λ)d2(λ), 3 阶行列式因子 显然为 d1(λ)d2(λ)d3(λ), 4 阶行列式因子显然为 d1(λ)d2(λ)d3(λ)d4(λ), 5 阶行列式因子显然为 d1(λ)d2(λ)d3(λ)d4(λ)d5(λ)． 2.设λ矩阵 A(λ)=                     2 3 2 1 3 2 3 3 4 3 2 4 3 5 1 2 4 2 2 2 2 2               把 A(λ)写成 A2λ 2+A1λ+A0的形式，其中 A2 ，A1，A0都是数字矩阵，又将(A(λ)) 2也写成上述 形式． 解 A(λ)=       2 2 2 2 2 0 3 0 4 0 0      +                2 2 2 3 3 3 +                3 1 3 4 2 5 1 2 4 = 2 1 0 3 1 0 4 0 0 1        +        2 2 2 3 3 3 1 1 1 +                3 1 3 4 2 5 1 2 4 (A(λ)) 2=(A2λ 2+A1λ+A0) 2 = 2 1 0 0 1 0 2 2 0 1 1 0 2 3 2 1 1 2 2 4 2 A   (A A  A A )  (A A  A A  A A )  (A A  A A )  A = 4 3 0 10 4 0 13 1 0 3        + 3 11 7 23 15 9 33 4 2 10        + 2 2 7 17 2 12 25 3 5 18             +                28 22 36 44 35 56 23 20 27 +       16 11 26 27 17 41 21 10 26 3.求 Jordan 块 J(0,n)的平方的特征矩阵的各阶行列式因子． 解

000 000 000 (J0n)2=010…000 000 00元0:00 00 0-0:00 000 AE-(J(0,n) 000 020 0 10 n阶行列式因子为.有一个n-2阶子式等于(-1)2,所以n-2阶行列式因子为1.阶数 小于n2的行列式因子均为1 n-1阶行列式因子一定整除n阶行列式因子,且因为只有n2个-1,要使n-1阶子式不 为零,必须有λ,但多一个λ,就会少一个-1.可以从第2行开始,偶数行取λ,奇数行取-1 相乘,当n为奇数时,乘的结果取正号时为入m12;当n为偶数时,乘的结果取正号时为m2.所 以当n为奇数时,A的n-1阶行列式因子为m12;当n为偶数时,A的n-1阶行列式因子为 10.2习题解答 求A的特征矩阵的不变因子组 308 4210 ①A=3-16 ②-437 20-5 解①AEA=-3+1-6-04+1 3/21+3/2 04+5)(00-1/2(-3)(+5)-8 10 200 10 0A+1 02+1 00(x-3)+5)+16(00(x+1)2 A的不变因子组为{1,+1,(+1)}

(J(0,n)) 2=       0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                              0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( (0, )) 2             E J n n 阶行列式因子为λ n．有一个 n-2 阶子式等于(-1) n-2，所以 n-2 阶行列式因子为 1．阶数 小于 n-2 的行列式因子均为 1． n-1 阶行列式因子一定整除 n 阶行列式因子，且因为只有 n-2 个-1，要使 n-1 阶子式不 为零，必须有λ，但多一个λ，就会少一个-1．可以从第 2 行开始，偶数行取λ，奇数行取-1 相乘，当 n 为奇数时，乘的结果取正号时为λ (n-1)/2；当 n 为偶数时，乘的结果取正号时为λ n/2．所 以当 n 为奇数时，A 的 n-1 阶行列式因子为λ (n-1)/2；当 n 为偶数时，A 的 n-1 阶行列式因子为 λ n/2． 10.2 习题解答 1.求 A 的特征矩阵的不变因子组： ①A=         2 0 5 3 1 6 3 0 8 ②          3 1 7 4 3 7 4 2 10 解 ① λE-A=             2 0 5 3 1 6 3 0 8    →              0 0 1/ 2( 3)( 5) 8 0 1 3/ 2 3/ 2 2 0 5                0 0 ( 3)( 5) 16 0 1 0 1 0 0    →         2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0   A 的不变因子组为{1，λ+1，(λ+1) 2}．

λ+4-2-10)(01/3A-2/3 ②AEA=42-3-7→04-5/34/32+7/3 12-7)(3 10 0A-5/3 4/32+7/3→034-5-42+7 01/3-2/3 0A-2 10 A的不变因子组为{1,1,(-1)} 2求A()的标准形: ①A()=2+7-1A+1 32-3λ-1+1 2A3+22-2x4-2元-2 ②A()=x2-223 22-223--+1 22-A0 ③AO)02-10 0A(2-1) 解 100 ①A)-2+7A-1A+1A-1-010 3x2-3-1+1)(002 222x ②Ax2-2x3 00 +1 00(-1) 22-20 22-22-10 0A(-1) 0 0A(2-1) +1x2-10 2+122-1 0 23+A0 0A(-1) 0(2-1)

② λE-A=              3 1 7 4 3 7 4 2 10    →              3 1 7 0 5 / 3 4 / 3 7 / 3 0 1/ 3 2 / 3 10     →            0 1/ 3 2 / 3 10 0 5 / 3 4 / 3 7 / 3 1 0 0    →            0 2 30 0 3 5 4 7 1 0 0    →        3 0 0 ( 2) 0 1 0 1 0 0  A 的不变因子组为{1，1，(λ-1) 3}． 2.求 A(λ)的标准形： ① A(λ)=               3 3 1 1 7 1 1 1 2 0 0 2 2        ② A(λ)=                 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 4             ③A(λ)=          2 2 2 0 0 ( 1) 0 1 0 0 0      解 ① A(λ)=               3 3 1 1 7 1 1 1 2 0 0 2 2        →       0 0  0 1 0 1 0 0 ② A(λ)=                 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 4             →       0 0 ( 1) 0 0 1 0 0    ③A(λ)=          2 2 2 0 0 ( 1) 0 1 0 0 0      →           2 2 2 2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0       →              2 2 2 2 0 0 ( 1) 1 1 0 1 1 0       →             2 3 2 0 0 ( 1) 0 0 1 1 0      

+1 00 0 00 030030 00 A(2-1) 0(-1) +1 23+ 22+2A 2+2A-23+2 (2-1)2 1-1 0 0A(2-1) 0(-1)2-1/2A(+1)(-1) 0 A(A+1)(-1)2 习题10.5解答 1.如果矩阵A的不变因子组如下,求矩阵A的若当标准形 ①{1,1,(x-1),(2-1)3 ②{1,1,1,(-1)入-1)3} ③{1,1,1,1,1,(4+1)2,(+1)2,(+2)2(-3)2} 解①A的初等因子组为(0-1),(2-1)3},A的若当标准形为 000 110 000 ②A的初等因子组为{(入-1)4},A的若当标准形为 1100 ③A的初等因子组为{(2+1)2,(2+1)2,(+2)2,(-3)2},A的若当标准形为 20000 0-200 0000 0000 00000 0-20 0000 00000031 0 0 2求下述矩阵的若当标准形

→            2 3 0 0 ( 1) 0 0 1 0 0      →              2 3 3 0 0 ( 1) 0 1 0 0        →              2 3 2 0 0 ( 1) 0 2 2 1 0 0        →              0 ( 1) 0 0 2 2 1 0 0 2 2 3        →              2 2 2 0 ( 1) 1/ 2 ( 1)( 1) 0 2 2 0 1 0 0         →           2 0 0 ( 1)( 1) 0 ( 1) 0 1 0 0       习题 10.5 解答 1. 如果矩阵 A 的不变因子组如下，求矩阵 A 的若当标准形． ①{1，1，(λ-1)，(λ-1) 3} ②{1，1，1，(λ-1)(λ-1) 3} ③{1，1，1，1，1，(λ+1) 2，(λ+1) 2，(λ+2) 2(λ-3) 2} 解 ①A 的初等因子组为{(λ-1)，(λ-1) 3}，A 的若当标准形为 J=       0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ②A 的初等因子组为{(λ-1) 4}，A 的若当标准形为 J=       0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ③ A 的初等因子组为{(λ+1) 2，(λ+1) 2，(λ+2) 2，(λ-3) 2}，A 的若当标准形为 J=             0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2.求下述矩阵的若当标准形．

308 2 ①3-16 20 4431 314 077 03 536 ④-253 14-10 4-1 002 17-6-10 8 10 解①入E-A=-3元+1-6 0A+1 00(+1)2 A的初等因子为{(2+1)(2+1)2},A的若当标准形为 10 00 +4-2-10 3 12-7 ②EA=4-3-7 4A-3-7 1 -7 03元-52-102+14 24+4-10)(0-2-2A+4 0 100 03-522-10+14-01x2-4+2→010 2+4 A的初等因子为{(2-2)},A的若当标准形为 200 012 00 ③E-A=1A-8-6 00 -214A+1 00(2+1 A的初等因子为{,(+1)2},A的若当标准形为

①         2 0 5 3 1 6 3 0 8 ②          3 1 7 4 3 7 4 2 10 ③          2 14 10 1 8 6 0 3 3 ④           4 4 2 2 5 3 1 4 3 ⑤           17 6 1 0 7 1 2 1 4 1 0 0 3 1 0 0 解 ① λE-A=             2 0 5 3 1 6 3 0 8    →         2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0   A 的初等因子为{(λ+1),( λ+1) 2}，A 的若当标准形为 J=          0 1 1 0 1 0 1 0 0 ② λE-A=              3 1 7 4 3 7 4 2 10    →              4 2 10 4 3 7 3 1 7    →             2 4 10 3 4 7 1 3 7    →              0 2 2 4 0 3 5 10 14 1 3 7 2       →             0 2 2 4 0 3 5 10 14 1 0 0 2      →            0 2 2 4 0 1 4 2 1 0 0 2     →        3 0 0 ( 2) 0 1 0 1 0 0  A 的初等因子为{(λ-2) 3}，A 的若当标准形为 J=       0 1 2 1 2 0 2 0 0 ③ λE-A=            2 14 10 1 8 6 3 3    →        2 0 0 ( 1) 0 0 1 0 0   A 的初等因子为{λ，(λ+1) 2}，A 的若当标准形为

01 +1-4 3 2A-5-3 2-5-3 4 -5 0 0-1/2(2-42+3)3/2(2+1)-0(x2-42+3)-(2+1 2-6 1-4 022-6 0 0 02-24-3-5→0-522-2-3 -62-4)(02-42x-6 0 0-5 22-2-3 00(-3)( 10 3+i√153-i15 )( ⑤EA=42+1 001010 1-2-100(2-1) A的初等因子为{(-1)2,(-1)2},A的若当标准形为 1000 0010 3设A∈ Matnxn(C,证明A的不变因子组中的最后一个不变因子恰是A的最小多项式 证设A的初等因子组为(-1),(-入2)2,….、(-λ},则A的特征多项式为 f()=(-)y2(-2)2.(-入s=s 其中 入s中有些是相同的,当入和相同,则去掉(0-严,(-門,中指数较小的 一个,不妨设λ1,22,…,λ4中互不相同,且在{(0-),(-2y2,.0-)严=)对应最大指数, m(x=(x-2)(x-A2)严2.(xA)严

J=         0 1 1 0 1 0 0 0 0 ④ λE-A=              4 4 2 2 5 3 1 4 3    →              4 4 2 1 4 3 2 5 3    →               0 2 6 4 0 1/ 2( 4 3) 3/ 2( 1) 2 5 3 2       →             0 2 6 4 0 ( 4 3) ( 1) 1 0 0 2      →            0 2 6 4 0 2 3 5 1 0 0 2     →            0 4 2 6 0 5 2 3 1 0 0 2     →               ) 2 3 15 )( 2 3 15 0 0 ( 3)( 0 5 2 3 1 0 0 2 i i      →            ) 2 3 15 )( 2 3 15 0 0 ( 3)( 0 1 0 1 0 0 i i    ⑤ λE-A=                  17 6 1 7 1 2 1 4 1 0 0 3 1 0 0 →         2 2 0 0 0 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 1 0 0 1 0 0 0   A 的初等因子为{(λ-1) 2，(λ-1) 2}，A 的若当标准形为 J=       0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 3.设 A∈Matn×n(C)．证明 A 的不变因子组中的最后一个不变因子恰是 A 的最小多项式． 证 设 A 的初等因子组为{(λ-λ1) n1，(λ-λ2) n2，... ,(λ-λs) ns}，则 A 的特征多项式为 f(λ)= (λ-λ1) n1(λ-λ2) n2 ...(λ-λs) ns 其中λ1，λ2，...，λs 中有些是相同的，当λi和λj 相同，则去掉(λ-λi) ni，(λ-λj) nj，中指数较小的 一个，不妨设λ1，λ2，...，λt 中互不相同，且在{(λ-λ1) n1，(λ-λ2) n2，... ,(λ-λs) ns}对应最大指数， 令 m(x)= (x-λ1) n1(x-λ2) n2 ...(x-λt) nt

设A的若当标准形为J,则存在可逆矩阵C使A=ClJC,显然 m(A)=C-m()C=C-OC=0 假设A的最小多项式为m(x),则m(x)m(x),根据初等因子与若当块的对应关系知,假若 m(x)=(x1P2(x2)2.(xλ严的次数比m(x)小不妨设pl<nl,则m(J= (J-λEP(J-λ2E严2.(J-AE),右边各项中第一个若当块对应的分块对角阵都不为零,从而m(J) 不为零,所以m(A)不为零,矛盾,故m(x)是A的最小多项式 4求(J(0n)2的若当标准形 解在习题10.1的第3题中得(J(0,n)2的n阶行列式因子为入;n-2阶行列式因子为1.阶 数小于n-2的行列式因子均为 当n为奇数时,(J(0,n)2的n-1阶行列式因子为m2;当n为偶数时,(O,n)2的n-1阶 行列式因子为入n 所以当n为奇数时,(O,n)2的初等因子组为m12,m2},对应的若当标准形为 diag(J(0,(n-1)2,J0,(m+1)2);当n为偶数时,(J(0,n)2的初等因子组为m2,2m2},对应的 若当标准形为diag(J(0,n2)J(0n/2)

设 A 的若当标准形为 J，则存在可逆矩阵 C 使 A=C -1JC，显然 m(A)=C -1m(J)C =C -10C=0 假设 A 的最小多项式为 m1(x),则 m1(x)|m(x)，根据初等因子与若当块的对应关系知，假若 m1(x)= (x-λ1) p1(x-λ2) p2 ...(x-λt) pt 的 次 数 比 m(x) 小 不 妨 设 p1<n1 ， 则 m1(J)= (J-λ1E) p1(J-λ2E) p2 ...(J-λtE) pt，右边各项中第一个若当块对应的分块对角阵都不为零，从而 m1(J) 不为零，所以 m1(A)不为零，矛盾．故 m(x)是 A 的最小多项式． 4.求(J(0,n)) 2的若当标准形． 解 在习题 10.1 的第 3 题中得(J(0,n)) 2的 n 阶行列式因子为λ n；n-2 阶行列式因子为 1．阶 数小于 n-2 的行列式因子均为 1． 当 n 为奇数时，(J(0,n)) 2的 n-1 阶行列式因子为λ (n-1)/2；当 n 为偶数时，(J(0,n)) 2的 n-1 阶 行列式因子为λ n/2． 所以当 n 为奇数时，(J(0,n)) 2 的初等因子组为{λ (n-1)/2，λ (n+1)/2}，对应的若当标准形为 diag(J(0,(n-1)/2),J(0,(n+1)/2))；当 n 为偶数时，(J(0,n)) 2 的初等因子组为{λ n/2，λ n/2}，对应的 若当标准形为 diag(J(0,n/2),J(0,n/2))．