本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信息0601-02数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 (10分)设η,n2,…,ns,ns,…,nst是线性空间的元素,证明: t+rank({n,n2,…,ns})≥rank({n,n2,…,ns,ns,…,nst}) 证记V1=Span(m,n2,…,ns),V2=Span(n+1,…,ns+), 则V1+V2=Span(n,n2,…,ns,np+1,…,nst) 因为dim(V1+V2)=dm(V1)+dim(V2)-dim(Vnv2)≤dm(V+dim(V2)≤dim(V)+t 所以rank({n,n2,…,ns,ns+1,…,npt})≤dm(V1)+t= t+rank({n,n2,…,ns}) (12分)在F中,求由基(I)到基(I)的过渡矩阵 (Ⅲ1):{a1= 0 (){B1=4B2=53 388 解β1=4=11+31-10 (3分) (3分) :=-8|=31-51+00 (3分) 11-3 ()到基()的过渡矩阵A-34-5 、(此题12分,每小题6分)①设()(Ⅲ,(Ⅵ)是线性空间V的三个基.如果 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信息 0601-02 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 一、（10 分）设η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t是线性空间 V 的元素，证明： t+rank({η1，η2，…，ηs})≥rank({η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t})． 证 记 V1= Span(η1，η2，…，ηs) ，V2 = Span(ηs+1，..., ηs+t), 则 V1+V2=Span(η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t) 因为 dim(V1+ V2)= dim(V1)+dim(V2) -dim(V1∩V2)≤dim(V1)+dim(V2)≤dim(V1)+t 所以 rank({η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t})≤dim(V1)+t= t+rank({η1，η2，…，ηs}) 二、（12 分）在 F 3中，求由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵． (Ⅲ)： 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 (Ⅱ)： 8 8 3 , 3 5 1 , 3 4 1 1 2 3 解 β1= 3 4 1 =1 1 1 1 +3 1 1 0 -1 1 0 0 (3 分) β2= 3 5 1 =1 1 1 1 +4 1 1 0 -2 1 0 0 (3 分) β3= 8 8 3 =-3 1 1 1 -5 1 1 0 +0 1 0 0 (3 分) (Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵 A= 1 2 0 3 4 5 1 1 3 (3 分) 三、（此题 12 分，每小题 6 分）①设(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)是线性空间 V 的三个基．如果
从(I)到(ⅢD)的过渡矩阵是A,从(Ⅲ到(Ⅵ)的过渡矩阵是B,求从()到(Ⅵ)的过渡 矩阵 解设V的维数为n,三个基()(Ⅲ(Ⅵ)分别为():{a1,a2,,an},():{B1, B2,…Bn},(m):{y,y2,…,m},则有 (β1,B32,…,Bn)=(a1,02,,axn)A (Y1,y2,…,yn)=(β1,β2,…,Bn)B=(a,a2,,n)AB 所以从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵为AB ②设是3维线性空间V的线性变换,设():{B1,2,β3}是V的一个基, 在(Ⅱ)下的矩阵是A=1-22,求a(21B2+5B)在基(Ⅱ)下的坐标 41-1 解因为o(β1,β,β3)=(B1,B2,β3)A 2 所以(2P+2+5B)=0(B1,B,B)-1=(,B,B3)A-1 3分 2)(03-1(2 0(2B-1+5)在基(Ⅱ)下的坐标A-1|11-221-1|-14 (3分) 5)(41 四、(12分)设A=-2-24,求矩阵A的所有特征值和属于每一个特征值 的特征子空间的一个基 12 解令EA=22+2-4=0 4+2 得入1=入2=2,λ3=-7 4分) xI 解方程组(EA)X=0,即24-4x2-10 得入1=λ2=2的特征子空间的一个基 2 4分) x 解方程组(7EA)X=0,即2-5-4x2|-0 2-4-5八(x3)(0 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 从(Ⅱ)到(Ⅲ)的过渡矩阵是 A，从(Ⅲ)到(Ⅵ)的过渡矩阵是 B，求从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡 矩阵． 解 设 V 的维数为 n，三个基(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)分别为(Ⅱ)：{α1,α2,...,αn}，(Ⅲ)：{β1, β2, ...,βn}，(Ⅲ):{γ1, γ2, ...,γn}，则有 (β1, β2, ...,βn)=(α1,α2,...,αn)A (γ1, γ2, ...,γn)=(β1, β2, ...,βn)B=( α1,α2,...,αn)AB 所以从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵为 AB． ②设σ是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅱ)：{β1，β2，β3}是 V 的一个基，σ 在(Ⅱ)下的矩阵是 A= 4 1 1 1 2 2 0 3 1 ，求σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标． 解 因为σ(β1，β2，β3)=(β1，β2，β3)A 所以σ(2β1-β2+5β3)= σ (β1，β2，β3) 5 1 2 = (β1，β2，β3)A 5 1 2 （3 分） σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标 A 5 1 2 = 4 1 1 1 2 2 0 3 1 5 1 2 = 2 14 8 （3 分） 四、（12 分）设 A= 2 4 2 2 2 4 1 2 2 ，求矩阵 A 的所有特征值和属于每一个特征值 的特征子空间的一个基． 解 令 |λE-A|= 2 4 2 2 2 4 1 2 2 =0 得λ1=λ2=2，λ3= -7， （4 分） 解方程组(2E-A)X=0，即 2 4 4 2 4 4 1 2 2 3 2 1 x x x = 0 0 0 得λ1=λ2=2 的特征子空间的一个基 ξ1= 1 0 2 ，ξ2= 0 1 2 （4 分） 解方程组(-7E-A)X=0，即 2 4 5 2 5 4 8 2 2 3 2 1 x x x = 0 0 0
得入=7的特征子空间的一个基 4分) 五、(此题12分,每小题6分)①设A= 其中B是r×r矩阵,H是s×s 0 H 矩阵.证明:H的最小多项式是A的最小多项式的一个因子 证显然A-/BG,其中G是一个rxs矩阵,设A的最小多项式为 0 H mA a(x)=x*+ak-Ixk-I+tar x+ao 则 mA(A m4(B) 0 从而mA(H=0.设m(x)是H的最小多项式,则m(x)是mA(x)的一个因子 ②设V是一个F上的线性空间,∈g(V),o的最小多项式m(),设h()∈ F[D].证明:如果(mO)h(入)=1,则h(o是可逆的 证如果(m(),h()=1,则存在多项式v()v2(λ),使 vO)m()+v1()h()=1 从而v(o)m(G+v1(oh(G=idv 因为m(=0 所以v(o)h(o)=idv 考虑多项式的交换性知v(o)是h(o的逆变换 六、(12分)设σ∈出(V),dm(V)=n,并且σ在基{β,B2,,Bm}下的矩阵是J(λo,n).证 明:①如果W≠{0}是一个σ子空间,则βn∈W.②V不可能是两个非平凡的子空 间的直和 证①如果W是G子空间,它必然也是(Gd)不变子空间,且 (σ-id)(β)=βr+1 取a∈W,a≠0,可表示为 a=kian+ k202+.+ kna 设k是不为零的系数中下标最小的一个,则有 a=ksas+ ks+1as+1+.+ kna 用(σ-id)s对上式两端变换得 (o-id)n-s(a)=ksBn 由于k≠0,上式左端属于W,所以β属于 (8分) 证②假设V是两个非平凡的子空间W,U的直和,根据①知,Bn∈W,Bn∈U, 矛盾.所以Ⅴ不可能是两个非平凡的子空间的直和 (4分) 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 得λ3=-7 的特征子空间的一个基 ξ3= 2 2 1 （4 分） 五、（此题 12 分，每小题 6 分）① 设 A= H B G 0 ，其中 B 是 r×r 矩阵，H 是 s×s 矩阵．证明：H 的最小多项式是 A 的最小多项式的一个因子． 证 显然 Ak= k k k H B G 0 ，其中 Gk是一个 r×s 矩阵，设 A 的最小多项式为 mA(x)=x k+ak-1 x k-1 +...+a1 x 1 + a0 则 mA (A)= 0 ( ) ( ) ' m H m B G A A = 0 0 0 0 从而 mA (H)=0．设 mH(x)是 H 的最小多项式，则 mH(x)是 mA (x)的一个因子． ② 设 V 是一个 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，σ的最小多项式 m(λ)，设 h(λ)∈ F[λ]．证明：如果(m(λ),h(λ))=1，则 h(σ)是可逆的． 证 如果(m(λ),h(λ))=1，则存在多项式 v1(λ),v2(λ)，使 v1(λ) m(λ)+v1(λ)h(λ)=1 从而 v1(σ) m(σ)+v1(σ)h(σ)=idV 因为 m(σ)=0 所以 v1(σ)h(σ)=idV 考虑多项式的交换性知 v1(σ)是 h(σ)的逆变换． 六、（12 分）设σ∈ℒ(V)，dim(V)=n，并且σ在基{β1, β2,..., βn}下的矩阵是 J(λ0,n)．证 明：①如果 W≠{0}是一个σ子空间，则βn∈W．②V 不可能是两个非平凡的子空 间的直和． 证 ① 如果 W 是σ子空间，它必然也是(σ-id)不变子空间，且 (σ-id)( βj)= βj+1 取α∈W，α≠0，可表示为 α=k1α1+ k2α2+...+ knαn 设 ks是不为零的系数中下标最小的一个，则有 α=ksαs+ ks+1αs+1+...+ knαn 用(σ-id) n-s 对上式两端变换得 (σ-id) n-s (α)= ksβn 由于 ks≠0，上式左端属于 W，所以βn属于． （8 分） 证 ② 假设 V 是两个非平凡的子空间 W，U 的直和，根据①知，βn∈W，βn∈U， 矛盾．所以 V 不可能是两个非平凡的子空间的直和． （4 分）
七、(10分)设A=3-16,求矩阵A的若尔当标准形 20-5 -30 10 解E-A=-34+1-6-04+10 (6分) 02+5)(00(+1)2 A的初等因子为{(+1)(+1)},A的若当标准形为 100 (4分) 01 八、(此题10分)用施密特正交化的方法,将=1,P2=2,B=3标准正交 3 化 解正交化得a1=B1=1 (1分) βz (3分) (a12a1) 0=、(B、a)a1(a2)9 )(B3,a2) 13 4(3分) 单位化得n 2ma2= (3分) 3√14 九、(10分)设Ⅴ是一个欧几里得空间,τ是V的一个反对称变换.证明:如果λ 是τ的一个实特征值,则λ是0. 证如果λ是τ的一个实特征值,则有特征向量n≠0,使 n=人on 从而(mnn)=(on,n)=0(n,n 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 七、（10 分）设 A= 2 0 5 3 1 6 3 0 8 ，求矩阵 A 的若尔当标准形． 解 λE-A= 2 0 5 3 1 6 3 0 8 → 2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0 （6 分） A 的初等因子为{(λ+1),( λ+1) 2}，A 的若当标准形为 J= 0 1 1 0 1 0 1 0 0 （4 分） 八、（此题 10 分）用施密特正交化的方法，将β1= 1 1 1 ，β2= 3 2 1 ，β3= 9 3 1 标准正交 化． 解 正交化得 α1= β1= 1 1 1 （1 分） α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , ) = 3 2 1 1 1 1 3 6 = 1 0 1 （3 分） α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 3 2 ( , ) ( , ) = 9 3 1 1 1 1 3 13 1 0 1 2 8 = 2 4 22 3 1 （3 分） 单位化得 η1= 1 1 1 = 1 1 1 3 1 η2= 2 2 1 = 1 0 1 2 1 η3= 3 3 1 = 1 2 11 3 14 1 （3 分） 九、（10 分） 设 V 是一个欧几里得空间，τ是 V 的一个反对称变换．证明：如果λ0 是τ的一个实特征值，则λ0是 0． 证 如果λ0是τ的一个实特征值，则有特征向量η≠0，使 τη=λ0η 从而 (τη,η)=(λ0η,η)=λ0(η,η)
(n, tn)=(n, hon)=ho(n, n) 由τ是V的一个反对称变换,得 o(n,n)=-(n,n) 所以入=0 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 (η, τη)=(η, λ0η)=λ0(η,η) 由τ是 V 的一个反对称变换，得 λ0(η,η)=- λ0(η,η) 所以λ0=0．
