一大 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(1) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: 计算行列式(12分) 600 0 +11 002015 +2a+2a+2a+2 0a22 解:(1)d4= (a+2 =a2(a2-4) 000a 600 900 =72-30+700-270=472 002015 00183 (10分)已知A=120且AB+E=A,试求矩阵B 解:B=A(A-E)=-1/21/20110|=1/21/20 1/2-1/61/3|-112 1/21/62/3 三、(12分)已知a=(1,1,-1),B=(1,2,3),试求: ①aBT ②aTB ③(aTB) 解:aB B=123] (ap)2=123123=000 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(1) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、计算行列式（12 分） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 a a a a d 0 0 18 35 0 0 20 15 5 9 0 0 8 6 0 0 d4 解：(1) 2 2 2 4 ( 4) 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 1 1 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a d (2) 0 0 18 35 0 0 20 15 5 9 0 0 8 6 0 0 d4 =72-30+700-270=472 二、（10 分）已知 1 1 3 1 2 0 1 0 0 A 且 AB+E=A，试求矩阵 B。 解： 1/ 2 1/ 6 2 / 3 1/ 2 1/ 2 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1/ 2 1/ 6 1/ 3 1/ 2 1/ 2 0 1 0 0 ( ) 1 B A A E 三、（12 分）已知α=(1,1,-1),β=(1,2,3)，试求： ①αβT ②αTβ ③（αTβ）2 解：αβT =0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 2 T
四、(10分)已知A= 0 的秩为2,试求xy的值。 1x+11 222 0 解:因为A~ 所以x=y=0 00 2-2-2 000 五、(10分)判别向量组a=(1,1,0,-1),B=(1,2,3,4),Y=(1,2,1,1),6=(24,2,2)的线 性相关性,并求最大无关组。 10-1 10-1110-1 10 解:因为几234 2340135013 1211 1211 0112100-2-3 242 0000 所以a,β,Y,δ线性相关;α,β,γ就是一个最大无关组 六、(10分)求下面方程组的基础解系。 +x、+2 2x1+x2+x3-x4=0 2x1+2x2+x2+ 0 解:A=211-1-0-1-31方程组的基础解系为:=/-9 221 00-34 七、(8分)判别下列矩阵是不是正定矩阵。 A 23059 712 解:A 03-23103-2303-2 03-2 00421004210042004 15-71203250042000 320 因为|A=0,所以A不是正定矩阵。 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 四、（10 分）已知 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 2 1 2 3 4 y x A 的秩为 2，试求 x,y 的值。 解：因为 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 1 1 1 ~ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 2 2 ~ y x y x A 所以 x=y=0 五、（10 分）判别向量组α=(1,1,0,-1),β=(1,2,3,4)，γ=(1,2,1,1)，δ=(2,4,2,2)的线 性相关性，并求最大无关组。 解：因为 0 0 0 0 0 0 2 3 0 1 3 5 1 1 0 1 ~ 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 3 5 1 1 0 1 ~ 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 3 4 1 1 0 1 ~ 2 4 2 2 1 2 1 1 1 2 3 4 1 1 0 1 所以α，β，γ，δ线性相关；α，β，γ就是一个最大无关组。 六、（10 分）求下面方程组的基础解系。 2 2 2 0 2 0 2 0 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解： 4 1 1 3 3 2 0 1 1 0 0 1 ~ 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 A 方程组的基础解系为 3 4 9 4 七、（8 分）判别下列矩阵是不是正定矩阵。 1 5 7 12 0 0 4 2 0 3 2 3 1 2 9 7 A 解： 0 0 0 0 0 0 4 2 0 3 2 3 1 2 9 7 ~ 0 0 4 2 0 0 4 2 0 3 2 3 1 2 9 7 ~ 0 3 2 5 0 0 4 2 0 3 2 3 1 2 9 7 ~ 1 5 7 12 0 0 4 2 0 3 2 3 1 2 9 7 A 因为 |A|=0, 所以 A 不是正定矩阵
八、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解。 2x1+ x1-2x2+x3 x1+4x,-3x2+5 解: B=3-21-34~10-75-95~0-75-95 14-35-20-1410-1810|00000 1 6/7 齐次方程基础解系为:-9 5/7 非齐次方程的特解 0 7 非齐次方程的通解为X=k151+k252+n 九、(10分)试用配方法寻求可逆线性变换X=CY,把下面二次型化为标准形,并 判别其是否正定.二次型为 f(x,y, z=x+2y2+4z2+2xy+6yz+2zX 解:f=(x+y+z)2+(y+2z2-z2 y1=x+y+2 x=y1-y2+y3 y=y2-2y3 y V3 标准形为f=y2+y2-y3 即β可由向量组a1,a2,,as线性表示 十、(6分)设向量组a1,a2,…,as线性无关,但加上向量β后线性相关,试证向 量B可由向量组a1,a2,,as线性表示 证:因为向量组a1,a2,,as,B线性相关,所以存在不全为0的系数k,k2 ksk,使 kI a 1+ k2a 2, +...+ks as+kp=0 由于a1,a2,,a线性无关,所以上式中k≠0,从而有 B 即B可由向量组a1,a2,,.as线性表示 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 八、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解。 4 3 5 2 3 2 3 4 2 1 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解： 0 0 0 0 0 0 7 5 9 5 1 4 3 5 2 ~ 0 14 10 18 10 0 7 5 9 5 1 4 3 5 2 ~ 1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1 B 齐次方程基础解系为： 0 7 5 1 , 7 0 9 1 1 2 ，非齐次方程的特解 0 0 5 / 7 6 / 7 非齐次方程的通解为 X k1 1 k 2 2 九、（10 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形，并 判别其是否正定．二次型为 f(x,y,z)=x 2+2y 2+4z 2+2xy+6yz+2zx 解：f=(x+y+z) 2+ (y+2z) 2-z 2 令 y z y y z y x y z 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2 z y y y y x y y y 标准形为 2 3 2 2 2 1 f y y y 即β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示． 由于α1, α2, …, αs线性无关，所以上式中 k≠0，从而有 s sk k k k k k 2 ... 2 1 1 即β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示． 十、(6 分)设向量组α1, α2, …, αs 线性无关，但加上向量β后线性相关，试证向 量β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示． 证：因为向量组α1, α2, …, αs，β线性相关，所以存在不全为 0 的系数 k1, k2,…, ks,k,使 k1α1+ k2α2,+…+ ksαs+ kβ=0
