本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(1) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分,每小题6分)计算行列式 b a b-- (1)D4= 314-2 7253 (2)Dn=bb a bbbb 解:(1)D4=10 (2)Dn=a+(n-1)b(a-b)P1 二、(12分)解矩阵方程XA=B,其中 1/301/3 解:A-+-231-2/3 (6分) -110 31 01/3 1-2/3 5-2/3 (6分) 10 (12分)讨论λ取什么值时下面的线性方程组无解,有惟一解,有无穷多解? x1+2x2+x= 解:D:=121|=(-1)(+2) 1≠1且≠-2时,方程组有唯一解 (4分) 当λ=1时,增广矩阵为 0000方程组有无穷多解 (4分) 当入=2时, 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(1) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分，每小题 6 分）计算行列式 (1) D4=| 2 -4 -3 5 -3 1 4 -2 7 2 5 3 4 -3 -2 6 | (2) Dn=| a b b ┅ b b a b ┅ b b b a ┅ b ┆ ┆ ┆ ┆ b b b ┅ a | 解：（1）D4=-100 （2）Dn=[a+(n-1)b](a-b) n-1 二、（12 分）解矩阵方程 XA=B，其中 A= 2 1 -1 2 1 0 1 -1 1 B= 1 -1 3 4 3 2 解：A-1= 1/3 0 1/3 -2/3 1 -2/3 -1 1 0 (6 分) X= 1 -1 3 4 3 2 1/3 0 1/3 -2/3 1 -2/3 -1 1 0 = -2 2 1 -8/3 5 -2/3 (6 分) 三、（12 分）讨论λ取什么值时下面的线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？ λx1+x2+x3=1 x1+λx2+x3=λ x1+x2+λx3=λ 2 解：D3= | λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ| =(λ-1) 2( λ+2) 当λ≠1 且λ≠-2 时，方程组有唯一解 ． （4 分） 当λ=1 时，增广矩阵为 B= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 方程组有无穷多解． （4 分） 当λ=-2 时
1-21 1-212 方程组无解. (4分) 四、(12分)已知向量组β=(1,1,0.-1),B2=(1,2,3,4),β3=(1,2,1,1),β4=(2,4,2,2),试求 它们的生成子空间span(β1,B2,B3,B4)的维数和一个基 031 031 00-2-4 (6分) -141 由于向量组β1,2,B3,B4的秩为3,所以生成子空间span(B1,B2,β3,B4)的维数为3 且等价的阶梯形矩阵前3行的1,2,3列构成的3阶子式不为0,所以span(B1,β2, β3,B4)的一个基为β,B2,B3 分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 1+2x2+3x3+4x4=5 3x2+2x3+3x=4 解增广矩阵为 2345 323 05/327/3 012/314/3 分 00000 对应的同解方程为 1+5/3x3+2x4=7/3 x+2/3x+x=4/3 (2分) 令x3=c1,x4=c2得 X2 (6分) 六、(12分)试用配方法寻求可逆线性变换X=CY,把下面二次型化为标准形 f(x1,x2,x3)=x12+4x1x22x1x+2x2-4x2x-X 解f=(x1-2x2+x3)2+6x2-8x2x=(x1-2x2+x3)2+6(x22/3x)2-8/9 (6分) 1=x1-2x2+x3 1=y1+2y2+1/3y 令{y2=x22/3x3即k2=y2+2/3 (4分) y3=X3 得f=y12+6y2-8/9y32 (2分) 七、(14分,每小题7分)证明题 (1)已知n×n矩阵A的秩小于n-1,A·表示A的伴随矩阵,试证A的秩rank(A)=0 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 B= -2 1 1 1 1 -2 1 -2 1 1 -2 (-2) 2 ~ -2 1 1 1 1 -2 1 -2 1 1 -2 4 ~ -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 0 0 3 方程组无解． （4 分） 四、（12 分）已知向量组β1=(1,1,0,-1), β2=(1,2,3,4)，β3=(1,2,1,1)，β4=(2,4,2,2)，试求 它们的生成子空间 span(β1, β2, β3, β4)的维数和一个基． 解 1 1 1 2 1 2 2 4 0 3 1 2 -1 4 1 2 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 2 0 5 2 4 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 -2 -4 0 0 0 0 （6 分） 由于向量组β1, β2, β3, β4的秩为 3，所以生成子空间 span(β1, β2, β3, β4)的维数为 3， 且等价的阶梯形矩阵前 3 行的 1，2，3 列构成的 3 阶子式不为 0，所以 span(β1, β2, β3, β4)的一个基为β1, β2, β3 （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． x1+2x2+3x3+4x4=5 x1-x2+x3+x4=1 3x2+2x3+3x4=4 解 增广矩阵为 B= 1 2 3 4 5 1 -1 1 1 1 0 3 2 3 4 ~ 1 2 3 4 5 0 -3 -2 -3 -4 0 3 2 3 4 ~ 1 2 3 4 5 0 -3 -2 -3 -4 0 0 0 0 0 ~ 1 0 5/3 2 7/3 0 1 2/3 1 4/3 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1+5/3x3+2x4=7/3 x2+2/3x3+x4=4/3 （2 分） 令 x3=c1,x4=c2得 x1 x2 x3 x4 = 7/3 4/3 0 0 +c1 -5/3 -2/3 1 0 c2 -2 -1 0 1 （6 分） 六、（12 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形． f(x1, x2,x3)=- x1 2+4x1 x2-2 x1x3+2 x2 2-4 x2 x3-x3 2 解 f=-( x1-2x2+x3) 2+6 x2 2-8 x2 x3=-( x1-2x2+x3) 2+6(x2-2/3x3) 2-8/9 x3 2 （6 分） 令 y1= x1-2x2+x3 y2= x2-2/3x3 y3= x3 即 x1=y1+2y2+1/3y3 x2= y2+2/3y3 x3= y3 （4 分） 得 f=- y1 2+6y2 2-8/9y3 2 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分）证明题 （1）已知 nn 矩阵 A 的秩小于 n-1，A* 表示 A 的伴随矩阵，试证 A*的秩 rank(A*)=0．
(2)已知数域F上的n维向量a,a2,a线性无关,记B1=01+a2,.B2=2+a3,B3=a3+a, 试证β1,β2,B3也线性无关 证(1)因nxn矩阵A的秩小于n-1,所以A的任一n-1阶子式都为零,而A的伴 随矩阵A'的每一元素都是A的n-1阶子式(最多差一正负号),所以A=0,从而 rank(A0 (2)设有系数kk,k∈F,使 kiBI+k2 B2+k3B3=0 即ki(a1+a2)+k2(a2+a3)+ks(a+a1)=0 或(k+k)a1+(k+k2)a2+(k+k)a=0 由已知a,a2,G3线性无关,得 k1+k3=0 k1+k2=0 k2+k=0 解得k=kx2=k3=0,所以β1,B2,β3也线性无关 八、(14分,每小题7分)分析题 (1)考察数集S={a+bvab∈Q}是否能构成一个数域,并说明理由.其中Q表 示有理数域. (2)判别下面矩阵A是不是正定的,并说明理由 A120 101. 解:(1)显然0,1∈S, 设a+bv2,a+b2eS,则a+bV2)+a+bN2)eS n)(a2b2)∈S,(an+b2)×(a2+bV 当(a2+b)≠0时,(a1+b2)÷(a+bV)∈S, 所以S能构成一个数域 (2)因为2>0,2,A=120=4+0+0-20-1=1>0 10 所以A是正定矩阵 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 （2）已知数域 F 上的 n 维向量α1, α2, α3线性无关，记β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α1, 试证β1, β2, β3也线性无关． 证（1）因 nn 矩阵 A 的秩小于 n-1，所以 A 的任一 n-1 阶子式都为零，而 A 的伴 随矩阵 A*的每一元素都是 A 的 n-1 阶子式（最多差一正负号），所以 A*=0，从而 rank(A*)=0 (2)设有系数 k1,k2, k3F, 使 k1β1+k2 β2+k3β3=0 即 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0 或(k1+k3)α1+( k1+ k2) α2+( k2+k3)α3=0 由已知α1, α2, α3线性无关，得 k1+k3=0 k1+ k2=0 k2+k3=0 解得 k1=k2=k3=0，所以β1, β2, β3也线性无关． 八、（14 分，每小题 7 分）分析题 （1） 考察数集 S={a+b 2 |a,bQ}是否能构成一个数域，并说明理由．其中 Q 表 示有理数域． （2） 判别下面矩阵 A 是不是正定的，并说明理由． A= 2 1 -1 1 2 0 -1 0 1 解：（1）显然 0，1S， 设 a1+ b1 2 ，a2+ b2 2 S，则(a1+ b1 2 )+(a2+ b2 2 )S， (a1- b1 2 )-(a2-b2 2 )S，(a1+ b1 2 )×(a2+ b2 2 )S， 当(a2+ b2 2 )≠0 时，(a1+ b1 2 )÷(a2+ b2 2 )S， 所以 S 能构成一个数域． （2）因为 2>0，|2 1 1 2 | >0，A= | 2 1 -1 1 2 0 -1 0 1 | =4+0+0-2-0-1=1>0 所以 A 是正定矩阵．