本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分)在F中,求由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵,并且求 7=a1-a2+2a3在基(Ⅱ)下的坐标 (I):{a1=0a2=1a3=0 (Ⅱ1):{B1=0B2=4B3=5 解:由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 A=045n在基(Ⅱ)下的坐标为 006 1-1/2-1/121 4/3 045-1=01/4-5/24-1=|-2/3 0062)(001/6人2 、(12分)设V=Span(a1,a2),V2=Span(B,B2),求dm(V1+V2)与dm(V1∩v2) a1=(1,10,0),a2=(1,0,1,0) β1=(00,1,0),β2=(0,1,1,0) 1100)(1100)(1100)(1100 解:因为 10100-1100-110|0-110 0010001000100010 0110)(0110)(0020)(0000 所以dim(V1+V2)=3 显然a1,a2线性无关,B1,B2线性无关,所以dm(V)=2,dim(V2)=2,根据维数 定理知dmV1nv2)=2+2-3=1 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分）在 F 3中，求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，并且求 1 2 3 2 在基（Ⅱ）下的坐标． （Ⅰ）： 0 0 1 , 0 1 0 , 1 0 0 1 2 3 （Ⅱ）： 3 5 6 , 2 4 0 , 1 0 0 1 2 3 解：由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为 0 0 6 0 4 5 1 2 3 A η在基（Ⅱ）下的坐标为 1/ 3 2 / 3 4 / 3 2 1 1 0 0 1/ 6 0 1/ 4 5 / 24 1 1/ 2 1/12 2 1 1 0 0 6 0 4 5 1 2 3 1 二、（12 分）设 V1=Span(α1,α2)，V2=Span(β1,β2)，求 dim(V1+V2)与 dim(V1∩V2) α1=(1,1,0,0) , α2 =(1,0,1,0) β1=(0,0,1,0) , β2=(0,1,1,0) 解：因为 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 ~ 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 ~ 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 ~ 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 所以 dim(V1+V2)=3 显然α1,α2 线性无关，β1,β2 线性无关，所以 dim(V1)=2，dim(V2)=2，根据维数 定理知 dim(V1∩V2)=2+2-3=1
(10分)设0和τ都是3维线性空间V的线性变换,设(I):{B1,B2,β3} 是V的一个基,0和τ在(I)下的矩阵分别是 A=6-20,B=020 41-1 求复合变换τσ在(I)下的矩阵,并求τσ(B1-2β23B3)在(I)下的坐标 解:复合变换τo在(I)下的矩阵为 200 0206-20 12-40 002八4 To(B1-2B2-3B)在(I)下的坐标为 26-20‖-2=20 四、(8分)设V是一个数域F上的n维线性空间,τ是V上的线性变换,设W 是一个τ不变子空间,并且dim(V=n-1,证明:τ一定有特征值 证:设(I):{β1,B2,,.Bml}是W的一个基,将其扩充成为V的一个基(I):{B ,B2,,Bn1,Bn},则τ在基(I)下的矩阵形如 A ,其中Aa1是n-1阶方阵,α是n-1维列矩阵,0是n-1维行矩阵 是一个数.A的特征多项式为|AEm-A=入En1-Anl-a) 即τ显然有特征值λ=a 五、(10分)设A∈ Mater(F,h(x)∈FKx],证明:如果λo是A的一个特征值, 则h(入o)是h(A)的一个特征值 证:设ξ是A的属于特征值λo的特征向量,则Aξ=λ0ξ,且对任意自然数k A5=λ05,即λ。是A的特征值.设h(x)为 h(x=akX+ ak- xk-+.+ ajx +ao y h(A)E=aKAS+ ak-jAk-IE+.+ajAs taoE 5 =akλdk5+ak-1λk1+.+a1ko+a (ak Xo+ ak-1Ao+...+ al Xo tao)5=h(x o)5 即h(入o)是h(A)的一个特征值 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 三、（10 分）设σ和τ都是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅰ)：{β1，β2，β3} 是 V 的一个基，σ和τ在(Ⅰ)下的矩阵分别是 4 1 1 6 2 0 3 3 1 A ， 0 0 2 0 2 0 2 0 0 B 求复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵，并求τσ(β1-2β2-3β3)在(Ⅰ)下的坐标． 解：复合变换τσ在(Ⅰ)下的矩阵为 8 2 2 12 4 0 6 6 2 4 1 1 6 2 0 3 3 1 0 0 2 0 2 0 2 0 0 τσ(β1-2β2-3β3)在(Ⅰ)下的坐标为 10 20 0 3 2 1 4 1 1 6 2 0 3 3 1 2 四、（8 分）设 V 是一个数域 F 上的 n 维线性空间，τ是 V 上的线性变换，设 W 是一个τ不变子空间，并且 dim(V)=n-1,证明：τ一定有特征值． 证：设(Ⅰ)：{β1,β2,…,βn-1}是 W 的一个基，将其扩充成为 V 的一个基(Ⅱ)：{β 1,β2,…,βn-1,βn}，则τ在基(Ⅱ)下的矩阵形如： a A A n0 1 ，其中 An-1 是 n-1 阶方阵，α是 n-1 维列矩阵，0 是 n-1 维行矩阵， a 是一个数．A 的特征多项式为 |λEn-A|=|λEn-1-An-1|(λ-a) 即τ显然有特征值λ=a 五、（10 分）设 A∈Matn×n(F)，h(x) ∈F[x]，证明：如果λ0是 A 的一个特征值， 则 h(λ0) 是 h(A)的一个特征值． 证：设ξ是 A 的属于特征值λ0的特征向量，则 Aξ=λ0ξ，且对任意自然数 k Akξ=λ0 kξ ，即λ0 k是 Ak的特征值．设 h(x)为 h(x)=akx k+ ak-1x k-1 +…+ a1x +a0 则 h(A)ξ=akAkξ+ ak-1Ak-1ξ+…+ a1Aξ +a0Eξ = akλ0 kξ+ ak-1λ0 k-1ξ +…+ a1λ0ξ +a0ξ = (akλ0 k+ ak-1λ0 k-1 +…+ a1λ0 +a0)ξ= h(λ0)ξ 即 h(λ0)是 h(A)的一个特征值．
六、(12分)求矩阵A的若尔当标准形 186 2-14-10 -8 6 解:|AE-A|=12-8-6-0-2+82-361-3 -214+10)(02A-2 0-x2+84-36元-3~0-x2-4+36-3 A-2 0 10 0-2-4A+32+22+4~00x3+2+A 01 00a(+1) A的初等因子组为{λ,(A+1)2},A的若尔当标准形为 000 0-10 七、(14分)设矩阵A为 400 A=031 试求正交矩阵P,将其化为对角形 40 1E-4=0x-3-1=(-4)(2-2) 0 的全部特征值为λ1=2,A2=A3=4 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 六、（12 分）求矩阵 A 的若尔当标准形． 2 14 10 1 8 6 0 3 3 A 解： 0 2 2 2 0 8 3 6 3 1 8 6 ~ 2 14 10 1 8 6 3 3 | | 2 E A 0 2 2 0 4 3 6 3 1 0 0 ~ 0 2 2 2 0 8 3 6 3 1 0 0 ~ 2 2 0 1 0 2 1 2 1 0 0 1 0 0 ~ 0 2 0 2 1 2 1 0 4 3 1 0 0 ~ 2 3 2 3 2 2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0 ~ A 的初等因子组为{λ，(λ+1) 2}，A 的若尔当标准形为 0 1 1 0 1 0 0 0 0 七、（14 分）设矩阵 A 为 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A 试求正交矩阵 P，将其化为对角形． 解： ( 4) ( 2) 0 1 3 0 3 1 4 0 0 2 E A A 的全部特征值为λ1=2, λ2=λ3=4
解齐次线性方程组(B-A)X=0,得到它的一个基础解系n=|- 0 进行单位化得B、=1 解齐次线性方程组(λ2E-A)X=0,得到它的一个基础解系{n2=0n=1 0 已经正交化,只需标准化得,B2=72,B1==73 010 令P=(B,月2,B)0 则 PAP=diag(2, 4, 4) 八、(8分)设U,U2是欧几里得空间V的子空间,证明: (U+U2)=U1+∩U21 证:对于任意a∈左边,必有aU1+Uz) 因为UU1+U2),所以也有a⊥U1;同理也有a⊥U1 即a∈U1+,且a∈U1+,从而a∈U∩U2=左边 反之对于任意β∈右边=U1+∩U2有BU1且βU2 从而对于任意a=a+a2∈(U1+U2),其中a1∈U1,a2∈U2有 (B,a)=(B,a计+a2)=(B,a1)+(β,a2)=0+0=0 即β∈(U1+U2)}=右边 九、(8分)设A是n×n正定矩阵,证明:存在实矩阵C,使得A=C2 证:设A的特征值为λ1,λ2,,An,因为A是n×n正定矩阵,所以A的特 征值全部大于0.存在正交矩阵P使PAP=diag(1,λ2,…,λn) 即有 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 解齐次线性方程组（λ1E-A）X=0，得到它的一个基础解系 1 1 0 1 进行单位化得 1 1 0 2 1 1 解齐次线性方程组（λ2E-A）X=0，得到它的一个基础解系{ 1 1 0 , 0 0 1 2 3 } 已经正交化,只需标准化得， 2 2 , 3 3 2 1 令 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 ( , , ) P 1 2 3 则 P -1AP=diag(2,4,4) 八、（8 分）设 U1,U2是欧几里得空间 V 的子空间，证明： (U1+U2)┴= U1┴ ∩U2┴ 证：对于任意 α∈左边，必有 α┴(U1+ U2)， 因为 U1(U1+ U2)，所以也有α┴U1；同理也有 α┴U1 ． 即α∈U1┴，且α∈U1┴，从而α∈U1┴ ∩U2┴=左边 反之对于任意β∈右边=U1┴ ∩U2┴ 有 β┴U1且β┴U2 从而对于任意 α=α1+α2∈(U1+ U2)，其中α1∈U1，α2∈U2 有 (β,α)=(β,α1+α2 )= (β,α1 )+ (β,α2 )=0+0=0 即 β∈(U1+U2)┴=右边 九、（8 分）设 A 是 n×n 正定矩阵，证明：存在实矩阵 C，使得 A=C2． 证：设 A 的特征值为λ1，λ2，…，λn，因为 A 是 n×n 正定矩阵，所以 A 的特 征值全部大于 0．存在正交矩阵 P 使 P TAP=diag(λ1，λ2，…，λn)． 即有
110 0 0 0 A= P 0√2 00√ 000n 00 10 0 0 0 0 0:0 0 00 则A=C 十、(6分)设Ⅴ是一个欧几里得空间,σ是V的一个反对称变换,证明:如果 λo是σ的一个实特征值,则λo等于0. 证:因为λo是σ的一个实特征值,设ξ是σ的属于λ0的特征向量,则有 (0(5),5)(o5,)=0(5,5) 又由于σ是V的一个反对称变换,所以 (0(5),5)=(5,0()=1(5,A05)=-A0(5,5) 由于(,)≠0,比较知:X0=0 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 T n n T n A P P P P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 T n T n P P P P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 令 C= T n P P 0 0 0 0 0 0 2 1 ， 则 A=C2 十、（6 分）设 V 是一个欧几里得空间，σ是 V 的一个反对称变换，证明：如果 λ0是σ的一个实特征值，则λ0等于 0． 证：因为λ0是σ的一个实特征值，设ξ是σ的属于λ0的特征向量，则有 (σ(ξ),ξ)=( λ0ξ,ξ)= λ0 (ξ,ξ) 又由于σ是 V 的一个反对称变换，所以 (σ(ξ),ξ)=-(ξ, σ(ξ))= -(ξ,λ0ξ)= -λ0 (ξ,ξ) 由于(ξ,ξ)≠0，比较知：λ0=0．
