西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第八章 线性变换

习题8.1 1证明:例8.1.3中的σ是V的一个线性变换 例81.3的描述:设V= Manx(F),设A∈V,令0(A=A+A,则∈(V) 证首先G是V上的一个变换,又 o(A+B)=(A+B)+(A+B)=A+B+A+B=(A+A)+(B+B)=o(A)+o(B) o(kA)kA+(kA)T=k(A+A)=ko(A 所以G∈(V) 2.设V=Matx(F),设A∈V,对任意B∈V,令o(B尸AB证明:o是V的一个线性变换 证首先G是V上的一个变换,又 o(B+CA(B+CAB+AC=o(B)+o(C o(kBFA(kB)kAB=ko(B) 所以σ∈g(V). 3设a是实数,W是在[-a,a]上连续的实函数全体所组成的R上线性空间.对任意fx)∈W, 令(f(x)=错误证明:σ是W的一个线性变换 证首先σ是V上的一个变换,又 o(fx)+g(x)=错误!=错误!+错误!=o((x)+o(g(x) G(kf(x)=错误!=k错误!:=ko((x) 所以G∈g(V) 4在V=F3中 ①令o(a,a2,a3)=(3ar-a2-3a3,a1+4a2-4a3,-2a-a2).证明:σ是Ⅴ的一个线性变换. ②令o(a,a,a)=(3a-a2,a-4a3,aa).证明:σ不是V的线性变换 证①首先G是V上的一个变换,又 o((aI, a2, a3)+(bl, b2, b3))=o(ar+bI, a2+b2, a3+b3) =(3(at+b)(ax+b)3(a+b)(a+b)+4(a+b)4(a+b)-2(an+b-(a+b2) (3a-a-3as,an+4a2-4a3,-2ar-a)+(3b-b2-3b3,b+4b2-4b3,-2b-b) o(aI, a2, a3)+o(bl, b2, b3) X o(k(al, a2, a3)=o(kal, ka2, ka3) =(3kar-ka2-3ka3, ka1+4ka2-4ka3,-2kaj-ka2) k(3a1-a2-3a3,an+4a-4a3,-2a1-a2)=ko(a1,a2,a3) 所以G∈(V ②当a2≠0,a3≠0,k=2时,a(2(a1,a,a3)=(6a1-2a,2a1-8a,4a2a3) 而2o(a,a2,as)=(6a-2a2,2a1-8a3,2a2a3)≠o(2(a1,a2,a3) 所以σ不是V的线性变换 设o是线性空间V的一个线性变换.证明:如果向量组{1,a2,…,a}线性相关,则{o(a1), o(2),,o(as)也线性相关 证因为{a,Q,…,as}线性相关,所以存在不全为零的数k, 使 kiaI+k20z..+ksas=0 从而kio(a1)+k2o(a2)+…+ko(as)=o(ka1+k2(x2+.+ka)=o(0=0 说明{o(a1),a(a2),…,o(as)也线性相关

习题 8.1 1.证明：例 8.1.3 中的σ是 V 的一个线性变换． 例 8.1.3 的描述：设 V= Matn×n(F)，设 A∈V，令σ(A)=A+ AT，则σ∈ℒ(V)． 证 首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(A+B)=(A+B)+(A+B)T=A+B+AT+B T= (A+AT ) +(B+B T )= σ(A)+σ(B) σ(kA)=kA+(kA) T =k(A+ AT )=kσ(A) 所以σ∈ℒ(V)． 2. 设 V= Matn×n(F)，设 A∈V，对任意 B∈V，令σ(B)=AB,证明：σ是 V 的一个线性变换． 证 首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(B+C)=A(B+C)=AB+AC= σ(B)+σ(C) σ(kB)=A(kB)+kAB=kσ(B) 所以σ∈ℒ(V)． 3.设 a 是实数，W 是在[-a,a]上连续的实函数全体所组成的 R 上线性空间．对任意 f(x)∈W， 令σ(f(x))= 错误!,证明：σ是 W 的一个线性变换． 证 首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(f(x)+g(x))= 错误!=错误!+错误!= σ(f(x))+σ(g(x)) σ(kf(x))= 错误!=k错误!=kσ(f(x)) 所以σ∈ℒ(V)． 4.在 V=F 3中， ①令σ(a1，a2，a3)=(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)．证明：σ是 V 的一个线性变换． ②令σ(a1，a2，a3)=( 3a1-a2，a1-4a3，a2a3)．证明：σ不是 V 的线性变换． 证 ①首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ((a1，a2，a3)+ (b1，b2，b3))= σ(a1+b1，a2+b2，a3+b3) =(3(a1+b1)-( a2+ b2)-3(a3+b3),( a1+b1)+4(a2+b2)-4(a3+b3),-2(a1+ b1)-( a2+ b2)) =( 3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)+ (3b1-b2-3b3，b1+4b2-4b3，-2b1-b2) = σ(a1，a2，a3)+σ(b1，b2，b3) 又 σ(k(a1，a2，a3))= σ(ka1，ka2，ka3) =(3ka1-ka2-3ka3，ka1+4ka2-4ka3，-2ka1-ka2) =k(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)=kσ((a1，a2，a3)) 所以σ∈ℒ(V)． ②当 a2≠0，a3≠0，k=2 时，σ(2(a1，a2，a3))=(6a1-2a2，2a1-8a3，4a2a3) 而 2σ(a1，a2，a3)= (6a1-2a2，2a1-8a3，2a2a3)≠σ(2(a1，a2，a3)) 所以σ不是 V 的线性变换． 5.设σ是线性空间 V 的一个线性变换．证明：如果向量组{α1，α2，...，αs }线性相关，则{σ(α1), σ(α2),...，σ(αs )}也线性相关． 证 因为{α1，α2，...，αs }线性相关，所以存在不全为零的数 k1，k2，...，ks 使 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 从而 k1σ(α1)+k2σ(α2)+...+ksσ(αs)= σ(k1α1+k2α2+...+ksαs)= σ(0)=0 说明{σ(α1), σ(α2),...，σ(αs )}也线性相关．

6是否存在F的一个线性变换σ,使o(E2)=E2,而对于任意不等于e2的的元素a,都有o(a)=0? 答不存在.因为如果0(E2)=e2,令a=2e,则a≠2,但o(a)=2(E2)=2e2≠0 7设V是数域F上的线性空间,σ∈g(V),a∈V.证明: ①U={g(o)g(x)∈Fx])}是F上的线性空间 ②W={g(o)a)g(x)∈FKx])}是V的子空间 ③存在0≠h(x)∈F[x]使得h(o)a)=0 证①对任意g(o),h(o)∈U任意k∈F, 记fG=g(o)+h(o),则fo)∈U kg(o)∈U 所以U是(V)的子空间,故U是F上的线性空间 ②对任意g(oa),h(oa)∈W,任意k∈F, 记fo)(a)=(g()+h(o)(a),则f(o)a)∈W kg(o(a)∈W 所以W是V的子空间 ③设dm(V=n,则V中任意n+1个向量线性相关,所以a,(α),2(a),(a)一定线性相 关,即存在不全为零的数k1,k2,…,knt使 kia+ k2o(a) k30(a)+. t km+1 o(a=0 a h(x)=kI+kxx+ k3x2++kn+ixn 则hx)∈F[x],且h(x)≠0,使得h(oa)=0 8.设V是数域F上的n维线性空间,设():{B1,B2,…,Bn}是V的一个基,对于i=1,2,,n, j=1,2,,n,令o∈(V),使得,对于t≠i,都有oi(β)=0;o(B)=β1.证明 {ol=1,2,,nj=1,2,,n} 是g(V)的一个基 证设有n×n个数k,(i=1,2,,nj=12,,n),使 k+k12012+k3G13+..+k1nGn+ 用等号两端分别对β1变换得 kIBr+k12B2+k13B3..+kInN 由于{B1,β2,…,Bn}线性无关,所以 k1=k12=k= 同理,分别用(1)对β1,P2,…,变换,会得出k全部为零的结论,即{o=12,,nj=1,2,,n} 线性无关 又,对于任意G∈(V),它在基{B1,2,…,βn}下有唯一的矩阵A,设A的第i列向量 为(ku,k2,,kn),则G可以表示为 o= k11G11+k21012+.. knIgInt

6.是否存在F 3的一个线性变换σ，使σ(ε2)= ε2，而对于任意不等于ε2的V的元素α，都有σ(α)=0？ 答 不存在．因为如果σ(ε2)= ε2，令α=2ε2，则α≠ε2，但σ(α)=2σ(ε2)= 2ε2≠0． 7.设 V 是数域 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，α∈V．证明： ① U={g(σ)|g(x)∈F[x])}是 F 上的线性空间． ② W={g(σ)(α)|g(x)∈F[x])}是 V 的子空间． ③存在 0≠h(x)∈F[x],使得 h(σ)(α)=0． 证 ① 对任意 g(σ) ，h(σ)∈U,任意 k∈F， 记 f(σ)= g(σ) +h(σ) ，则 f(σ)∈U kg(σ)∈U 所以 U 是ℒ(V)的子空间，故 U 是 F 上的线性空间． ②对任意 g(σ)(α) ，h(σ)(α)∈W,任意 k∈F， 记 f(σ)(α)= (g(σ) +h(σ))(α) ，则 f(σ)(α)∈W kg(σ)(α)∈W 所以 W 是 V 的子空间． ③设 dim(V)=n,则 V 中任意 n+1 个向量线性相关，所以α, σ(α), σ 2(α),..., σ n(α)一定线性相 关，即存在不全为零的数 k1，k2，...，kn+1 使 k1α+ k2σ(α)+ k3σ 2(α)+...+ kn+1 σ n(α)=0 令 h(x)= k1+ k2x+ k3x 2+...+ kn+1x n 则 h(x)∈F[x]，且 h(x)≠0，使得 h(σ)(α)=0． 8. 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，，设(Ⅱ)：{β1，β2，...，βn }是 V 的一个基，对于 i=1,2,...,n， j=1,2,...,n，令σij∈ℒ(V)，使得，对于 t≠i，都有σij(βt)=0；σij(βi)= βj ．证明： {σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 是ℒ(V)的一个基． 证 设有 n×n 个数 kij，（i=1,2,...,n;j=1,2,...,n），使 k11σ11+k12σ12+k13σ13+... +k1nσ1n+ +k21σ21+ k22σ22+ k23σ23+...+ k2nσ2n+ ... + kn1σn1+ kn2σn2+kn3σn3+...+ knnσnn =0 （1） 用等号两端分别对β1变换得 k11β1+k12β2+k13β3+... +k1nβn=0 由于{β1，β2，...，βn }线性无关，所以 k11= k12= k13=...= k1n=0 同理，分别用（1）对β1，β2，...，βn变换，会得出 kij全部为零的结论，即{σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 线性无关． 又，对于任意σ∈ℒ(V)，它在基{β1，β2，...，βn}下有唯一的矩阵 A，设 A 的第 i 列向量 为(k1i, k2i,..., kni)T，则σ可以表示为 σ= k11σ11+k21σ12+..., kn1σ1n+ + k12σ21+k22σ22+..., kn2σ2n+ ... +k1nσn1+k2nσn2+..., knnσnn+

所以{o=1,2,,n=1,2,n}是(V)的一个基 9在C中,对任意ab∈R令oa+bi)=a-bi ①C作为R上的线性空间,是C上的线性变换 ②C作为C上的线性空间,G不是C上的线性变换 证①对于任意复数a+bi和c+di,以及任意实数k,有 d(a+bi+c+di=o((a+c)+(b+d)i=a+c-(b+d)i=a-bi+c-dio(a+bi)+o(c+di) o(k(a+bi))=ka-kbi=k(a-bi=ko(a+bi) 所以是C上的线性变换 ②对于复数2i和复数k=2i,有 a(2i×2i)=o(-4+0i=40i=4 但2i0(2i)=2i×(-2i)=4≠o(2i×2i) 所以σ不是C上的线性变换 习题8.2 1在F3中,令o(a1,a,a3)=(2a-a3,an+4a,a-a),求o在基{e,e,e3}下的矩阵 解o()=o(1,0,0=(2,11(e,,e)1 o(e2)=o(0,1,0)=(0.0,-1)=(e1,e2,e3)0 G()=(0,0,1)=(1.40)=a,e,s)4 20-1 在基{E,e,e}下的矩阵为104 10 2在习题81的第2题中,令2A-(21,求在基 10 0)(01 00八(00八(1 下的矩阵 00 10 01 21(1 dBI=ABI 0(2 =2B1+0B2-1B3+0B 10八(0

所以{σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n}是ℒ(V)的一个基． 9 * .在 C 中，对任意 a,b∈R,令σ(a+bi)=a-bi． ①C 作为 R 上的线性空间，σ是 C 上的线性变换． ②C 作为 C 上的线性空间，σ不是 C 上的线性变换． 证 ①对于任意复数 a+bi 和 c+di，以及任意实数 k，有 σ(a+bi+c+di)= σ((a+c)+(b+d)i)=a+c-(b+d)i=a-bi+c-di=σ(a+bi)+σ(c+di) σ(k(a+bi))=ka-kbi=k(a-bi)=kσ(a+bi) 所以σ是 C 上的线性变换． ② 对于复数 2i 和复数 k=2i，有 σ(2i×2i)= σ(-4+0i)=-4-0i=-4 但 2iσ(2i)=2i×(-2i)=4≠σ(2i×2i) 所以σ不是 C 上的线性变换． 习题 8.2 1.在 F 3中，令σ(a1，a2，a3)=(2a1-a3，a1+4a3，a1-a2)，求σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩阵． 解σ(ε1)= σ(1，0，0)=(2,1,1)=(ε1，ε2，ε3)       1 1 2 σ(ε2)= σ(0，1，0)=(0,0,-1)=(ε1，ε2，ε3)      1 0 0 σ(ε3)= σ(0，0，1)=(-1,4,0)=(ε1，ε2，ε3)       0 4 1 σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩阵为         1 1 0 1 0 4 2 0 1 2.在习题 8.1 的第 2 题中，令 n=2,A=      1 0 2 1 ，求σ在基                               0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 下的矩阵． 证 记β1=       0 0 1 0 ，β2=       0 0 0 1 ，β3=       1 0 0 0 ，β4=       0 1 0 0 ， σβ1=Aβ1=      1 0 2 1       0 0 1 0 =      1 0 2 0 =2β1+0β2-1β3+0β4

10八(00)(0-1 =0B1+2B2+0B3-1B 1B1+0阝2+0B3+0B4 l0J(10(00 oB4=AB4= 10八(0 00=0+1+09+o 0201 G在基{β,β,β,β}下的矩阵为 1000 3设G是3维线性空间V的线性变换,设(Ⅱ):{B1,B2,βs}是V的一个基,o在(Ⅱ)下的矩 阵是A1-22,求(22+5B)在基(Ⅱ)下的坐标 解因为G(B1,B2,B3)=(βB1,B2,β3)A 所以a22+5)(,B2,B3)-1=(,p,BA-1 0(B+)()下的坐标A-1|-|1-2211-1|-|14 5)(41-1八(5)(2 4设Ⅴ是F上的维数是3的线性空间,σ是V的一个线性变换.证明:如果存在a∈V,满足 a≠0,但G(a)=0,则G在某个基下的矩阵有一列都是零 证设a≠0,但o(a)=0,将扩充成为V的一个基{a,β,y},则在基{a,β,y}下的矩 阵的第1列都是零 5设V是F上的线性空间,设a1,a2,…,a∈V,G∈出(V).证明:如果{o(a1),o(a2) (a3)}是V的一个基,则G是可逆的 证如果{o(a1),o(a2),…,o(a)}是V的一个基,dim(V)=s,V中任意s个线性无关 的向量都是V的基 假若α1,a2,…,as线性相关,则存在不全为零的数k,k2,,ks,使 从而 ko(a1)+k2o(2)+…+kso(as=o(ka1+k2ax2+.+kas=0 这与{o(a1),o(α2),…,o(as)}是V的一个基矛盾.所以1,a2,…,a线性无关,a,a2,…, as也是V的一个基

σβ2=Aβ2=      1 0 2 1       0 0 0 1 =       0 1 0 2 =0β1+2β2+0β3-1β4 σβ3=Aβ3=      1 0 2 1       1 0 0 0 =       0 0 1 0 =1β1+0β2+0β3+0β4 σβ4=Aβ4=      1 0 2 1       0 1 0 0 =       0 0 0 1 =0β1+1β2+0β3+0β4 σ在基{β1，β2，β3，β4}下的矩阵为         0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 2 0 1 0 3.设σ是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅱ)：{β1，β2，β3}是 V 的一个基，σ在(Ⅱ)下的矩 阵是 A=          4 1 1 1 2 2 0 3 1 ，求σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标． 解 因为σ(β1，β2，β3)=(β1，β2，β3)A 所以σ(2β1-β2+5β3)= σ (β1，β2，β3)       5 1 2 = (β1，β2，β3)A       5 1 2 σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标 A       5 1 2 =          4 1 1 1 2 2 0 3 1       5 1 2 =       2 14 8 4.设 V 是 F 上的维数是 3 的线性空间，σ是 V 的一个线性变换．证明：如果存在α∈V，满足 α≠0，但σ(α)=0，则σ在某个基下的矩阵有一列都是零． 证 设α≠0，但σ(α)=0，将α扩充成为 V 的一个基{α，β，γ}，则σ在基{α，β，γ}下的矩 阵的第 1 列都是零． 5.设 V 是 F 上的线性空间，设α1，α2，...，αs∈V，σ∈ℒ(V)．证明：如果{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基，则σ是可逆的． 证 如果{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基，dim(V)=s，V 中任意 s 个线性无关 的向量都是 V 的基． 假若α1，α2，...，αs线性相关，则存在不全为零的数 k1, k2,..., ks,使 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 从而 k1σ(α1)+k2σ(α2)+...+ksσ(αs)=σ(k1α1+k2α2+...+ksαs s)=0 这与{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基矛盾．所以α1，α2，...，αs线性无关．α1，α2，...， αs也是 V 的一个基．

定义t∈g(V),t(o(a1)=a,t(o(a2)=a2,,r(o(as)=as 则τ是c的逆 对任何的有序向量组{a,a2,…,an},都有唯一的线性变换σ,使得o(),/12笑 6设V是F上的有限维线性空间,(Ⅲ):{,2…,n}是V的一个有序向量组.证明:如 则{21,2,,n}是V的一个基 证若Ⅴ是零空间,V没有基,上述说法不成立 原题应设dm(V)=m≠0,此时,由题意知,每个引不等于零,否则取a≠0,有G(5)=a1 矛盾 假设n>m,则{,2,,ln}线性相关,即存在不全为零的数k,k2,,kn使 不妨设k1≠0,现取a1=251,=5,j=2,3,…,n,依题意,有唯一的线性变换o,使得o()=a 用G作用于上式两端得 21+k2+.+kn2n 出现矛盾,这说明{,2y,列n}线性无关.从而n≤m 假设nm,现将{,2,,lm}扩充成为V的一个基{,2,,m,l1,…m} 取α=,j=1,2,3,,n,定义两个线性变换σ,t如下 o(=a=5,j=1,2,3…,no(2)==n+1n+2,,m, r()0=b,j=1,2,3,n,t()=0,j=n+1,n+2,,m 从而()(5),j=1,2,3,,n,但显然σ≠τ,与题设矛盾.这说明只有n=m.故{,2,ln} 是V的一个基 习题8.3 1证明定理8.3.1,定理8.3.2 定理831的描述:矩阵相似有如下的性质:①(反身性)A~A②(对称性)如果B~A,则 A~B;③(传递性)如果C~BB~A,则C~A 证①令C=E,则C可逆且EAE=A,所以A~A: ②如果B~A,即存在可逆矩阵C,使CBC=A,则两边右乘C,左乘C,得 B=CAC 所以A~B ③如果C~B,B~A,即存在可逆矩阵P,Q使PCP=B,Q1BQ=A,则 (Q- P-)C(PQFA 所以C~A 定理832的描述:如果A~B,则①A=B;:②rank(A=ank(B 证①如果A~B,即存在可逆矩阵C,使CAC=B,两边取行列式得CA|CHB,因为 C|CF=1,所以AFBl ②由CBC=A得: ank(A)≤min{rank(CB)rank(C)}≤rank(CB)≤ minitank(C)rank(B)}≤rank(B) 又由B=CAC1得 rank(B)≤min{rank(CA)rank(C)}≤rank(CA)≤min{rank(C),rank(A)}≤rank(A) 所以rank(A)=rank(B). 2设A,B是n×n矩阵,证明:如果A~B,则AF=B,并且rank(A)=ank(B) 解与题1之②完全相同

定义τ∈ℒ(V)，τ(σ(α1))= α1, τ(σ(α2))= α2,..., τ(σ(αs))= αs 则τ是σ的逆． 6 * .设 V 是 F 上的有限维线性空间，(Ⅲ)：{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个有序向量组．证明：如果 对任何 V 的有序向量组{α1，α2，...，αn}，都有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj，j=1,2,...,n， 则{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个基． 证 若 V 是零空间，V 没有基，上述说法不成立． 原题应设 dim(V)=m≠0，此时，由题意知，每个ξj不等于零，否则取αj≠0，有σ(ξj)= αj, 矛盾． 假设 n>m，则{ξ1, ξ2,..., ξn}线性相关，即存在不全为零的数 k1, k2,..., kn,使 k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 不妨设 k1≠0，现取α1=2ξ1，αj=ξj，j=2,3,...,n, 依题意，有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj 用σ作用于上式两端得 2k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 出现矛盾，这说明{ξ1, ξ2,..., ξn}线性无关．从而 n≤m． 假设 n<m，现将{ξ1, ξ2,..., ξn}扩充成为 V 的一个基{ξ1, ξ2,..., ξn, ξn+1, ...,ξm} 取αj=ξj，j=1,2,3,...,n,定义两个线性变换σ，τ如下 σ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; σ(ξj)= ξj, j=n+1,n+2,...,m, τ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; τ(ξj)= 0, j=n+1,n+2,...,m 从而σ(ξj)= τ(ξj)，j=1,2,3,...,n，但显然σ≠τ，与题设矛盾．这说明只有 n=m．故{ξ1, ξ2,..., ξn} 是 V 的一个基． 习题 8.3 1.证明定理 8.3.1，定理 8.3.2． 定理 8.3.1 的描述：矩阵相似有如下的性质：①（反身性）A~A;②（对称性）如果 B~A,则 A~B；③（传递性）如果 C~B,B~A,则 C~A． 证 ①令 C=E，则 C 可逆且 E -1AE=A，所以 A~A； ②如果 B~A,即存在可逆矩阵 C，使 C -1BC=A，则两边右乘 C -1，左乘 C，得 B=CAC -1 所以 A~B； ③ 如果 C~B,B~A,即存在可逆矩阵 P，Q 使 P -1CP=B，Q-1BQ=A，则 (Q-1P -1)C(PQ)=A 所以 C~A． 定理 8.3.2 的描述：如果 A~B,则①|A|=|B|；②rank(A)=rank(B)． 证 ①如果 A~B, 即存在可逆矩阵 C，使 C-1AC=B，两边取行列式得|C-1 ||A||C|=|B|，因为 |C-1 ||C|=1，所以|A|=|B|； ② 由 C-1BC=A 得： rank(A)≤min{rank(C-1B),rank(C)}≤rank(C-1B)≤min{rank(C-1),rank(B)}≤rank(B) 又由 B=CAC -1 得 rank(B)≤min{rank(CA),rank(C-1)}≤rank(CA)≤min{rank(C-1),rank(A)}≤rank(A) 所以 rank(A)=rank(B)． 2.设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 A ~B,则|A|=|B|，并且 rank(A)=rank(B)． 解 与题 1 之②完全相同．

3设A,B∈ Matnxn(F),g(x)∈Fx].证明:如果A与B相似,则g(A)与g(B)也相似 证A与B相似,即存在可逆矩阵C,使CAC=B,从而 B2=(C-lAC)(C.lACFC-AC, B3=(C-AC)(C-ACFCA'C Bk=(C-Ak-IC)(C-lACFC-lAC i g(x=akx +ak-1x -+.+ aIx +ao Q g(B)ak Bk+ak-1Bk-1.+a1B+ aoE=akC-lA'C +ak-1 C-lAk-C++ar C-IA'C+aoE C-g(A)C 所以g(A)与g(B也相似 4.设A,B是n×n矩阵,证明:如果B是可逆的,则AB~-BA 证令C=B1,对AB右乘B,左乘B得 BABB-1=BA 所以ABBA 5∵设V是F上的线性变换,dim(V)=nn>2,σ是Ⅴ的一个线性变换,证明:如果σ在任何基下 的矩阵都相等,则σ是数乘变换 证设V的一个基为{β,β,…,βm},则{2B1,B2,…,}也是V的一个基,因G在任 何基下的矩阵都相等,设A=(a)nxm,则应有 o(B1)=a+apb2+…+anBn 另一方面,根据线性变换的性质应有 a(2B)=20(B1)=2aB+2aB2+…+2an|Bn (3) 比较(2)(3)式得a=a31=.=a1=0 类似地,可证明,当i时,a=0,即o在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵 又根据{B2,β1,β3,…,Bm}也是V的一个基,可得a2=a 类似地,可证明,当i≠j时,a=an,即o在任何基下的矩阵是数乘矩阵,σ是数乘变换 6取τ:R→R,τ(b=b3,τ是双射,按例832所定义的加法与数量乘积各是什么?证明:R 关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 解按例832所定义可得aeb=r(r(a)+r(b)=a+vb=va+vb) ka=(kr(a)=(k√a)=k2a 2)(aob)=(Va+Vb)ec=(Va+vb+Vc)=a@(bec) 3)a0=(a+0)=a 5)1a=1 6)(kl)@a=(kl)a= k(1a=l8(ka)

3.设 A，B∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果 A 与 B 相似，则 g(A)与 g(B)也相似． 证 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 C，使 C -1AC=B，从而 B 2=(C -1AC) (C -1AC)= C -1A2C，B 3= (C -1A2C) (C -1AC)= C -1A3C，..., B k= (C -1Ak-1C) (C -1AC)= C -1AkC 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+ a1x 1+ a0 则 g(B)=akB k+ak-1B k-1+...+ a1B 1+ a0E= akC -1AkC +ak-1 C -1Ak-1C +...+ a1 C -1A1C + a0E = C -1g(A)C 所以 g(A)与 g(B)也相似． 4. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 B 是可逆的，则 AB~BA． 证 令 C= B -1，对 AB 右乘 B -1，左乘 B 得 BABB -1=BA 所以 AB~BA． 5 * .设 V 是 F 上的线性变换，dim(V)=n,n>2,σ是 V 的一个线性变换，证明：如果σ在任何基下 的矩阵都相等，则σ是数乘变换． 证 设 V 的一个基为{β1，β2，...，βn}，则{2β1，β2，...，βn}也是 V 的一个基，因σ在任 何基下的矩阵都相等，设 A=(aij)n×n，则应有 σ(β1)=a11β1+ a21β2+ ...+ an1βn （1） σ(2β1)=a112β1+ a21β2+ ...+ an1βn （2） 另一方面，根据线性变换的性质应有 σ(2β1)= 2σ(β1)=2a11β1+ 2a21β2+ ...+ 2an1βn （3） 比较（2）（3）式得 a21= a31=...= a21=0 类似地，可证明，当 i≠j 时，aij=0,即σ在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵． 又根据{β2，β1，β3，...，βn}也是 V 的一个基，可得 a12= a21 类似地，可证明，当 i≠j 时，aii= ajj，即σ在任何基下的矩阵是数乘矩阵，σ是数乘变换． 6 * .取τ：R→R，τ(b)=b 3，τ是双射，按例 8.3.2 所定义的加法与数量乘积各是什么？证明：R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 解 按例 8.3.2 所定义可得 ab=τ(τ -1(a)+ τ -1(b))= τ( 3 a + 3 b )=( 3 a + 3 b ) 3 ka=τ(kτ -1(a))= τ(k 3 a )=k 3a 1) ab==( 3 a + 3 b ) 3=( 3 b + 3 a ) 3= ba 2) (ab)c=( 3 a + 3 b ) 3c =( 3 a + 3 b + 3 c ) 3=a(bc) 3) a0=( 3 a +0) 3=a 4) a(-a)= ( 3 a + 3  a ) 3=0 5) 1a=1 3a=a 6) (kl) a=(kl) 3a= k(la)=l(ka)

7)(k+)8a=k+1)a(kla+1ay=(Vka+k2ay=(kea)ea) 8)k(aeb=k(a+Vb)=k(a+Vb)=(k2a+k3b)=(ksae(kb) 所以R关于此(不寻常的)加法与数量乘积成为线性空间 习题8.4 1①设是习题82的第二题中的线性变换,证明:1-2 是σ的一个特征向量 ②设σ是习题81的第三题中的线性变换.e-ex是不是σ的一个特征向量?cosx是不是σ的一 个特征向量? 证①设B= 根据习题82的第二题有 21)(1-2)(1-2 O(BAB= 所以 是o的一个特征向量 ②根据习题8.1的第三题有 (e-eF dt =e k-e*+(e-*x-e =0=0(e*-e-x) o( coSx F(cos x)dt=sinx -SINx 不存在数使cosx=2sinx 所以ex-ex是σ的一个特征向量.cox不是σ的一个特征向量 2求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基 033 ①021 186 解①令队EAF04-2-1=0 得λ1=2,2=3

7) (k+l)a=(k+l) 3a=(k 3 a +l 3 a ) 3 =( 3 3 k a + 3 3 k a ) 3 = (ka)(la) 8) k(ab)= k( 3 a + 3 b ) 3=k 3( 3 a + 3 b ) 3=( 3 3 k a + 3 3 k b ) 3= (ka)(kb) 所以 R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间． 习题 8.4 1.①设σ是习题 8.2 的第二题中的线性变换，证明：        1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ②设σ是习题 8.1 的第三题中的线性变换．e x-e -x是不是σ的一个特征向量？cosx 是不是σ的一 个特征向量？ 证 ① 设 B=        1 2 1 2 ，根据习题 8.2 的第二题有 σ(B)=AB=      1 0 2 1        1 2 1 2 =        1 2 1 2 =1B 所以        1 2 1 2 是σ的一个特征向量． ② 根据习题 8.1 的第三题有 σ(e x-e -x)=    x x t t (e e )dt =e x-e -x+(e -x-e x)=0=0(e x-e -x) σ(cosx)=  x x (cos x)dt =sinx+sinx=2sinx 不存在数λ使 λcosx=2sinx 所以 e x-e -x是σ的一个特征向量．cosx 不是σ的一个特征向量． 2.求下列矩阵的所有特征值和属于每一个特征值的特征子空间的一个基． ①        0 0 3 0 2 1 2 3 1 ②          2 14 10 1 8 6 0 3 3 ③           2 4 2 2 2 4 1 2 2 ④             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解 ①令 |λE-A|= 0 0 3 0 2 1 2 3 1        =0 得λ1=2，λ2=3

解方程组(2EA)X=0,即00 00-1 0 得入1=2的特征子空间的一个基 1-31 解方程组(3EAX=0,即0 000 0 得λ2=3的特征子空间的一个基 ②令EAF1-8 214A+10 解方程组0EAX=0,即1-8-61x2=0 21410(x3)(0 得入1=0的特征子空间的一个基 xI 解方程组EAX=,即1-1-8-61x2|-10 214 +10(x 得入2==-1的特征子空间的一个基 4

解方程组(2E-A)X=0，即          0 0 1 0 0 1 0 3 1       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ1=2 的特征子空间的一个基 ξ1=       0 0 1 解方程组(3E-A)X=0，即         0 0 0 0 1 1 1 3 1       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ2=3 的特征子空间的一个基 ξ2=       1 1 2 ②令 |λE-A|= 2 14 10 1 8 6 3 3          =0 得λ1=0，λ2=λ3= -1， 解方程组(0E-A)X=0，即           2 14 10 1 8 6 0 3 3       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ1=0 的特征子空间的一个基 ξ1=      1 1 2 解方程组(-1E-A)X=0，即               2 14 1 10 1 1 8 6 1 3 3       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ2=λ3=-1 的特征子空间的一个基 ξ2=       4 3 3

③令AEAF24+2-4=0 4A+2 得入=12=2,3=-7, 解方程组(2EAX=0,即24-41x2=0 0 得λ1=λ2=2的特征子空间的一个基 解方程组EAX=0,即2-5-41x2-0 得λ=7的特征子空间的一个基 12-11 ④令队EA 12 得入=-2,λ2=13=4=2, x 解方程组(-2E-A)X=0,即 2-11 0 得入1=2的特征子空间的一个基

③令 |λE-A|= 2 4 2 2 2 4 1 2 2           =0 得λ1=λ2=2，λ3= -7， 解方程组(2E-A)X=0，即          2 4 4 2 4 4 1 2 2       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ1=λ2=2 的特征子空间的一个基 ξ1=       1 0 2 ，ξ2=       0 1 2 解方程组(-7E-A)X=0，即             2 4 5 2 5 4 8 2 2       3 2 1 x x x =       0 0 0 得λ3=-7 的特征子空间的一个基 ξ3=        2 2 1 ④令 |λE-A|= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               =0 得λ1= -2，λ2=λ3=λ4=2， 解方程组(-2E-A)X=0，即                     1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1       4 3 2 1 x x x x =       0 0 0 0 得λ1=-2 的特征子空间的一个基 ξ1=       1 1 1 1

解方程组(2E-A)X=0, 12-111|x210 112-11|x30 得入2=3=4=2的特征子空间的一个基 0 0 (0 3设A∈ Mat(F).证明:0是A的一个特征值的充分必要条件是A=0 证0是A的一个特征值的充分必要条件是OE-A=0,即A=0 4设A∈ Matnxnl(F),证明:如果λ是A的一个特征值,则入是AT的一个特征值 证因为(AE-A)=(入E-A) 矩阵转置其行列式不变,故 E-A=队E-A 所以如果λ0是A的一个特征值,则λ0是A的一个特征值 5设V是一个实数域R上的3维线性空间,G∈(V).证明:定有实特征值 证假若在复数域内将G的特征多项式分解成(-1)(2-2)(-3),由于多项式的非实数根 成对出现,而且是一对共轭复根,所以必然有一个实根,从而σ一定有实特征值 6设2,-2,3是n×n矩阵A的特征值,求(A23A-10En)的行列式 解因为2是n×n矩阵A的特征值,所以A+2En=0 又因(A2-3A-10En)=(A-5EA+2En) 取行列式得A23A-10Ea=A-5E2En+A=0 7.设A∈ Mater(F),g(x)∈FKx].证明:如果λ是A的一个特征值,则g(4)是g(A)的一个 特征值 证如果λ是A的一个特征值,则存在非零n维向量ξ使A2=0,从 A2=A0)=02,A3=λ032,…,A=0 说明λ是矩阵Ak的特征值 ix g(x=akX+ak-1xk-l-+.tax+ao W g(A)5=(akA+aK-1Ak-l+.+aIA+aoE)5=g(0)5 所以g(0)是g(A)的一个特征值 8设V是数域F上的n维线性空间,设G∈(V),并切σ是可逆的.证明:如果λ0是的一个 特征值,则λ0≠0,并且λ1是σ1的特征值 证如果入0是G的一个特征值,则存在a∈V,α≠0,使(a)= 因σ是可逆的,存在σ使σ(o(a)=1(a)=a 由上式最后一个等式看出λ0≠0,否则σ(0a=0,矛盾

解方程组(2E-A)X=0，                 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1       4 3 2 1 x x x x =       0 0 0 0 得λ2=λ3=λ4=2 的特征子空间的一个基 ξ2=       0 0 1 1 ，ξ3=       0 1 0 1 ，ξ4=       1 0 0 1 3.设 A∈Matn×n(F)．证明：0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|A|=0． 证 0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|0E-A|=0，即|A|=0． 4.设 A∈Matn×n(F)．证明：如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值． 证 因为 (λ0E-A) T= (λ0E-AT ) 矩阵转置其行列式不变，故 |λ0E-A|= |λ0E-AT | 所以如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值． 5.设 V 是一个实数域 R 上的 3 维线性空间，σ∈ℒ(V)．证明：σ一定有实特征值． 证 假若在复数域内将σ的特征多项式分解成 (λ-λ1) (λ-λ2) (λ-λ3),由于多项式的非实数根 成对出现，而且是一对共轭复根，所以必然有一个实根，从而σ一定有实特征值． 6.设 2，-2，3 是 n×n 矩阵 A 的特征值，求(A2-3A-10En)的行列式． 解 因为 2 是 n×n 矩阵 A 的特征值，所以|A+2 En|=0． 又因 (A2-3A-10En)=(A-5 En)(A+2 En) 取行列式得 |A2-3A-10En|=|A-5 En| |2 En+ A |=0 7. 设 A∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果λ0 是 A 的一个特征值，则 g(λ0)是 g(A)的一个 特征值． 证 如果λ0是 A 的一个特征值，则存在非零 n 维向量ξ使 Aξ=λ0ξ，从而 A2ξ=A(λ0ξ)= λ0 2ξ ，A3ξ= λ0 3ξ，...，Akξ= λ0 kξ 说明λ0 k是矩阵 Ak的特征值， 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+a1x+a0 则 g(A)ξ= (akAk+ak-1Ak-1+...+a1A+a0E)ξ= g(λ0) ξ 所以 g(λ0)是 g(A)的一个特征值． 8.设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，设σ∈ℒ(V)，并切σ是可逆的．证明：如果λ0是σ的一个 特征值，则λ0≠0，并且λ0 -1 是σ -1的特征值． 证 如果λ0是σ的一个特征值，则存在α∈V，α≠0，使σ(α)=λ0α 因σ是可逆的，存在σ -1使σ -1(σ(α))= σ -1(λ0α)= α 由上式最后一个等式看出λ0≠0，否则σ -1(λ0α)=0，矛盾．