西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第八章线性变换.doc_大学文库

习题 8.1 1.证明：例 8.1.3 中的σ是 V 的一个线性变换．例 8.1.3 的描述：设 V= Matn×n(F)，设 A∈V，令σ(A)=A+ AT，则σ∈ℒ(V)．证首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(A+B)=(A+B)+(A+B)T=A+B+AT+B T= (A+AT ) +(B+B T )= σ(A)+σ(B) σ(kA)=kA+(kA) T =k(A+ AT )=kσ(A) 所以σ∈ℒ(V)． 2. 设 V= Matn×n(F)，设 A∈V，对任意 B∈V，令σ(B)=AB,证明：σ是 V 的一个线性变换．证首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(B+C)=A(B+C)=AB+AC= σ(B)+σ(C) σ(kB)=A(kB)+kAB=kσ(B) 所以σ∈ℒ(V)． 3.设 a 是实数，W 是在[-a,a]上连续的实函数全体所组成的 R 上线性空间．对任意 f(x)∈W，令σ(f(x))= 错误!,证明：σ是 W 的一个线性变换．证首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ(f(x)+g(x))= 错误!=错误!+错误!= σ(f(x))+σ(g(x)) σ(kf(x))= 错误!=k错误!=kσ(f(x)) 所以σ∈ℒ(V)． 4.在 V=F 3中， ①令σ(a1，a2，a3)=(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)．证明：σ是 V 的一个线性变换． ②令σ(a1，a2，a3)=( 3a1-a2，a1-4a3，a2a3)．证明：σ不是 V 的线性变换．证 ①首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ((a1，a2，a3)+ (b1，b2，b3))= σ(a1+b1，a2+b2，a3+b3) =(3(a1+b1)-( a2+ b2)-3(a3+b3),( a1+b1)+4(a2+b2)-4(a3+b3),-2(a1+ b1)-( a2+ b2)) =( 3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)+ (3b1-b2-3b3，b1+4b2-4b3，-2b1-b2) = σ(a1，a2，a3)+σ(b1，b2，b3) 又 σ(k(a1，a2，a3))= σ(ka1，ka2，ka3) =(3ka1-ka2-3ka3，ka1+4ka2-4ka3，-2ka1-ka2) =k(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)=kσ((a1，a2，a3)) 所以σ∈ℒ(V)． ②当 a2≠0，a3≠0，k=2 时，σ(2(a1，a2，a3))=(6a1-2a2，2a1-8a3，4a2a3) 而 2σ(a1，a2，a3)= (6a1-2a2，2a1-8a3，2a2a3)≠σ(2(a1，a2，a3)) 所以σ不是 V 的线性变换． 5.设σ是线性空间 V 的一个线性变换．证明：如果向量组{α1，α2，...，αs }线性相关，则{σ(α1), σ(α2),...，σ(αs )}也线性相关．证因为{α1，α2，...，αs }线性相关，所以存在不全为零的数 k1，k2，...，ks 使 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 从而 k1σ(α1)+k2σ(α2)+...+ksσ(αs)= σ(k1α1+k2α2+...+ksαs)= σ(0)=0 说明{σ(α1), σ(α2),...，σ(αs )}也线性相关．

6.是否存在F 3的一个线性变换σ，使σ(ε2)= ε2，而对于任意不等于ε2的V的元素α，都有σ(α)=0？答不存在．因为如果σ(ε2)= ε2，令α=2ε2，则α≠ε2，但σ(α)=2σ(ε2)= 2ε2≠0． 7.设 V 是数域 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，α∈V．证明： ① U={g(σ)|g(x)∈F[x])}是 F 上的线性空间． ② W={g(σ)(α)|g(x)∈F[x])}是 V 的子空间． ③存在 0≠h(x)∈F[x],使得 h(σ)(α)=0．证 ① 对任意 g(σ) ，h(σ)∈U,任意 k∈F，记 f(σ)= g(σ) +h(σ) ，则 f(σ)∈U kg(σ)∈U 所以 U 是ℒ(V)的子空间，故 U 是 F 上的线性空间． ②对任意 g(σ)(α) ，h(σ)(α)∈W,任意 k∈F，记 f(σ)(α)= (g(σ) +h(σ))(α) ，则 f(σ)(α)∈W kg(σ)(α)∈W 所以 W 是 V 的子空间． ③设 dim(V)=n,则 V 中任意 n+1 个向量线性相关，所以α, σ(α), σ 2(α),..., σ n(α)一定线性相关，即存在不全为零的数 k1，k2，...，kn+1 使 k1α+ k2σ(α)+ k3σ 2(α)+...+ kn+1 σ n(α)=0 令 h(x)= k1+ k2x+ k3x 2+...+ kn+1x n 则 h(x)∈F[x]，且 h(x)≠0，使得 h(σ)(α)=0． 8. 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，，设(Ⅱ)：{β1，β2，...，βn }是 V 的一个基，对于 i=1,2,...,n， j=1,2,...,n，令σij∈ℒ(V)，使得，对于 t≠i，都有σij(βt)=0；σij(βi)= βj ．证明： {σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 是ℒ(V)的一个基．证设有 n×n 个数 kij，（i=1,2,...,n;j=1,2,...,n），使 k11σ11+k12σ12+k13σ13+... +k1nσ1n+ +k21σ21+ k22σ22+ k23σ23+...+ k2nσ2n+ ... + kn1σn1+ kn2σn2+kn3σn3+...+ knnσnn =0 （1）用等号两端分别对β1变换得 k11β1+k12β2+k13β3+... +k1nβn=0 由于{β1，β2，...，βn }线性无关，所以 k11= k12= k13=...= k1n=0 同理，分别用（1）对β1，β2，...，βn变换，会得出 kij全部为零的结论，即{σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 线性无关．又，对于任意σ∈ℒ(V)，它在基{β1，β2，...，βn}下有唯一的矩阵 A，设 A 的第 i 列向量为(k1i, k2i,..., kni)T，则σ可以表示为 σ= k11σ11+k21σ12+..., kn1σ1n+ + k12σ21+k22σ22+..., kn2σ2n+ ... +k1nσn1+k2nσn2+..., knnσnn+

σβ2=Aβ2=      1 0 2 1       0 0 0 1 =       0 1 0 2 =0β1+2β2+0β3-1β4 σβ3=Aβ3=      1 0 2 1       1 0 0 0 =       0 0 1 0 =1β1+0β2+0β3+0β4 σβ4=Aβ4=      1 0 2 1       0 1 0 0 =       0 0 0 1 =0β1+1β2+0β3+0β4 σ在基{β1，β2，β3，β4}下的矩阵为         0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 2 0 1 0 3.设σ是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅱ)：{β1，β2，β3}是 V 的一个基，σ在(Ⅱ)下的矩阵是 A=          4 1 1 1 2 2 0 3 1 ，求σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标．解因为σ(β1，β2，β3)=(β1，β2，β3)A 所以σ(2β1-β2+5β3)= σ (β1，β2，β3)       5 1 2 = (β1，β2，β3)A       5 1 2 σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标 A       5 1 2 =          4 1 1 1 2 2 0 3 1       5 1 2 =       2 14 8 4.设 V 是 F 上的维数是 3 的线性空间，σ是 V 的一个线性变换．证明：如果存在α∈V，满足 α≠0，但σ(α)=0，则σ在某个基下的矩阵有一列都是零．证设α≠0，但σ(α)=0，将α扩充成为 V 的一个基{α，β，γ}，则σ在基{α，β，γ}下的矩阵的第 1 列都是零． 5.设 V 是 F 上的线性空间，设α1，α2，...，αs∈V，σ∈ℒ(V)．证明：如果{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基，则σ是可逆的．证如果{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基，dim(V)=s，V 中任意 s 个线性无关的向量都是 V 的基．假若α1，α2，...，αs线性相关，则存在不全为零的数 k1, k2,..., ks,使 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 从而 k1σ(α1)+k2σ(α2)+...+ksσ(αs)=σ(k1α1+k2α2+...+ksαs s)=0 这与{σ(α1)，σ(α2)，...， σ(αs)}是 V 的一个基矛盾．所以α1，α2，...，αs线性无关．α1，α2，...， αs也是 V 的一个基．

定义τ∈ℒ(V)，τ(σ(α1))= α1, τ(σ(α2))= α2,..., τ(σ(αs))= αs 则τ是σ的逆． 6 * .设 V 是 F 上的有限维线性空间，(Ⅲ)：{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个有序向量组．证明：如果对任何 V 的有序向量组{α1，α2，...，αn}，都有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj，j=1,2,...,n，则{ξ1, ξ2,..., ξn}是 V 的一个基．证若 V 是零空间，V 没有基，上述说法不成立．原题应设 dim(V)=m≠0，此时，由题意知，每个ξj不等于零，否则取αj≠0，有σ(ξj)= αj, 矛盾．假设 n>m，则{ξ1, ξ2,..., ξn}线性相关，即存在不全为零的数 k1, k2,..., kn,使 k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 不妨设 k1≠0，现取α1=2ξ1，αj=ξj，j=2,3,...,n, 依题意，有唯一的线性变换σ，使得σ(ξj)= αj 用σ作用于上式两端得 2k1ξ1+k2ξ2+...+knξn=0 出现矛盾，这说明{ξ1, ξ2,..., ξn}线性无关．从而 n≤m．假设 n<m，现将{ξ1, ξ2,..., ξn}扩充成为 V 的一个基{ξ1, ξ2,..., ξn, ξn+1, ...,ξm} 取αj=ξj，j=1,2,3,...,n,定义两个线性变换σ，τ如下 σ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; σ(ξj)= ξj, j=n+1,n+2,...,m, τ(ξj)= αj= ξj, j=1,2,3,...,n; τ(ξj)= 0, j=n+1,n+2,...,m 从而σ(ξj)= τ(ξj)，j=1,2,3,...,n，但显然σ≠τ，与题设矛盾．这说明只有 n=m．故{ξ1, ξ2,..., ξn} 是 V 的一个基．习题 8.3 1.证明定理 8.3.1，定理 8.3.2．定理 8.3.1 的描述：矩阵相似有如下的性质：①（反身性）A~A;②（对称性）如果 B~A,则 A~B；③（传递性）如果 C~B,B~A,则 C~A．证 ①令 C=E，则 C 可逆且 E -1AE=A，所以 A~A； ②如果 B~A,即存在可逆矩阵 C，使 C -1BC=A，则两边右乘 C -1，左乘 C，得 B=CAC -1 所以 A~B； ③ 如果 C~B,B~A,即存在可逆矩阵 P，Q 使 P -1CP=B，Q-1BQ=A，则 (Q-1P -1)C(PQ)=A 所以 C~A．定理 8.3.2 的描述：如果 A~B,则①|A|=|B|；②rank(A)=rank(B)．证 ①如果 A~B, 即存在可逆矩阵 C，使 C-1AC=B，两边取行列式得|C-1 ||A||C|=|B|，因为 |C-1 ||C|=1，所以|A|=|B|； ② 由 C-1BC=A 得： rank(A)≤min{rank(C-1B),rank(C)}≤rank(C-1B)≤min{rank(C-1),rank(B)}≤rank(B) 又由 B=CAC -1 得 rank(B)≤min{rank(CA),rank(C-1)}≤rank(CA)≤min{rank(C-1),rank(A)}≤rank(A) 所以 rank(A)=rank(B)． 2.设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 A ~B,则|A|=|B|，并且 rank(A)=rank(B)．解与题 1 之②完全相同．

3.设 A，B∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果 A 与 B 相似，则 g(A)与 g(B)也相似．证 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 C，使 C -1AC=B，从而 B 2=(C -1AC) (C -1AC)= C -1A2C，B 3= (C -1A2C) (C -1AC)= C -1A3C，..., B k= (C -1Ak-1C) (C -1AC)= C -1AkC 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+ a1x 1+ a0 则 g(B)=akB k+ak-1B k-1+...+ a1B 1+ a0E= akC -1AkC +ak-1 C -1Ak-1C +...+ a1 C -1A1C + a0E = C -1g(A)C 所以 g(A)与 g(B)也相似． 4. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：如果 B 是可逆的，则 AB~BA．证令 C= B -1，对 AB 右乘 B -1，左乘 B 得 BABB -1=BA 所以 AB~BA． 5 * .设 V 是 F 上的线性变换，dim(V)=n,n>2,σ是 V 的一个线性变换，证明：如果σ在任何基下的矩阵都相等，则σ是数乘变换．证设 V 的一个基为{β1，β2，...，βn}，则{2β1，β2，...，βn}也是 V 的一个基，因σ在任何基下的矩阵都相等，设 A=(aij)n×n，则应有 σ(β1)=a11β1+ a21β2+ ...+ an1βn （1） σ(2β1)=a112β1+ a21β2+ ...+ an1βn （2）另一方面，根据线性变换的性质应有 σ(2β1)= 2σ(β1)=2a11β1+ 2a21β2+ ...+ 2an1βn （3）比较（2）（3）式得 a21= a31=...= a21=0 类似地，可证明，当 i≠j 时，aij=0,即σ在任何基下的矩阵是同一个对角矩阵．又根据{β2，β1，β3，...，βn}也是 V 的一个基，可得 a12= a21 类似地，可证明，当 i≠j 时，aii= ajj，即σ在任何基下的矩阵是数乘矩阵，σ是数乘变换． 6 * .取τ：R→R，τ(b)=b 3，τ是双射，按例 8.3.2 所定义的加法与数量乘积各是什么？证明：R 关于此（不寻常的）加法与数量乘积成为线性空间．解按例 8.3.2 所定义可得 ab=τ(τ -1(a)+ τ -1(b))= τ( 3 a + 3 b )=( 3 a + 3 b ) 3 ka=τ(kτ -1(a))= τ(k 3 a )=k 3a 1) ab==( 3 a + 3 b ) 3=( 3 b + 3 a ) 3= ba 2) (ab)c=( 3 a + 3 b ) 3c =( 3 a + 3 b + 3 c ) 3=a(bc) 3) a0=( 3 a +0) 3=a 4) a(-a)= ( 3 a + 3  a ) 3=0 5) 1a=1 3a=a 6) (kl) a=(kl) 3a= k(la)=l(ka)

解方程组(2E-A)X=0，                 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1       4 3 2 1 x x x x =       0 0 0 0 得λ2=λ3=λ4=2 的特征子空间的一个基 ξ2=       0 0 1 1 ，ξ3=       0 1 0 1 ，ξ4=       1 0 0 1 3.设 A∈Matn×n(F)．证明：0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|A|=0．证 0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|0E-A|=0，即|A|=0． 4.设 A∈Matn×n(F)．证明：如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值．证因为 (λ0E-A) T= (λ0E-AT ) 矩阵转置其行列式不变，故 |λ0E-A|= |λ0E-AT | 所以如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值． 5.设 V 是一个实数域 R 上的 3 维线性空间，σ∈ℒ(V)．证明：σ一定有实特征值．证假若在复数域内将σ的特征多项式分解成 (λ-λ1) (λ-λ2) (λ-λ3),由于多项式的非实数根成对出现，而且是一对共轭复根，所以必然有一个实根，从而σ一定有实特征值． 6.设 2，-2，3 是 n×n 矩阵 A 的特征值，求(A2-3A-10En)的行列式．解因为 2 是 n×n 矩阵 A 的特征值，所以|A+2 En|=0．又因 (A2-3A-10En)=(A-5 En)(A+2 En) 取行列式得 |A2-3A-10En|=|A-5 En| |2 En+ A |=0 7. 设 A∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果λ0 是 A 的一个特征值，则 g(λ0)是 g(A)的一个特征值．证如果λ0是 A 的一个特征值，则存在非零 n 维向量ξ使 Aξ=λ0ξ，从而 A2ξ=A(λ0ξ)= λ0 2ξ ，A3ξ= λ0 3ξ，...，Akξ= λ0 kξ 说明λ0 k是矩阵 Ak的特征值，设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+a1x+a0 则 g(A)ξ= (akAk+ak-1Ak-1+...+a1A+a0E)ξ= g(λ0) ξ 所以 g(λ0)是 g(A)的一个特征值． 8.设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，设σ∈ℒ(V)，并切σ是可逆的．证明：如果λ0是σ的一个特征值，则λ0≠0，并且λ0 -1 是σ -1的特征值．证如果λ0是σ的一个特征值，则存在α∈V，α≠0，使σ(α)=λ0α 因σ是可逆的，存在σ -1使σ -1(σ(α))= σ -1(λ0α)= α 由上式最后一个等式看出λ0≠0，否则σ -1(λ0α)=0，矛盾．

西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第八章 线性变换

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