安石油大学 2006/2007学年第2学期考试题(卷) 课程名称高等代数(2)考试性质考试试卷类型C 使用班级信息0601-0602,数学0601考试方法闭卷人数 僵出州⌒指 题号 三「三四「五六七「八「九「十总成绩 成绩 (10分)设n,n2,…,n,ns,…,nst是线性空间V的元素,证明 t+rank({n,n2,…,ns})≥rank({n,n2,…,ns,nt+1,…,nst) 卫回出世烂长只 长二、(12分)在F3中,求由基()到基(Ⅱ1)的过渡矩阵 (Ⅲ):{a1=1a2=1,a3=0 I):月 B2=5B3=-8 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 课程名称 高等代数（2） 考试性质 考试 试卷类型 C 使用班级 信息 0601-0602,数学 0601 考试方法 闭卷 人 数 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 成 绩 成 绩 一、（10 分）设η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t是线性空间 V 的元素，证明： t+rank({η1，η2，…，ηs})≥rank({η1，η2，…，ηs，ηs+1，..., ηs+t})． 二、（12 分）在 F 3中，求由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵． (Ⅲ)： 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 (Ⅱ)： 8 8 3 , 3 5 1 , 3 4 1 1 2 3 班 级 学 号 姓 名 命 题 教 师 教 研 室（系）主 任 审 核 签( 字) --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订 ---------------------------------------- 线 -------------------------------------------- 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 2006/2007 学年第 2 学期考试题（卷）
三、(此题12分,每小题6分)①设(Ⅱ)(I,(V)是线性空间Ⅴ的三个基.如果从(II) 到(的过渡矩阵是A,从(Ⅲ)到(Ⅵ)的过渡矩阵是B,求从()到(Ⅵ)的过渡矩阵 ②设o是3维线性空间V的线性变换,设(Ⅱ):{β1,B2,B3}是V的一个基,在(Ⅱ) 下的矩阵是A=1-22,求0(2B-02+5B)在基(Ⅱ)下的坐标 四、(12分)设A=-2-24,求矩阵A的所有特征值和属于每一个特征值的特 征子空间的一个基 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 三、（此题 12 分，每小题 6 分）①设(Ⅱ),(Ⅲ), (Ⅵ)是线性空间 V 的三个基．如果从(Ⅱ) 到(Ⅲ)的过渡矩阵是 A，从(Ⅲ)到(Ⅵ)的过渡矩阵是 B，求从(Ⅱ)到(Ⅵ)的过渡矩阵． ②设σ是 3 维线性空间 V 的线性变换，设(Ⅱ)：{β1，β2，β3}是 V 的一个基，σ在(Ⅱ) 下的矩阵是 A= 4 1 1 1 2 2 0 3 1 ，求σ(2β1-β2+5β3)在基(Ⅱ)下的坐标． 四、（12 分）设 A= 2 4 2 2 2 4 1 2 2 ，求矩阵 A 的所有特征值和属于每一个特征值的特 征子空间的一个基．
课程名称 使用班级 五、(此题12分,每小题6分)①设ABG 其中B是r×r矩阵,H是s 0 H s矩阵.证明:H的最小多项式是A的最小多项式的一个因子 卫学出世要长条 ②设V是一个F上的线性空间,∈g(V),o的最小多项式是m(入),设h() ∈F[λ].证明:如果(m(λ)h()=1,则h(o)是可逆的 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 五、（此题 12 分，每小题 6 分）① 设 A= H B G 0 ，其中 B 是 r×r 矩阵，H 是 s× s 矩阵．证明：H 的最小多项式是 A 的最小多项式的一个因子． ② 设 V 是一个 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，σ的最小多项式是 m(λ)，设 h(λ) ∈F[λ]．证明：如果(m(λ),h(λ))=1，则 h(σ)是可逆的． 班 级 学 号 姓 名 --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订 ---------------------------------------- 线 -------------------------------------------- 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 课程名称: 使用班级
六、(12分)设G∈(V),dm(V)n,并且σ在基{β1,β2,Bn}下的矩阵是J(o,n).证 明:①如果W≠{0}是一个σ子空间,则Bn∈W.②V不可能是两个非平凡的子空 间的直和 七、(10分)设A=3-16,求矩阵A的若尔当标准形 A-30 10 0 解 入E-A= 0+10 (6分) 20x+5)(00(+12 A的初等因子为{(+1)(+1)},A的若当标准形为 100 0-10 (4分) 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 六、（12 分）设σ∈ℒ(V)，dim(V)=n，并且σ在基{β1, β2,..., βn}下的矩阵是 J(λ0,n)．证 明：①如果 W≠{0}是一个σ子空间，则βn∈W．②V 不可能是两个非平凡的子空 间的直和． 七、（10 分）设 A= 2 0 5 3 1 6 3 0 8 ，求矩阵 A 的若尔当标准形． 解 λE-A= 2 0 5 3 1 6 3 0 8 → 2 0 0 ( 1) 0 1 0 1 0 0 （6 分） A 的初等因子为{(λ+1),( λ+1) 2}，A 的若当标准形为 J= 0 1 1 0 1 0 1 0 0 （4 分）
课程名称 使用班级 八、(此题10分)用施密特正交化的方法,将B=1,B2=2,B3=3标准正交 化 回出世烂长冖兴 九、(10分)设V是一个欧几里得空间,τ是Ⅴ的一个反对称变换.证明:如果λ 是τ的一个实特征值,则λ是0. 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 八、（此题 10 分）用施密特正交化的方法，将β1= 1 1 1 ，β2= 3 2 1 ，β3= 9 3 1 标准正交 化． 九、（10 分） 设 V 是一个欧几里得空间，τ是 V 的一个反对称变换．证明：如果λ0 是τ的一个实特征值，则λ0是 0． 班 级 学 号 姓 名 --------------------------------------------- 装 ----------------------------------------- 订 ---------------------------------------- 线 -------------------------------------------- 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 课程名称: 使用班级
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