本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(1) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (12分,每小题6分)计算行列式 00 a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 (1)D4= 0-1c1 (2)D=b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2 d2(d+1)2(d+2)2(d+3 AiE:(1)D4=abcd+ab+ad+cd (2)Dn=0 二、(10分)已知 20且AB+E=A,试求矩阵B 000 解:AB=A-E (2分) 记C=(A,AE) 00000 00000 C1201100101/21/20 6分) s113-11 01-1/21/62/3 000 121/20 (2分 121/62/ 三、(12分)已知a=(1,1-1),B=(1,2,3),试求: T T 解:aβ=(11-1) (123) (4分) 2 (a) [:3: (4分) 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(1) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（12 分，每小题 6 分）计算行列式 (1) D4=| a 1 0 0 -1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 d| (2) D4=| a 2 (a+1) 2 (a+2) 2 (a+3) 2 b 2 (b+1) 2 (b+2) 2 (b+3) 2 c 2 (c+1) 2 (c+2) 2 (c+3) 2 d 2 (d+1) 2 (d+2) 2 (d+3) 2| 解：（1）D4=abcd+ab+ad+cd （2）Dn=0 二、（10 分）已知 A= 1 0 0 1 2 0 -1 1 3 且 AB+E=A，试求矩阵 B． 解：AB=A-E= 0 0 0 1 1 0 -1 1 2 (2 分) 记 C=(A,A-E) C= 1 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 0 -1 1 3 -1 1 2 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1/2 1/2 0 0 0 1 -1/2 1/6 2/3 (6 分) B= 0 0 0 1/2 1/2 0 -1/2 1/6 2/3 (2 分) 三、（12 分）已知α=(1,1,-1),β=(1,2,3)，试求： ①αβT ②αTβ ③（αTβ）2 解：αβ T=(1 1 -1) 1 2 3 =0 (4 分) α Tβ= 1 1 -1 (1 2 3) = 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 (4 分) (α Tβ) 2= 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （4 分）
四、(10分)已知A 0-1-2 l1x+11 的秩为2,试求xy的值 y-2-2-2-2 解: 234 0-1-210 46 123 11x+11||0 021 x+23 (6分) 要使A的秩为2,必须x=0y=0同时成立 (4分) 五、(10分)判别向量组a=(1,1,0,-1),B=(1,2,3,4),Y=(1,2,1,1),6=(2,4,2,2),的 线性相关性,并求最大无关组 解考察矩阵 12 135 1100 12 1100 (6分) 向量组a,B,y,8的秩为3,所以它们线性相关 (2分) a,B,Y就是一个最大无关组 六、(10分)求下面方程组的基础解系 X1+x2+2x3X4=0 2x1+2x2+x3+2x4=0 解:对系数矩阵做行的初等变换 12-1 A211 5分) 另x4=c,得xy=4c/3,x2=3c,x1=4/3c (5分) 七、(8分)判别下列矩阵是不是正定矩阵 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 四、（10 分）已知 A= 1 2 3 4 1 0 -1 -2 1 1 x+1 1 y-2 -2 -2 -2 的秩为 2，试求 x,y 的值． 解： 1 2 3 4 1 0 -1 -2 1 1 x+1 1 y-2 -2 -2 -2 ~ 1 0 -1 -2 0 2 4 6 0 1 x+2 3 0 -2 y-4 2y-6 ~ 1 0 -1 -2 0 1 2 3 0 0 x 0 0 0 y 2y (6 分) 要使 A 的秩为 2，必须 x=0,y=0 同时成立 （4 分） 五、（10 分）判别向量组α=(1,1,0,-1),β=(1,2,3,4)，γ=(1,2,1,1)，δ=(2,4,2,2)，的 线性相关性，并求最大无关组． 解 考察矩阵 A= 1 1 1 2 1 2 2 4 0 3 1 2 -1 4 1 2 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 2 0 5 2 4 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 -2 -4 0 0 -3 -6 ~ 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 （6 分） 向量组α,β，γ，δ的 秩为 3，所以它们线性相关． （2 分） α,β,γ就是一个最大无关组． （2 分） 六、（10 分）求下面方程组的基础解系． x1+x2+2x3-x4=0 2x1+x2+x3-x4=0 2x1+2x2+x3+2x4=0 解：对系数矩阵做行的初等变换 A= 1 1 2 -1 2 1 1 -1 2 2 1 2 ~ 1 1 2 -1 0 -1 -3 1 0 0 -3 4 （5 分） 另 x4=c，得 x3=4c/3，x2=-3c，x1=4/3c 即 x1 x2 x3 x4 =c 4 3 -3 4 3 1 (5 分) 七、（8 分）判别下列矩阵是不是正定矩阵．
2-97 305 322 解:由于A的各阶顺序主子式 2-9 2130.|032120,但0323|0 所以矩阵A不是正定矩阵 八、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解. x1+x2-X3+x4=1 +4x2-3x3+5X4=2 解:增广矩阵 1-111 4-35-2 4-35-2 21-3410-75-95 -75-95 (4分) 方程组有解,令ⅹ=0,x4=0得x2=5/7,x1=6/7,非齐次方程组的特解为 (2分) 对应的齐次线性方程组,令x=c1,x=c2,得x2=5c/7-9/7c2,x1=c1/7+c2/7, 齐次方程组的通解为 非齐次方程组的通解为 9701 0 九、(10分)试用配方法寻求可逆线性变换X=CY,把下面二次型化为标准形,并 判别其是否正定.二次型为 f(x, y, z)=x2+2y2+4z2+2xy+6yz+2zX 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 A= 1 2 -9 7 0 3 -2 3 0 0 4 2 1 5 -7 12 解：由于 A 的各阶顺序主子式 1>0, |1 2 0 3 |=3>0, | 1 2 -9 0 3 -2 0 0 4 |=12>0, 但| 1 2 -9 7 0 3 -2 3 0 0 4 2 1 5 -7 12| =0 所以矩阵 A 不是正定矩阵． 八、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． 2x1+x2-x3+x4=1 3x1-2x2+x3-3x4=4 x1+4x2-3x3+5x4=-2 解：增广矩阵 B= 2 1 -1 1 1 3 -2 1 -3 4 1 4 -3 5 -2 ~ 1 4 -3 5 -2 0 -7 5 -9 5 0 -14 10 -18 10 ~ 1 4 -3 5 -2 0 -7 5 -9 5 0 0 0 0 0 (4 分) 方程组有解，令 x3=0,x4=0 得 x2=-5/7, x1=6/7,非齐次方程组的特解为 x1 x2 x3 x4 = 6 7 -5 7 0 0 (2 分) 对应的齐次线性方程组，令 x3=c1,x4= c2,得 x2= 5c1/7-9/7c2, x1= c1/7+ c2/7, 齐次方程组的通解为 x1 x2 x3 x4 = c1 1 7 5 7 1 0 +c2 1 7 -9 7 0 1 (4 分) 非齐次方程组的通解为 x1 x2 x3 x4 = c1 1 7 5 7 1 0 +c2 1 7 -9 7 0 1 + 6 7 -5 7 0 0 (2 分) 九、（10 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形，并 判别其是否正定．二次型为 f(x,y,z)=x 2+2y 2+4z 2+2xy+6yz+2zx
解:f=(x+y+z)2+y2+4yz+3z2=(x )2-z2 (3分) w-Xtytz (3分) 得f=w2+u2v2 (2分) 显然该二次型不是正定的 十、(6分)设向量组a1,a2,…,as线性无关,但加上向量B后线性相关,试证向 量β可由向量组a,a2,,as线性表示 证:由a1,a2,…,as,β线性相关知,存在不全为零的数k,k2,,k,ko,使 ki a 1+k,a 2+.+ks a st ko b=0 由a1,a2,,as线性无关知,上式中k必不为0,从而得 B 即β可由向量组a,a2,,as线性表示 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 解：f=(x+y+z) 2+ y 2+4yz+3z 2=(x+y+z) 2+ (y+2z) 2-z 2 (3 分) 令 w=x+y+z u=y+2z v=z 即 x=w-u+v y=u-2v z=v (3 分) 得 f=w2+u 2-v 2 (2 分) 显然该二次型不是正定的． (2 分) 十、(6 分)设向量组α1, α2, …, αs 线性无关，但加上向量β后线性相关，试证向 量β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示． 证：由α1, α2, …, αs, β线性相关知，存在不全为零的数 k1, k2,…, ks, k0,使 k1α1+k2α2+…+ ksαs+ k0β=0 由α1, α2, …, αs线性无关知，上式中 k0必不为 0，从而得 β= k1 k0 α1+ k2 k0 α2+…+ ksk0 αs 即β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示．