西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第一章 线性方程组的消元解法

习题1.1解答 1.下列数集哪些是数域?哪些是数环?哪些既非数域也非数环? 1)所有正实数所成的集合 2)所有偶数(或奇数)构成的集合 3)某个整数a的所有整数倍所成的集合 4)F={a+b2b∈Q 解1)所有正实数所成的集合对减法不封闭,所以不是数环,当然也非数域 2)所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭,所以是数环:但对除法不封闭,所以不 是数域 3)某个整数a的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭,所以是数环;但对除法 不封闭,所以不是数域 4)在F={a+b2ab∈g}中取2,显然v2×V2eF,即对乘法不封闭,所以F 不是数环,当然也非数域 2证明:两个数域的交是一个数域 解设A,B是两个数域,则0,1∈A,0,1∈B,从而0,1∈A∩B;对任意xy∈A∩B, 有xy∈A和xy∈B,从而x+y∈A,xy∈A,x×y∈A,x÷y∈A(对y≠0),同样也有x+y ∈B,xy∈B,xxy∈B,x÷y∈B(对y≠0),所以xy∈AnB,xy∈AnB,x×y∈An B,x÷y∈A∩B(对y≠0),故A∩B是数域 3’证明:F={a+biab∈Q}(i是虚单位)是一个数域 解显然0=0+0i∈F,1=1+0i∈F;对任意a+ bi.c+di∈F,有(a+bi)+(+di)=(a+c)+(bdi∈F, (abi)-(c+di)=(a-c)+(bd)i∈F,(a+bi)×(c+di)=ac-bd+(ad+bci∈F,若c+di≠0,则 (a+bi)(+di(a+bi(c-di)ac+bd.(cb-ad) i∈F.所以F是数域. 证明:G={a+ bila, b∈Z}是数环而不是数域 解对任意a+bic+di∈G,有(a+bi)(c+di)=(ac)+(b+d)∈G,(a+bi)(c+di)=ac)+(b-d)i ∈G,(a+bi)×(+di)=ac-bd)+(ad+bci∈G,所以G是数环.数1=1+0i∈G,2=2+0i∈G,2 ≠0,但1÷2gG,所以G不是数域 习题1.2解答 1用行的初等变换,将下列矩阵化为行最简形 10 2141 3375

习题 1.1 解答 1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？ 1）所有正实数所成的集合． 2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数 a 的所有整数倍所成的集合． 4）F={ a  b 2 a,b Q 3 }． 解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域． 2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不 是数域． 3）某个整数 a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法 不封闭，所以不是数域． 4）在 F={ a  b 2 a,b Q 3 } 中取3 2 ，显然 3 2 × 3 2 F，即对乘法不封闭，所以 F 不是数环，当然也非数域． 2.证明：两个数域的交是一个数域． 解 设 A，B 是两个数域，则 0,1∈A，0,1∈B，从而 0,1∈A∩B；对任意 x,y∈A∩B， 有 x,y∈A 和 x,y∈B，从而 x+y∈A，x-y∈A，x×y∈A，x÷y∈A（对 y≠0），同样也有 x+y ∈B，x-y∈B，x×y∈B，x÷y∈B（对 y≠0），所以 x+y∈A∩B，x-y∈A∩B，x×y∈A∩ B，x÷y∈A∩B（对 y≠0），故 A∩B 是数域． 3 * .证明：F={a+bi|a,b∈Q}（i 是虚单位）是一个数域． 解 显然 0=0+0i∈F，1=1+0i∈F；对任意 a+bi,c+di∈F，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈F， (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈F，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈F，若 c+di≠0，则 (a+bi)÷(c+di)= i F c d cb ad c d ac bd c d a bi c di           2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ．所以 F 是数域． 4* .证明：G={a+bi|a,b∈Z}是数环而不是数域． 解 对任意 a+bi,c+di∈G，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈G，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈G，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈G，所以 G 是数环．数 1=1+0i∈G，2=2+0i∈G，2 ≠0，但 1÷2G，所以 G 不是数域．习题 1.2 解答 1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形． ①        3 1 2 2 1 3 1 1 0 ②       5 0 6  2 3 3 7 5 2 1 4 1 1 2 3 2

2410 4 1-12-1 1.23 062 解①213|033→011 010 00-2)(001 2141 0-3-2-3|0-3-2-3 337 0-3-2-1 0-3-2 506-2)(0-10-9-12)(0-10-9-12 123 00 2 00-7/3-2001 000 00-7/3-2)(000 0001 1-12 ③1-12-1-310 13-44 3 0400 04-6 101/2 500 04-63→04-6 01-3/2 0002)(000 000 1-2-501 -241064000660362 0362-1109183-2 0983-2丿(00066 1-2-5 30 -501)(1-2-500 0362-10362-103600 00011)(00004)(0000 101 000 0010 000

③          1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 0 ④            3 3 3 3 1 2 1 4 2 1 2 4 10 6 4 1 2 5 0 1 解 ①        3 1 2 2 1 3 1 1 0 →        0 4 2 0 3 3 1 1 0 →         0 0 2 0 1 1 1 1 0 →       0 0 1 0 1 0 1 0 0 ②       5 0 6  2 3 3 7 5 2 1 4 1 1 2 3 2 →                0 10 9 12 0 3 2 1 0 3 2 3 1 2 3 2 →                0 10 9 12 0 3 2 1 0 3 2 3 1 2 3 2 →            0 0 7 / 3 2 0 0 0 2 0 3 2 3 1 2 3 2 →            0 0 0 2 0 0 7 / 3 2 0 3 2 3 1 2 3 2 →       0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ③          1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 0 →          1 3 4 4 3 1 0 0 1 1 2 1 →           0 4 6 5 0 4 6 3 1 1 2 1 →          0 0 0 2 0 4 6 3 1 1 2 1 →         0 0 0 1 0 4 6 0 1 1 2 0 →        0 0 0 1 0 1 3/ 2 0 1 0 1/ 2 0 ④            3 3 3 3 1 2 1 4 2 1 2 4 10 6 4 1 2 5 0 1 →           0 9 18 3 2 0 3 6 2 1 0 0 0 6 6 1 2 5 0 1 →           0 0 0 6 6 0 9 18 3 2 0 3 6 2 1 1 2 5 0 1           0 0 0 1 1 0 0 0 3 1 0 3 6 2 1 1 2 5 0 1 →          0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 0 3 6 2 1 1 2 5 0 1 →         0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 6 0 0 1 2 5 0 0 →       0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 1 0 1 0 0

E 0 2用行的与列的初等变换,将上题中的③化成形为 的矩阵 解接上题中的③的行最简形 101/20 000(1000 01-6/40|→0100→0100 0010 习题1.3解答 写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解 1030 01-23 ②00100 0000 0001 解①对应的线性方程组可写为x1=0-3x x2=3+2x3 令x=c,得x=3c,x2=3+2c,全部解可表示为 其中c为任意数 ②对应的线性方程组可写为 0 令 得 0 其中c为任意数. 2解下列线性方程组: 4 4x1+2x2-x3=2 x-2x2+4x3=-5 3x1+8x2-2x3=13 11x,+3x 4x1-x2+9x3=-6

2 * .用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为       0 0 0 Es 的矩阵． 解 接上题中的③的行最简形        0 0 0 1 0 1 6 / 4 0 1 0 1/ 2 0 →       0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 →       0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 习题 1.3 解答 1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解． ①        0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 3 0 ②       0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 解 ①对应的线性方程组可写为        2 3 1 3 3 2 0 3 x x x x 令 x3=c，得 x1=-3c，x2=3+2c，全部解可表示为           x c x c x c 3 2 1 3 2 3 其中 c 为任意数． ② 对应的线性方程组可写为          1 0 1 4 3 1 2 x x x x 令 x2=c，得           1 0 1 4 3 2 1 x x x c x c 其中 c 为任意数． 2.解下列线性方程组： ①              11 3 8 3 2 10 4 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x ②                    4 9 6 3 8 2 13 2 4 5 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x

2x1+x2-x3+x4=1 2x1+x2-x3+x4=1 ③4x1+2x2-2x3+x4=2 ④3x1-2x2+x3-3x4=4 解①对应的增广矩阵为3-1210-0-5/211/417/2 11308)(0-5/211/45/2 0-101134|-0-101134 0-101110)(000-24 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以原方程组无解 24-5 1-24 ②对应的增广矩阵为 4-19-6)(4-19-6 5(1-24-5 014-14280000 07-714)(0000 x,-2x 对应的同解方程组可写为 =2+x 令xy=c,全部解可表示为 x,=2+c x=c 其中c为任意数 ③对应的增广矩阵为42-212-000-10 11/2-1/201/2 00000 1/2-1/2x2+1/2 对应的同解线性方程组可写为 x4=0

③                  2 1 4 2 2 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x ④                   4 3 5 2 3 2 3 4 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为         11 3 0 8 3 1 2 10 4 2 1 2 ~          0 5 / 2 11/ 4 5 / 2 0 5 / 2 11/ 4 17 / 2 4 2 1 2 ~          0 10 11 10 0 10 11 34 4 2 1 2 ~          0 0 0 24 0 10 11 34 4 2 1 2 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解． ② 对应的增广矩阵为            4 1 9 6 3 8 2 13 1 2 4 5 2 3 1 4 ~            4 1 9 6 3 8 2 13 2 3 1 4 1 2 4 5 ~            0 7 7 14 0 14 14 28 0 7 7 14 1 2 4 5 ~          0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 4 5 对应的同解方程组可写为          2 3 1 2 3 2 2 5 4 x x x x x 令 x3=c，全部解可表示为            x c x c x c 3 2 1 2 1 2 其中 c 为任意数． ③对应的增广矩阵为           2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ~          0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 2 1 1 1 1 ~        0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 对应的同解线性方程组可写为        0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 4 1 2 3 x x x x

令x=C,x3=c2,得 x 1-2c 其中c1,c2为任意数 ④对应的增广矩阵为3-21-34-3-21-34 14-35-2)(21-111 4-35-2 0-1410-1810~0-75 5 00000 2+3x3-5 对应的同解线性方程组可写为-7x2=5-5x、+9X4 X3=c1,x4-c2, 得 65三 7+c1/7+c2/7 2 其中c为任意数 3.解下列齐次线性方程组: x1+x2+2x3-x4=0 2x,+x3-x4=0 ①2x1+x2+x3-x4=0 ②3x+6x2-x3-3x4=0 2x1+2x,+x3+2x4=0 5x+10x,+x3-5x4=0 x1+ 0 2x2-7x4=0 4x1+x2-3x3+6x4=0 x1-2x2+4x3-7x4=0 1(1004/3 解①对应的系数矩阵为211-1-0-1-31-0-10-3 212)(00-34(00-34

令 x2=c1，x3=c2，得            0 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 1 1 1 2 x x c x c x c c 其中 c1，c2为任意数． ④ 对应的增广矩阵为            1 4 3 5 2 3 2 1 3 4 2 1 1 1 1 ~            2 1 1 1 1 3 2 1 3 4 1 4 3 5 2 ~             0 7 5 9 5 0 14 10 18 10 1 4 3 5 2 ~           0 0 0 0 0 0 7 5 9 5 1 4 3 5 2 对应的同解线性方程组可写为             2 3 4 1 2 3 4 7 5 5 9 4 2 3 5 x x x x x x x 令 x3=c1，x4=c2，得               4 2 3 1 2 1 2 1 1 2 5 / 7 5 / 7 9 / 7 6 / 7 / 7 / 7 x c x c x c c x c c 其中 c 为任意数． 3.解下列齐次线性方程组： ①                  2 2 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x ②                  5 10 5 0 3 6 3 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x ③                      2 4 7 0 4 3 6 0 3 2 7 0 2 3 5 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为         2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 ~           0 0 3 4 0 1 3 1 1 1 2 1 ~          0 0 3 4 0 1 0 3 1 0 0 4 / 3 令 x4=c，得

中c为任意数 ②对应的系数矩阵为36-1-3-00-40-00-40 00-40)(0000 对应的同解方程为 x1+x3=-2x2+x4 x2=c1,x4-c2 7(1-24 312-7312-707-1014 ③对应的系数矩阵为 3641-3609-1934 07-101407-1014 00-43/7112/700-431120015 00 0015)(0001 系数矩阵的秩为4,对应的齐次线性方程组只有零解 0 x2 4讨论ab取什么值时下面的线性方程组无解,有唯一解,有无穷多解? x1+x2-x3=2 x1+x,+ax2=4 ①1x+2x2+x3=3 ②{x1+bx2+x3=3 (a2-5)x3=b x+2bx 解①系数矩阵的行列式为121|=012=(a-2)(a+2)

           x c x c x c x c 4 3 2 1 4 / 3 3 4 / 3 中 c 为任意数． ② 对应的系数矩阵为           5 10 1 5 3 6 1 3 1 2 1 1 ~          0 0 4 0 0 0 4 0 1 2 1 1 ~         0 0 0 0 0 0 4 0 1 2 1 1 对应的同解方程为          4 0 2 3 1 3 2 4 x x x x x 令 x2=c1，x4=c2，得            4 2 3 2 1 1 1 2 0 2 x c x x c x c c ③ 对应的系数矩阵为            1 2 4 7 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5 ~            2 3 1 5 4 1 3 6 3 1 2 7 1 2 4 7 ~            0 7 9 19 0 9 19 34 0 7 10 14 1 2 4 7           0 0 1 5 0 0 43/ 7 112 / 7 0 7 10 14 1 2 4 7 ~           0 0 1 5 0 0 43 112 0 7 10 14 1 2 4 7 ~          0 0 0 1 0 0 1 5 0 7 10 14 1 2 4 7 系数矩阵的秩为 4，对应的齐次线性方程组只有零解          0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 4.讨论 a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？ ①                x x a x b x x x x x x 3 2 1 2 1 2 3 1 2 3 ( 5) 2 3 2 ②               2 4 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x bx x x bx x x x ax 解 ①系数矩阵的行列式为 1 1 5 1 2 1 1 1 1 2   a = 0 0 4 0 1 2 1 1 1 2   a =(a-2)(a+2)

当a≠2且a≠-2时,方程组有唯一解 当a=2时,方程组对应的增广矩阵为1213-012 11-1b)(000b-2 此时当b≠2时,方程组无解;当b=2时,方程组有无穷多解 当a=2时有类似的结论。 总之,当a≠2且a≠-2时,方程组有唯一解:当a=2且b=2时,或a=-2且b=2时,方程组 有无穷多解;当a=2且b≠2时,或a=2且b≠2时,方程组无解。 解②系数矩阵的行列式为b1|=0b-11-a=0b-11-a 12b102b-11 0b0 0-11 (a-1)b b 0 0 b-abl 当a≠1且b≠0时,方程组有唯一解。 当a=1时,方程组对应的增广矩阵为1b13-0b-10-1 12b14)(02b-100 114 1114 0b-10-1→0-10-2|→0-10-2 0 b 0001-2b 此时当b≠1/2时,方程组无解:当b=1/2时,方程组有无穷多解 1 a 4 当b=0时,方程组对应的增广矩阵为1013|-0-11-a-1 1014)(0-11 4 l1-a-1 此时方程组无解。 总之,当a≠1且b≠0时,或者a=1且b≠1/2时,方程组有唯一解;当b=0时,方程组无 解;当a=1且b=1/2时,方程组有无穷多解

当 a≠2 且 a≠-2 时，方程组有唯一解。 当 a=2 时，方程组对应的增广矩阵为         1 1 1 b 1 2 1 3 1 1 1 2 →         0 0 0 2 0 1 2 1 1 1 1 2 b 此时当 b≠2 时，方程组无解；当 b=2 时，方程组有无穷多解。 当 a=-2 时有类似的结论。 总之，当 a≠2 且 a≠-2 时，方程组有唯一解；当 a=2 且 b=2 时，或 a=-2 且 b=2 时，方程组 有无穷多解；当 a=2 且 b≠2 时，或 a=-2 且 b≠2 时，方程组无解。 解 ②系数矩阵的行列式为 1 2 1 1 1 1 1 b b a = b a b a a     0 2 1 1 0 1 1 1 1 = 0 0 0 1 1 1 1 b b a a   = 0 0 0 1 1 1 1 b a a   = b ab a a   0 0 0 1 1 1 1 =(a-1)b 当 a≠1 且 b≠0 时，方程组有唯一解。 当 a=1 时，方程组对应的增广矩阵为       1 2 1 4 1 1 3 1 1 1 4 b b →          0 2 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 4 b b →         0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 4 b b →         0 0 1 0 1 0 2 1 1 1 4 b →          0 0 0 1 2b 0 1 0 2 1 1 1 4 此时当 b≠1/2 时，方程组无解；当 b=1/2 时，方程组有无穷多解。 当 b=0 时，方程组对应的增广矩阵为       1 0 1 4 1 0 1 3 1 1 a 4 →            0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 4 a a a →          0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 4 a a 此时方程组无解。 总之，当 a≠1 且 b≠0 时，或者 a=1 且 b≠1/2 时，方程组有唯一解；当 b=0 时，方程组无 解；当 a=1 且 b=1/2 时，方程组有无穷多解