分厦门大学《高等代数(I)》课程试卷 数学,经济学院各,统计系2020年级各专业 主考教师:林亚南杜妮,林鹭试卷类型:A卷考试日期:2021.1.5 、填空题:(18分.每题3分,共6题) 1.在R+={a∈Ra>0}中,定义加法和数乘为a④b=ab,ka=a,则R+构成R上的线 性空间,此时dimR+= 请写出它的一个基 1;2 2设向量组:αx1,αx2,α3,向量组I:α1+α2,a12+ax3,aα1+α3,则向量组I等价于向量组I的 充分必要条件是a.a≠-1 3.设α1,∞2,…,ax,β是V中线性无关的向量组,Ⅵ1=(a1,α2,…,cx,V2=(α1+B,2,…,ax), 则dim(V1+V2) dim(V∩v2) r+1,r-1 4设是线性空间V到W的线性映射,且q在V的基51,2,3和W的基n1,n2下的矩阵为 121 则Im Kero (m,n2)或(n-n2,2n+12)或(n 110 n2,2n1+n2,n1);(-51-52+353) 5设二维线性空间V的线性变换φ在基1,52下的矩阵为 则在基51,51+2下 11 01 的矩阵为 200 6设p是三维线性空间v的线性变换9在V的基525下的矩阵为120,则q的 所有非平凡不变子空间是(52,53},(53)或(2+53,53),(点3)
fÄåÆ5p ìÍ£I§6ëß£Ú ÍÆ, ²L Æ à, ⁄O X 2020c? à ;í ÃìµÊH,⁄V, ˘ £Úa.µA Ú £Fœµ2021.1.5 ò!WòK: (18©. zK3©, 6K) 1 .3R + = {a ∈ R|a > 0}•, ½¬\{⁄Ͷèa Lb = ab, k · a = a k , KR +§R ˛Ç 5òm, dûdimR + = , û—ßòრ. 1; 2 2 .ï˛|I: α1,α2,α3, ï˛|II: α1 +α2,α2 +α3,aα1 +α3, Kï˛|I duï˛|II ø©7á^á¥a . a 6= −1 3 .α1,α2,··· ,αr ,β¥V•Ç5Ã'ï˛|,V1 = hα1,α2,··· ,αri,V2 = hα1+β,α2,··· ,αri, Kdim(V1 +V2) = , dim(V1 T V2) = . r +1, r −1 4 . ϕ¥Ç5òmVWÇ5N, Öϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3⁄Wƒη1,η2 e› è 1 2 1 −1 1 0 ! , KImϕ = , Kerϕ = . hη1,η2i ½hη1 − η2,2η1 + η2i ½hη1 − η2,2η1 +η2,η1i; h−ξ1 −ξ2 +3ξ3i 5 .ëÇ5òmVÇ5CÜϕ3ƒξ1,ξ2e› è 1 2 1 1 ! , Kϕ3ƒξ1, ξ1 +ξ2e › è . 0 1 1 2 ! 6 .ϕ¥nëÇ5òmVÇ5CÜ, ϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3e› è 2 0 0 1 2 0 0 1 2 , Kϕ §kö²ÖÿCfòm¥ . hξ2,ξ3i,hξ3i ½hξ2 +ξ3,ξ3i, hξ3i 1
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 选择题:(18分,每题3分,共6题) 是线性空间V={A∈F3×3AT=-A}的一个基C (A)E12,E13,-E21,E23,-E31,-E32 B)0,E12-E21,E13-E31,E23-E32 (CE12-E21,E13-E31,E23-E32 ①D)E11E12,E13,-E21,E2,E23,-E31,-E32,E33 2设V1,V2是n维线性空间V的子空间,且V=V1+V,则 (A)VUV是V的子空间 (B)dimv=dimVitdimv2 (C)W的一个基与V2的一个基凑在一起即构成V的一个基 ①D)若1=(1,52,…,5),V=(+1,5+2,…,5n),则V=(51,2,…,5,5+1,5+2,…,5n 3设51,52,…,5n和m,2,…,mn是n维线性空间V的向量,满足(,n2,…,mn)=(51,52,…,n)A, 则是错误的.A (A)若A可逆,则n,n2,…,n必线性无关 (B)若A不可逆,则n1,m2,…,nm必线性相关 (C)若1,52,…,5n和n1,n2,…,mn都是V的基,则A必可逆 (D)若51,52,…,与n是V的基,A可逆,则n1,n2,…,mn必是V的基 4.设q是V到U的线性映射,则B (A)把V的基变成U的基 (B)φ把V中子空间变成U中子空间 (C)φ把V的直和分解变成U的直和分解 (D)φ把v中线性无关向量组变成U中线性无关向量组 5.下列定义中有个是F×的线性同构.C AHA b A d.:A→A (C)2 (D)3 6.设φ是线性空间V的线性变换,U是φ-子空间,下列叙述中有 个是正确的.D a.若是单射,则qu是单射 b.若φ是满射,则φu是满射 c.若q是可逆,则φu是可逆 d.若q是同构,则qpb是同构 第2页,共5页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú !¿JK: (18©, zK3©, 6K) 1 . ¥Ç5òmV = {A ∈ F 3×3 |A T = −A}òáƒ. C (A) E12,E13,−E21,E23,−E31,−E32 (B) 0,E12 −E21,E13 −E31,E23 −E32 (C) E12 −E21,E13 −E31,E23 −E32 (D) E11,E12,E13,−E21,E22,E23,−E31,−E32,E33 2 .V1,V2¥nëÇ5òmVfòm, ÖV = V1 +V2, K . D (A) V1 S V2¥Vfòm (B) dimV = dimV1 +dimV2 (C) V1òáƒÜV2òáƒn3òÂ=§Vòრ(D) eV1 = hξ1,ξ2,··· ,ξri, V2 = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni, KV = hξ1,ξ2,··· ,ξr ,ξr+1,ξr+2,··· ,ξni 3 .ξ1,ξ2,··· ,ξn⁄η1,η2,··· ,ηn¥nëÇ5òmVï˛, ˜v(η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)A, K ¥Üÿ. A (A) eAå_, Kη1,η2,··· ,ηn7Ç5Ã' (B) eAÿå_, Kη1,η2,··· ,ηn7Ç5É' (C) eξ1,ξ2,··· ,ξn⁄η1,η2,··· ,ηn—¥Vƒ, KA7å_ (D) eξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vƒ, Aå_, Kη1,η2,··· ,ηn7¥Vƒ 4 .ϕ¥VUÇ5N, K . B (A) ϕrVƒC§Uƒ (B) ϕrV•fòmC§U•fòm (C) ϕrVÜ⁄©)C§UÜ⁄©) (D) ϕrV•Ç5Ã'ï˛|C§U•Ç5Ã'ï˛| 5 .e½¬•k á¥F n×nÇ5”. C a. σ : A 7→ A T b. σ : A 7→ A ∗ c. σ : A 7→ −A d. σ : A 7→ A−A T (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3. 6 .ϕ¥Ç5òmVÇ5CÜ, U¥ϕ−fòm, eQ„•k á¥(. D a. eϕ¥¸, Kϕ|U¥¸ b. eϕ¥˜, Kϕ|U¥˜ c. eϕ¥å_, Kϕ|U¥å_ d. eϕ¥”, Kϕ|U¥” (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. 12ê, 5ê
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 三、(6分)设ax1,ax2,…,αmB是线性空间V的向量,且ax1,x2,…,Oxn线性无关,a1,2…,am,B线 性相关,证明:β必可由α1,∞2,…,xm线性表出 证明因为a1,ax2,…,Cm,B线性相关,所以存在不全为0的a1,a2,…,am,b∈F使得a101+ a202+…+ a,a+bB=0.若b=0,则a1,a2,…,am不全为0,且a1ax1+a2a2+…+am(Cm=0 与已知a1,∞2,…,ωm线性无关矛盾故b≠0,从而β=-801-份a2-…-"m.命题得证 四、(12分)设U={A∈F2×2AB=BA},其中 B (1)证明:U是F2×2的子空间; (2)求U的一个基,并给出证明 (3)将(2)的基扩为F2×2的基 证明(1)首先,因为OA=AO,所以O∈U,所以U是F2×2的非空子集;其次,对任意A1,A2∈U, (A1+A2)B=A1B+A2B=BA1+BA2=B(A1+A2),所以A1+A2∈U;再则,对任意A∈U,k∈F, (kA)B=kAB=B(kA),所以kA∈U.综上即得U是F2×2的子空间 l (2)设A 依题意,AB=BA,解得a=d,b=2c,所以所求基为E,2E12+ (3)直接计算易得E,2E12+E21,E1,E12是F2×2的一个基 A 五、(12分)设A∈Fn×n且A为可逆矩阵,A= V,V2分别是A1X=O和A2X=O的解空间 证明: v⊕v. 证明设A1,A2分别是m1×n和m2×n矩阵.由于A可逆,因此m1+m=n.从而A1X= 0和A2X=0解空间的维数分别为n-m1和n-m2,进而n=dimV1+dimV 设X1,X2,…,Xm和Y1,H2,…,Ym2分别是V和V的一个基.设 a1X1+a2X2+…+amXm+bY1+b2Y+…+bm2Ym2=0.(*) 将(*)式两边同时左乘A2得A2(a1X1+a2X2+…+am1Xm1)=0.注意到A1(a1X1+a2X2+…+ amXm)=0,从而A(a1X1+a2X2+…+am1Xm1)=0.又因为A可逆,因此a1X1+a2X2+…+ amXm1=0.故a1=a am1=0,代入(*)有b1Y1+b2Y2+…+bm2Ym2=0,从而b1=b2 bm2=0,这就证明了X1,X2,…,Xm1,Y1,Y2,…,Ym2线性无关 综上即得Fn=V1⊕V2 第3页,共5页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú n!(6©) α1,α2,··· ,αm,β¥Ç5òmVï˛, Öα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã', α1,α2,··· ,αm,βÇ 5É', y²: β7ådα1,α2,··· ,αmÇ5L—. y² œèα1,α2,··· ,αm,βÇ5É', §±3ÿ è0a1,a2,··· ,am,b ∈ F¶a1α1 + a2α2 +···+amαm +bβ = 0. eb = 0, Ka1,a2,··· ,amÿ è0, Öa1α1 +a2α2 +···+amαm = 0, ÜÆα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã'gÒ. b 6= 0, l β = − a1 b α1 − a2 b α2 −··· − am b αm. ·Ky. o!(12©) U = {A ∈ F 2×2 |AB = BA}, Ÿ• B = 1 2 1 1 ! . (1) y²: U¥F 2×2fòm; (2) ¶Uòáƒ, øâ—y²; (3) Ú(2)ƒ*èF 2×2ƒ. y² (1) ƒk, œèOA = AO, §±O ∈U, §±U¥F 2×2öòf8; Ÿg, È?øA1,A2 ∈U, (A1+A2)B = A1B+A2B = BA1+BA2 = B(A1+A2), §±A1+A2 ∈U; 2K, È?øA ∈U, k ∈ F, (kA)B = kAB = B(kA), §±kA ∈ U. n˛=U¥F 2×2fòm. (2) A = a b c d ! , ùKø, AB = BA, )a = d, b = 2c, §±§¶ƒèE,2E12 +E21. (3) ÜOé¥E,2E12 +E21,E11,E12¥F 2×2òáƒ. !(12©) A ∈ F n×nÖAèå_› , A = A1 A2 ! . V1,V2©O¥A1X = O⁄A2X = O)òm. y²: F n = V1 MV2. y² A1, A2©O¥m1 × n⁄m2 × n› . duAå_, œdm1 + m2 = n. l A1X = 0⁄A2X = 0)òmëÍ©Oèn−m1⁄n−m2, ? n = dimV1 +dimV2. X1,X2,··· ,Xm1⁄Y1,Y2,··· ,Ym2©O¥V1⁄V2òáƒ. a1X1 +a2X2 +···+am1Xm1 +b1Y1 +b2Y2 +···+bm2 Ym2 = 0. (∗) Ú(∗)™¸>”ûܶA2A2(a1X1 +a2X2 +···+am1Xm1 ) = 0. 5øA1(a1X1 +a2X2 +···+ am1Xm1 ) = 0, l A(a1X1 + a2X2 + ··· + am1Xm1 ) = 0. qœèAå_, œda1X1 + a2X2 + ··· + am1Xm1 = 0. a1 = a2 = ··· = am1 = 0, ì\(∗)kb1Y1 +b2Y2 +···+bm2 Ym2 = 0, l b1 = b2 = ··· = bm2 = 0, ˘“y² X1,X2,··· ,Xm1 ,Y1,Y2,··· ,Ym2Ç5Ã'. n˛=F n = V1 LV2. 13ê, 5ê
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 六、(12分)设dmV=n,Ⅵ是V的子空间 (1)若dimV≥,证明存在V的子空间W,W,使得 V=V⊕W1=V⊕W2且W∩W2=O; (2)问dmV,dmW>号.从 而dim(W1+W)=dimW1+dmW2-dim(W1∩w2)>n,这是不可能的 七、(12分)设q是v到U的线性映射,证明存在U到V的线性映射v,使得vqy= 证明设51,52,…,是V的一个基,m1,n2,…,nm是U的一个基,φ在该基下的矩阵为A 对A存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=diag(E,0).令B= Odiag(Er,O)P,定义U到v的线性映 射v:U→V,使得v(n,n2,…,hm)=(51,52,…,5n)B,则vpy=v 八、(10分)设σ是2n维线性空间V的线性变换.证明:Imo=Kero的充分必要条件是存在V的 个基,使得σ在这个基下的矩阵为 O En 证明充分性设该基为51,…,5n,5n+1,…,与2n,则 0,…,0,51,…,5n) 00 因此lm=(51,…,5n),Kero=(51,…,bn)=Imσ 必要性因Imo=Kero,则dimm= dinero,且由于 dilma+ dim Kero=dmV,所以Imo= Kera=n.设1,52,…,是Kero的基,将其扩为V的基51,2 1,…,52n,因Kero= 第4页,共5页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú 8!(12©) dimV = n, V1¥Vfòm. (1) edimV1 ≥ n 2 , y²3VfòmW1,W2, ¶ V = V1 LW1 = V1 LW2ÖW1 T W2 = O; (2) ØdimV1 n 2 , dimW2 > n 2 . l dim(W1 +W2) = dimW1 +dimW2 −dim(W1 T W2) > n, ˘¥ÿåU. ‘!(12©) ϕ¥VUÇ5N, y²3UVÇ5Nψ, ¶ψϕψ = ψ. y² ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vòáƒ, η1,η2,··· ,ηm¥Uòáƒ, ϕ3Tƒe› èA. ÈA3å_› P, Q, ¶PAQ = diag(Er ,0). -B = Qdiag(Er ,0)P, ½¬UVÇ5N ψ : U → V, ¶ψ(η1,η2,··· ,ηm) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)B, Kψϕψ = ψ. l!(10©) σ¥2nëÇ5òmVÇ5CÜ. y²: Imσ = Kerσø©7á^á¥3Vò áƒ, ¶σ3˘áƒe› è O En O O ! . y² ø©5 Tƒèξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n, K σ(ξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n) = (ξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n) O En O O ! = (0,··· ,0,ξ1,··· ,ξn), œdImσ = hξ1,··· ,ξni, Kerσ = hξ1,··· ,ξni = Imσ. 7á5 œImσ = Kerσ, KdimImσ = dimKerσ, ÖdudimImσ +dimKerσ = dimV, §±Imσ = Kerσ = n. ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Kerσƒ, ÚŸ*èVƒξ1,ξ2,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n. œKerσ = 14ê, 5ê
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①)》期末考试卷 Ima,所以51,52,…,5n也是Imo的基从而σ(n+1,5n+2,…,52n)=(51,52,…,n)A.易得r(A)= n,令(n1,n2,…,n)=(5n+1,n+2,…,52n)A-1.则 51,52,…,5n,n1, diag(E,A-1 显然diag(E,A-1)可逆,因此51,52,…,n,n1,n2,…,nn是V的基.又可由o(n,n2,…,mn)= (51,2,…,Bn)A-1=(512,…,5n)En知 (51,52,…,5n,n,n2,…mn)=(5,5,…,5n,,…,mn)(OE 命题得证 附加题(10分)设线性空间v=U④W,其中dimU=k.对于U到W的线性映射q,定义 Fφ={u+qp(u)|u∈U} 设S是V的k维子空间证明:存在U到W的线性映射φ使得S=Iq的充分必要条件是S∩W=0. 证明必要性对任意a∈S∩W,存在u∈U,使得a=u+p()=w.因为q是U到W的线性映 射,所以φ(a)∈W,进而u=w-gp()∈U∩W.注意到V=UW,所以u=0,从而a=0 充分性因为dimS=k且S∩W=0,而V=U④W,其中dmU=k,则V=S④W.对U的任意 基51,52,…,k,存在唯一的s∈S与w∈W,使得5=s+w;,即s-5∈W.令q:U→W,5→S1-5 可见s=5+q(5),i=1,2,…,k.往证s1,s2,…,sk构成S的一个基,从而对任意的s∈S,s=u+g(a) 命题得证 事实上,若a151+a252+…+akSk=0,则a1(51-w1)+a2(52-w2)+…+ak(5k-wk)=0,所 以a151+a252+…+ak5k=a1W1+a2w2+…+akwk∈U∩W,因此a151+a252+…+akk=0, 而51,52,…,5k线性无关,因此a1=a2 0 第5页,共5页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú Imσ, §±ξ1,ξ2,··· ,ξnè¥Imσƒ. l σ(ξn+1,ξn+2,··· ,ξ2n) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)A. ¥r(A) = n, -(η1,η2,··· ,ηn) = (ξn+1,ξn+2,··· ,ξ2n)A −1 . K (ξ1,ξ2,··· ,ξn,η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n)diag(E,A −1 ). w,diag(E,A −1 )å_, œdξ1,ξ2,··· ,ξn,η1,η2,··· ,ηn¥Vƒ. qådσ(η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)AA−1 = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)En σ(ξ1,ξ2,··· ,ξn,η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn,η1,η2,··· ,ηn) O En O O ! . ·Ky. N\K (10©) Ç5òmV = U LW, Ÿ•dimU = k. ÈuUWÇ5Nϕ, ½¬ Γϕ = {u+ϕ(u)|u ∈ U}. S¥Vkëfòm. y²: 3UWÇ5Nϕ¶S = Γϕø©7á^á¥S T W = 0. y² 7á5 È?øα ∈ S T W, 3u ∈ U, ¶α = u+ϕ(u) = w. œèϕ¥UWÇ5N , §±ϕ(u) ∈ W, ? u = w−ϕ(u) ∈ U T W. 5øV = U LW, §±u = 0, l α = 0. ø©5 œèdimS = kÖS T W = 0, V = U LW, Ÿ•dimU = k, KV = S LW. ÈU?ø ƒξ1,ξ2, ···, ξk , 3çòsi ∈ SÜwi ∈W, ¶ξi = si+wi , =si−ξi ∈W. -ϕ :U →W, ξi 7→ si−ξi , åÑsi = ξi+ϕ(ξi), i = 1,2,··· , k. ys1,s2,··· ,sk§Sòáƒ, l È?øs ∈ S, s = u+ϕ(u), ·Ky. Ø¢˛, ea1s1 + a2s2 + ··· + aksk = 0, Ka1(ξ1 − w1) + a2(ξ2 − w2) + ··· + ak(ξk − wk) = 0, § ±a1ξ1 + a2ξ2 + ··· + akξk = a1w1 + a2w2 + ··· + akwk ∈ U T W, œda1ξ1 + a2ξ2 + ··· + akξk = 0, ξ1,ξ2,··· ,ξkÇ5Ã', œda1 = a2 = ··· = ak = 0. 15ê, 5ê
