厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）矩阵

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(一)试题 (矩阵部分) 选择题 1.若矩阵A经初等列变换化为B,则().(2020年) (A)存在矩阵P,使得PA=B (B)存在矩阵P,使得BP=A (C)存在矩阵P,使得PB=A (D)方程组Ax=0与Bx=0同解 2.设A,B为n阶矩阵,记(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则().(2018年) (A)r(A,AB)=r(4) (B)r(A, BA)=r(A) (C)r(A, B)=maxr(A), r(B)) (D)r(A,B)=r(41,B) 3.下列矩阵中,与矩阵011相似的为().(2018年) 10 (A)|011 )010 (D)010 001 001 001 001 20 00 4.设矩阵A=021,B=020,C=020,则().2017年) 001 001 002 (A)A与C相似,B与C相似 (B)A与C相似,B与C不相似 (C)A与C不相似,B与C相似 (D)A与C不相似,B与C不相似 5.设a是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则().(2017年) (A)E-aa不可逆(B)E+aa7不可逆C)E+2aa7不可逆(①D)E-2aa不可逆 6.设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是().(2016年)

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£ò§£K (› ‹©) ò. ¿JK 1. e› A²–CÜzèB, K( ). (2020c) (A) 3› P, ¶P A = B (B) 3› P, ¶BP = A (C) 3› P, ¶P B = A (D) êß|Ax = 0ÜBx = 0”) 2. A, Bèn› , Pr(X)è› Xù, (X, Y )L´©¨› , K( ). (2018c) (A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A) (C) r(A, B) = max{r(A), r(B)} (D) r(A, B) = r(AT , BT ) 3. e› •, Ü›   1 1 0 0 1 1 0 0 1   Éqè( ). (2018c) (A)   1 1 −1 0 1 1 0 0 1   (B)   1 0 −1 0 1 1 0 0 1   (C)   1 1 −1 0 1 0 0 0 1   (D)   1 0 −1 0 1 0 0 0 1   4. › A =   2 0 0 0 2 1 0 0 1  , B =   2 1 0 0 2 0 0 0 1  , C =   1 0 0 0 2 0 0 0 2  , K( ). (2017c) (A) AÜCÉq, BÜCÉq (B) AÜCÉq, BÜCÿÉq (C) AÜCÿÉq, BÜCÉq (D) AÜCÿÉq, BÜCÿÉq 5. α¥n븆ï˛, Eèn¸†› , K( ). (2017c) (A) E − ααT ÿå_ (B) E + ααT ÿå_ (C) E + 2ααT ÿå_ (D) E − 2ααT ÿå_ 6. A, B¥å_› , ÖAÜBÉq, Ke(ÿÜÿ¥( ). (2016c) 1

(A)A与BT相似 (B)A-1与B-1相似 (C)A+4与B+B相似 (D)A+A-1与B+B-1相似 200 7.矩阵A=aba与0b0相似的充分必要条件为().(2013年) 1 a 1 000 (A)a=0,b=2 (B)a=0,b为任意常数 (D)a=2,b为任意常数 8.设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP P=(a1,a2,a3),Q=(a1+a2a2,a3), 则Q-14Q=().(2012年) (A)2 9.设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得到矩阵B,再将矩阵B的第2行与第3行互换得到单位矩阵 记P1=110,P2=001,则A=().(2011年 010 010 (A)PiP2 (B)P P2 (C)P2P1 (D)P2P- 10.设A为m×n型矩阵,B为n×m型矩阵,E为m阶单位阵,若AB=E,则().(2010年) (A)r(A)=m,r(B)=m(B)r(4)=m,r(B)=n(C)r(4)=n,r(B)=m(D)r(4)=n,r(B)=n 11.设A,B均为2阶矩阵,A*,B”分别为A,B的伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵 的伴随 B O 矩阵为().(200年) (2)m( 02B 03A* 024 34*0 2B·0 3B*0 2.设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则()(2008年) (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-4可逆,E+A不可逆 100 13.设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B().(2007年) 1-12 000

(A) ATÜBTÉq (B) A−1ÜB−1Éq (C) A + ATÜB + BTÉq (D) A + A−1ÜB + B−1Éq 7. › A =   1 a 1 a b a 1 a 1   Ü   2 0 0 0 b 0 0 0 0   Éqø©7á^áè( ). (2013c) (A) a = 0, b = 2 (B) a = 0, bè?ø~Í (C) a = 2, b = 0 (D) a = 2, bè?ø~Í 8. Aè3› , Pè3å_› , ÖP −1AP =   1 1 2  , P = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = ( ). (2012c) (A)   1 2 1   (B)   1 1 2   (C)   2 1 2   (D)   2 2 1   9. Aè3› , ÚA12\11› B, 2Ú› B121Ü131pܸ†› ß PP1 =   1 0 0 1 1 0 0 1 0  ,P2 =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  , KA = ( ). (2011c) (A) P1P2 (B) P −1 1 P2 (C) P2P1 (D) P2P −1 1 10. Aèm × n.› , Bèn × m.› , Eèm¸† , eAB = E, K( ). (2010c) (A) r(A) = m, r(B) = m (B) r(A) = m, r(B) = n (C) r(A) = n, r(B) = m (D) r(A) = n, r(B) = n 11. A, B˛è2› , A∗ , B∗©OèA, Bäë› . e|A| = 2, |B| = 3ßK©¨› 0 A B 0 ! äë › è( ). (2009c) (A) 0 3B∗ 2A∗ 0 ! (B) 0 2B∗ 3A∗ 0 ! (C) 0 3A∗ 2B∗ 0 ! (D) 0 2A∗ 3B∗ 0 ! 12. Aènö"› , Eèn¸†› . eA3 = 0, K( ) (2008c) (A) E − Aÿå_, E + Aÿå_ (B) E − Aÿå_, E + Aå_ (C) E − Aå_, E + Aå_ (D) E − Aå_, E + Aÿå_ 13. › A =   2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2  , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 0  , KAÜB( ). (2007c) 2

(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 14.设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C记P=010 001 则().(2006年) A)C=P-AP (B)C=PAP (C)C=P AP (D)C=PAPT 15.设A,B,C均为n阶矩阵,E为m阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为().(2005年) (A)E (B)-E (C)A (D) 16.设A为n(Ⅶn≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A·,B*分别为A,B的伴随矩阵,则( (2005年) (A)交换A的第1列与第2列得B (B)交换A'的第1行与第2行得B (C)交换A的第1列与第2列得-B* (D)交换A的第1行与第2行得-B 17.设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆 矩阵Q为().(2004年 010 010 (B)|101 (C)|10 10 001 18.设A,B为n阶矩阵,A,B→分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵C= A 0 0B,则C的伴随矩阵C (A)/4A0 /1BB0 (C)(01B(/B4 A|B·0 0|B|B 0|41A 0|4B 19.设A是m×n矩阵,B是nxm矩阵,则().(1999年) (A)当m>n时,必有行列式AB≠0 (B)当m>n时,必有行列式ABl=0 (C)当n>m时,必有行列式AB≠0 (D)当n>m时,必有行列式AB=0 20.设A是任一n(mn≥3阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(k4)”=().(1998年) (A)ka (C)knA* (D)k-A

(A) ‹”, ÖÉq (B) ‹”, ÿÉq (C) ÿ‹”, Éq (D) Qÿ‹”, èÿÉq 14. Aè3› , ÚA121\111B, 2ÚB11−1\12C, PP =   1 1 0 0 1 0 0 0 1  , K( ). (2006c) (A) C = P −1AP (B) C = P AP −1 (C) C = P T AP (D) C = P AP T 15. A, B, C˛èn› , Eèn¸†› , eB = E + AB, C = A + CA, KB − Cè( ). (2005c) (A) E (B) −E (C) A (D)−A 16. Aèn(n ≥ 2)å_› , ÜA111Ü121› B, A∗ , B∗©OèA, Bäë› , K( ). (2005c) (A) ÜA∗11Ü12B∗ (B) ÜA∗111Ü121B∗ (C) ÜA∗11Ü12−B∗ (D) ÜA∗111Ü121−B∗ 17. A¥3ê , ÚA11Ü12ÜB, 2rB12\13C, K˜vAQ = Cå_ › Qè( ). (2004c) (A)   0 1 0 1 0 0 1 0 1   (B)   0 1 0 1 0 1 0 0 1   (C)   0 1 0 1 0 0 0 1 1   (D)   0 1 1 1 0 0 0 0 1   18. A, Bèn› , A∗ , B∗©OèA, BÈAäë› , ©¨› C = A 0 0 B ! , KCäë› C ∗ =( ). (2002c) (A) |A|A∗ 0 0 |B|B∗ ! (B) |B|B∗ 0 0 |A|A∗ ! (C) |A|B∗ 0 0 |B|A∗ ! (D) |B|A∗ 0 0 |A|B∗ ! 19. A¥m × n› , B¥n × m› , K( ). (1999c) (A) m > nû, 7k1™|AB| 6= 0 (B) m > nû, 7k1™|AB| = 0 (C) n > mû, 7k1™|AB| 6= 0 (D) n > mû, 7k1™|AB| = 0 20. A¥?òn(n ≥ 3)ê , A∗¥Ÿäë› , qkè~Í, Ök 6= 0, ±1, K7k(kA) ∗ =( ). (1998c) (A) kA∗ (B) k n−1A∗ (C) k nA∗ (D) k −1A∗ 3

21设矩阵2b满秩则两直线品一战=品与一战=()(9年 A)交于一点 (B)重合 (C)平行不重合 (D)异面 a11a12a13 23 010 100 22设A=a21a22a23,B=a1a2a13,P=100|,P2=010,则 a31a32033 a11+a31a12+a32a13+a33 001 101 )成立.(1995年) (A)APP2=B )AP21= (C)P1P2A=B (D)P2P1A=B 123 23.设Q=24t,P为3阶非零阵且PQ=0,则().(199年9 369 (A)t=6时,r(P)=1(B)t=6时,r(P)=2(C)t≠6时,r(P)=1(D)t≠6时,r(P)= 24.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E,则()成立.(1991年) (A)ACB=E CBA=E (C)BAC=E (D)BCA=E 25.设n阶方阵A伴随阵为A且|4|=a≠0.则A=().(1987年) (A)a (C)a 填空题 1.设矩阵A=|112.a,23为线性无关的维列向量组,则向量组A,A2,A的秩为() 011 (2017年) 2.设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵E-XX7的秩为().(2012年) 0100 3.设矩阵A 0010 则A3的秩=().(2007年) 0001 0000 4.设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A+为A的伴随矩阵,E是单位矩阵则B=( 01 004)

21. ›   a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3   ˜ù, K¸ÜÇ x−a3 a1−a2 = y−b3 b1−b2 = z−c3 c1−c2 Ü x−a1 a2−a3 = y−b1 b2−b3 = z−c1 c2−c3 ( ). (1998c) (A) uò: (B) ­‹ (C) ²1ÿ­‹ (D) …° 22. A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  , B =   a21 a22 a23 a11 a12 a13 a11 + a31 a12 + a32 a13 + a33  , P1 =   0 1 0 1 0 0 0 0 1  , P2 =   1 0 0 0 1 0 1 0 1  , K( )§·. (1995c) (A) AP1P2 = B (B) AP2P1 = B (C) P1P2A = B (D) P2P1A = B 23. Q =   1 2 3 2 4 t 3 6 9  , Pè3ö" ÖP Q = 0, K( ). (1993c) (A) t = 6û, r(P) = 1 (B) t = 6 û, r(P) = 2 (C) t 6= 6 û, r(P) = 1 (D) t 6= 6 û, r(P) = 2 24. nê A, B, C ˜v'X™ABC = E, K( )§·. (1991c) (A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E 25. nê Aäë èA∗Ö|A| = a 6= 0, K|A∗ | = ( ). (1987c) (A) a (B) 1 a (C) a n−1 (D) a n . WòK 1. › A =   1 0 1 1 1 2 0 1 1  , α1, α2, α3èÇ5Ã'3ëï˛|, Kï˛|Aα1, Aα2, Aα3ùè( ). (2017c) 2. Xèn븆ï˛, Eèn¸†› , K› E − XXTùè( ). (2012c) 3. › A =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   , KA3ù= ( ). (2007c) 4. › A =   2 1 0 1 2 0 0 0 1  , › B˜vABA∗ = 2BA∗+E,Ÿ•A∗èAäë› , E¥¸†› ,K|B| =( ). (2004c) 4

5.设A=100,B=P-1AP,其中P为3阶可逆阵,则B00-=242=().(20年) 6.从R2的基a12(0)a2 到基B1 的过渡矩阵为().(2003年) 7.设矩阵A满足A2+A-4E=0,其中E为单位矩阵,则(A-E)1=().(2001年) 8.设A=020,而n≥2为正整数,则An-24-1=().(199) 101 9.设A=4t3,B为三阶非零矩阵且AB=0,则t=().(1997年) 3-11 102 10.设A是4×3矩阵且(A)=2B=020,则r(4B)=()(99年9 103 00 1.设A,B为三阶方阵,A=010,且A-1BA=64+BA则B=().(1990) 2.已知a=(1,2,3),B=(1,是,3),设A=aB,其中a2是a的转置,则A=().(199年) 1b1 a1b2 1b 1设4-…,其中0≠0=1,2…,n则(4)=()(192年) 5200 2100 ().(1991 001-2 0011 300 5.设A=140,则(A-2E)-+1=().(199年 003 三.计算题 已知矩阵A -2与B=0-10相似 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.(2019年)

5. A =   0 −1 0 1 0 0 0 0 −1   , B = P −1AP, Ÿ•Pè3å_ , KB2004 − 2A2 = ( ). (2004c) 6. lR2ƒα1 = 1 0 ! , α2 = 1 −1 ! ƒβ1 = 1 1 ! , β2 = 1 2 ! Lfi› è( ). (2003c) 7. › A˜vA2 + A − 4E = 0,Ÿ•E踆› ,K(A − E) −1 = ( ). (2001c) 8. A =   1 0 1 0 2 0 1 0 1  , n ≥ 2èÍ, KAn − 2An−1 = ( ). (1999c) 9. A =   1 2 −2 4 t 3 3 −1 1  , Bènö"› ÖAB = 0,Kt = ( ). (1997c) 10. A¥4 × 3› Ör(A) = 2,B =   1 0 2 0 2 0 −1 0 3  , Kr(AB) = ( ). (1996c) 11. A, Bènê , A =   1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 7  , ÖA−1BA = 6A + BA,KB = ( ). (1995c) 12. Æα = (1, 2, 3), β = (1, 1 2 , 1 3 ), A = α T β, Ÿ•α T¥α=ò, KAn = ( ). (1994c) 13. A =   a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn · · · · · · · · · · · · anb1 anb2 · · · anbn   , Ÿ•ai 6= 0, bi 6= 0(i = 1, 2, · · · , n),Kr(A) = ( ). (1992c) 14. A =   5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 −2 0 0 1 1   , KA−1 = ( ). (1991c) 15. A =   3 0 0 1 4 0 0 0 3  , K(A − 2E) −1 = ( ). (1989c) n. OéK 1. Æ› A =   −2 −2 1 2 x −2 0 0 −2   ÜB =   2 1 0 0 −1 0 0 0 y   Éq. (1) ¶x, y; (2) ¶å_› P, ¶P −1AP = B. (2019c) 5

2.已知是常数且矩阵A=130可经过初等变换化为矩阵B=011 (1)求a (2)求满足AP=B的可逆矩阵P.(2018年) 0-11 3.已知矩阵A=2-30 000 (1)求A9; (2)设三阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA.记B10=(1,B2,B3),将B1,B2,B3分别表示 为a1,a2,a3的线性组合.(2016年) 02-3 1-20 4.设矩阵A 13-3相似于矩阵B0b0 (1)求a,b的值 (2)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.(2015年) 5.设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 120-3 (1)求Ax=0的一个基础解系; (2)求满足AB=E的所有矩阵B.(2014年 6.设A 10 1b当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C (2013年) 7.已知A=aa+BBr,a7为a的转置,B为8的转置 (1)证r(A)≤2; (2)若a,B线性相关,则r(4)<2.(2008年) 8.已知A,B为3阶矩阵,且满足2A-1B=B-4E,其中E是3阶单位矩阵 (1)证明:矩阵A-2E可逆; 20 (2若B=120,求矩阵4.(202年)

2. Æa¥~Í, Ö› A =   1 2 a 1 3 0 2 7 −a   å²L–CÜzè› B =   1 a 2 0 1 1 −1 1 1  . (1) ¶a; (2) ¶˜vAP = Bå_› P. (2018c) 3. Æ› A =   0 −1 1 2 −3 0 0 0 0  . (1) ¶A99; (2) n› B = (α1, α2, α3) ˜vB2 = BA. PB100 = (β1, β2, β3), Úβ1, β2, β3 ©OL´ èα1, α2, α3Ç5|‹. (2016c) 4. › A =   0 2 −3 −1 3 −3 1 −2 a   Équ› B   1 −2 0 0 b 0 0 3 1  . (1) ¶a, bä; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2015c) 5. › A =   1 −2 3 −4 0 1 −1 1 1 2 0 −3  , Eèn¸†› . (1) ¶Ax = 0òáƒ:)X; (2) ¶˜vAB = E§k› B. (2014c) 6. A = 1 a 1 0 ! , B = 0 1 1 b ! . a, bè¤äû, 3› C¶AC − CA = B, ø¶§k› C. (2013c) 7. ÆA = ααT + ββTßα Tèα=òßβ Tèβ=ò. (1)yr(A) ≤ 2; (2)eα, βÇ5É', Kr(A) < 2. (2008c) 8. ÆA, Bè3› , Ö˜v2A−1B = B − 4E, Ÿ•E¥3¸†› . (1)y²: › A − 2Eå_; (2)eB =   1 −2 0 1 2 0 0 0 2  , ¶› A. (2002c) 6

00 011 9.已知矩阵A=110,B=101|,且矩阵X满足AA+BXB=AB+BXA+E,其中E是3阶 111 110 单位矩阵,求X.(201年) 1000 0.设矩阵A的伴随矩阵A* 0100 且ABA-1=BA-1+3E,其中,E为4阶单位矩阵,求矩阵B 1010 (2000年) 1.设A为n阶方阵且AA=E,|A1<0,求A+E.(1995年) 100 2134 2设A为价阶方阵,B=01-10.C=0021/.且A(E-C-1B)Cm=E 0213 001 0001 0002 (1)化简上述关系式 (2)求矩阵A.(1990年) 3.设AP=PB且B=000,P=2-10,求A,A5.(1989年 00-1 211 14.设AB=A+2B且A=110.求B.(197年) 014 四.证明题 00∴2 1.证明n阶矩阵 相似.(2014年) 00 2.证明:将n阶可逆方阵A的第行与第j对换后的矩阵记为B, (1)求证B可逆; (2)求AB-1.(1996年) 3.设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B为B的转置矩阵,证明BTAB为正定矩阵的充要 条件是B的秩r(B)=n.(1991年 4.证明:设n阶非零方阵A的伴随矩阵为A+且A=A1,求证4≠0.(1994年) (陈健敏吕洪波林秋林程潘红林鹭整理) 7

9. Æ› A =   1 0 0 1 1 0 1 1 1  , B =   0 1 1 1 0 1 1 1 0  , Ö› X˜vAxA+BXB = AxB+BXA+E, Ÿ•E¥3 ¸†› , ¶X. (2001c) 10. › Aäë› A∗ =   1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 −3 0 8   , ÖABA−1 = BA−1 + 3E, Ÿ•, Eè4¸†› , ¶› B. (2000c) 11. Aènê ÖAAT = E, |A| < 0, ¶|A + E|. (1995c) 12. Aè4ê , B =   1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1   , C =   2 1 3 4 0 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 2   , ÖA(E − C −1B) T C T = E. (1)z{˛„'X™; (2)¶› A. (1990c) 13. AP = P BÖB =   1 0 0 0 0 0 0 0 −1  , P =   1 0 0 2 −1 0 2 1 1  , ¶A, A5 . (1988c) 14. AB = A + 2BÖA =   3 0 1 1 1 0 0 1 4  , ¶B. (1987c) o. y²K 1. y²n›   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   Ü   0 0 · · · 1 0 0 · · · 2 . . . . . . . . . 0 0 · · · n   Éq. (2014c) 2. y²:Únå_ê A1i1Ü1j1ÈÜ￾› PèB, (1)¶y:Bå_; (2)¶AB−1 . (1996c) 3. Aèm¢È°› Ö½, Bèm × n¢› , BTèB=ò› , y²BT AB è½› øá ^á¥Bùr(B) = n. (1991c) 4. y²: nö"ê Aäë› èA∗ÖA∗ = AT , ¶y|A| 6= 0. (1994c) (ùËØ ½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n) 7