课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (入-矩阵部分) 一.填空题 1-入2入-1入 1.x-矩阵x2-X的不变因子为 (2010年北京交通大学) 1+X2A3+A-1-2 入2-100 2.A二矩阵0x0的标准型为(010北京交通大学) 00(A+1)3 A(A+1)00 3.设入-矩阵A(A) 0X0.则A(x)的标准型为 (2012年北京交通大学) (A+1)2 4.入-矩阵 x2+A0的标准型为 (2013年北京交通大学 5.若A是十阶非零矩阵且A2=0,则A的 ordan标准型中 Jordan块的最大阶数为(2015年北 京交通大学) 6.设矩阵A的特征多项式为(A+1)3(A-2)2(A+3),极小多项式为(X+1)2(A-2)2(+3),则A的 Jordan标 准型是 (2015年北京交通大学) 7.设矩阵A的初等因子为(X-1)2,(A-2)2,则A的 Jordan标准型是 (2013年北京科技大学) 8.设四阶矩阵A的特征多项式为m(入)=(X-1)2(A-2),写出4的所有可能的 ordan标准型 (2015年 大连理工大学) 9.设矩阵A=101.如果将A看成复数域上的矩阵则其 Jordan标准型为 如果将A 看成有理数域上的矩阵,其有理标准型为
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (λ−› ‹©) ò. WòK 1. λ−› 1 − λ 2λ − 1 λ λ λ2 −λ 1 + λ 2 λ 3 + λ − 1 −λ 2 ÿCœfè . (2010cÆœåÆ) 2. λ−› λ 2 − 1 0 0 0 λ 0 0 0 λ(λ + 1)3 IO.è . (2011cÆœåÆ) 3. λ−› A(λ) = λ(λ + 1) 0 0 0 λ 0 0 0 (λ + 1)2 , KA(λ)IO.è . (2012cÆœåÆ) 4. λ−› λ 2 + 1 λ 2 −λ 2 1 λ 2 + λ 0 λ λ −λ IO.è . (2013cÆœåÆ) 5. eA¥õ ö"› ÖA2 = 0, KAJordanIO.•Jordan¨Åå Íè . (2015c ÆœåÆ) 6. › AAıë™è(λ+ 1)3 (λ−2)2 (λ+ 3), 4ıë™è(λ+ 1)2 (λ−2)2 (λ+ 3), KAJordanI O.¥ . (2015cÆœåÆ) 7. › A– œfè(λ − 1)2 ,(λ − 2)2 , KAJordanIO.¥ . (2013cÆâEåÆ) 8. o › AAıë™èm(λ) = (λ−1)2 (λ−2), —A§kåUJordanIO. .(2015c åÎnÛåÆ) 9. › A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 . XJÚ A w§EÍ粛 , KŸ Jordan IO.è , XJÚ A w§knÍ粛 , ŸknIO.è . 1 厦门大学《高等代数》
10.设4级数字矩阵A的最小多项式为(X+1)3,则A的全部不变因子为 11.设4级数字矩阵A的最小多项式为(A+1)3,则A的全部行列式因子为 2-412 12.设矩阵A 206,则其初等因子为 Jordan标准型为 13.五维复线性空间v上的线性变换a的最小多项式为x(x-1)2,值域维数为4,则存在v的 组基,使得x在此组基下的矩阵是 Jordan矩阵为 二.选择题 1.下列结论中正确的是().(2015年北京交通大学) (A)特征矩阵AEn-A的秩一定等于n (B)若A() 入 则A()的不变因子为入1 (C)设A,B∈Pmxn,若A与B等价,则它们有相同的行列式因子组 (D若两个同阶的入-矩阵有相同的秩则它们一定等价 2.设A为n阶方阵,下列说法中错误的有 (2017年北京交通大学) (1)A与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多项式无重根 (2)A与对角矩阵相似的充要条件是A的不变因子都没有重根 (3)A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个不同的特征值 (4)A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的 (A)1 3.设矩阵A与矩阵B相似,则有() A.A与B有相同的特征值 B.A与B有相同的特征向量 C.A与B有相同的特征多项式 D.A与B有相同的行列式 三计算题 1.矩阵A的特征多项式为f(x)=(x-1)2(x+3).求A的 Jordan标准型.(2013年北京大学) 2.在R上定义线性变换AA在自然基1=0,2=1,e3=0下的矩阵为001 求R3的一组基,使得A在这组基下具有 ordan型.(2016年北京大学)
10. 4?Íi› A Åıë™è (λ + 1)3 , K A ‹ÿCœfè . 11. 4?Íi› A Åıë™è (λ + 1)3 , K A ‹1™œfè . 12. › A = −2 −4 12 −2 0 6 −2 −2 8 , KŸ– œfè , Jordan IO.è . 13. ëEÇ5òm V ˛Ç5CÜ A Åıë™è x(x − 1)2 , äçëÍè 4, K3 V ò |ƒ, ¶ A 3d|ƒe› ¥Jordan › è: . . ¿JK 1. e(ÿ•(¥( ). (2015cÆœåÆ) (A) A› λEn − Aùò½ un (B) eA(λ) = 1 λ λ 2 , KA(λ) ÿCœfèλ, λ2 (C)A, B ∈ P n×n, eAÜB d, KßÇkÉ”1™œf| (D)e¸á” λ−› kÉ”ù, KßÇò½ d 2. Aèn ê , e`{•Üÿk á. (2017cÆœåÆ) (1)AÜÈ› Éqøá^á¥AÅıë™Ãä (2)AÜÈ› Éqøá^á¥AÿCœf—vkä (3)AÜÈ› Éqøá^á¥Aknáÿ”Aä (4)AÜÈ› Éqøá^á¥A– œf èòg (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3. › A Ü› B Éq, Kk£ § A. A Ü B kÉ”Aä; B. A Ü B kÉ”Aï˛; C. A Ü B kÉ”Aıë™; D. A Ü B kÉ”1™. n.OéK 1. › AAıë™èf(x) = (x − 1)2 (x + 3). ¶AJordan IO.. (2013cÆåÆ) 2. 3R 3˛½¬Ç5CÜA, A3g,ƒε1 = 1 0 0 , ε2 = 0 1 0 , ε3 = 0 0 1 e› è 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 . ¶R 3ò|ƒ, ¶A3˘|ƒe‰kJordan .. (2016cÆåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
设阶方阵A=(E EE其中E是n阶单位矩阵(2016年北京交通大学) (1)求A的特征多项式; (2)求A的极小多项式; (3)求A的若当标准型 1A0 0-1A…0an-2 4.求矩阵A(A) 的不变因子和行列式因子(2017年北京交通大学) 000…-1A+a1 5.设A=-94-6(2012年北京科技大学) (1)求A的初等因子; (2)求出A的 Jordan标准型 0 入0 0x2 6.设A(X)=(-1)2000(2014年北京科技大学) (1)求A(入)的不变因子 2)求A(入)的标准型 7.设A=0123 求矩阵A的 0012 0001 (1)不变因子 (2)初等因子; (3)若当标准型矩阵,并求矩阵T,使得T-1AT=L.(2016年北京科技大学) 8.A是4阶矩阵且有特征值1,又A只有一个线性无关的特征向量,求A的 Jordan标准型.(2011年大连理 工大学) 9.设矩阵4=a20|.试问矩阵A可能有什么样的 JOrdani标准型?试给出该矩阵可对角化的充分必 要条件.(2012年湖南大学) 37-3 10.设A=-2-52,求A的 Jordan标准型J.(2015年湖南大学) -4-103
3. 2n ê A = −E E E E ! , Ÿ•E¥n ¸†› .(2016cÆœåÆ) (1)¶AAıë™; (2)¶A4ıë™; (3)¶AeIO.. 4. ¶› A(λ) = λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · λ a2 0 0 0 · · · −1 λ + a1 ÿCœf⁄1™œf.(2017cÆœåÆ) 5. A = 4 −1 2 −9 4 −6 −9 3 −5 (2012cÆâEåÆ) (1)¶A– œf; (2)¶—AJordanIO.. 6. A(λ) = 0 0 λ 2 − λ 0 0 0 0 λ 2 (λ − 1)2 0 0 0 0 λ 2 − λ 0 0 (2014cÆâEåÆ) (1)¶A(λ)ÿCœf. (2)¶A(λ)IO.. 7. A = 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 , ¶› A (1)ÿCœf; (2)– œf; (3)eIO.› I, ø¶› T, ¶T −1AT = I. (2016 cÆâEåÆ) 8. A¥4 › ÖkAä1, qAêkòáÇ5Ã'Aï˛, ¶AJordanIO.. (2011cåÎn ÛåÆ) 9. › A = 2 0 0 a 2 0 b c −1 , £Ø› AåUküoJordanIO.?£â—T› åÈzø©7 á^á. (2012c HåÆ) 10. A = 3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3 , ¶AJordanIO.J. (2015c HåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
1l设n()=0c…0,其中c∈C.求J1(o的伴随矩阵1()的 ordan标准型(20年华东师范 000 大学) 21-10 12.求矩阵A 203-1-20 的特征值、极小多项式以及 Jordan标准型.(2011年华东师范大学) 50-4-4 3.求矩阵A 7-60 的特征多项式、初等因子组、极小多项式以及 Jordan标准型.(2012年 -6-7-1-7 华东师范大学) 31000 0-3000 14.设矩阵A=0000求P的不变因子组、初等因子组、极小多项式以及mn标准型 00100 00010 (2013年华东师范大学) 5.设n阶矩阵An 其特征多项式记为fn(A).(204年华东师范大学) (1)证明:fn(A)=(+2)fn-1(A)-fn-2(); (2)求f1(A),f(A),f3(),并求相应的特征值及特征向量 (3)试写出A3的 JJordan标准型 16.已知5阶复方阵A的特征多项式为f4(A)及极小多项式mA()分别为fA()=(A-1)2(x+2)2,mA(A)= (A-1)2(X+2),求A的 Jordan标准型.(2018年华东师范大学) 17.记Vn(n≥0)为次数不大于n的关于x,y的实系数二元多项式生成的空间.求V上线性变换 ma=2+ 的 Jordan标准型,并推广到一般情形.(2019年华东师范大学)
11. Jn(c) = c 1 0 · · · 0 0 c 1 · · · 0 0 0 c · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · c , Ÿ•c ∈ C. ¶Jn(c)äë› Jn(c) ∗JordanIO.. (2010cu¿ìâ åÆ) 12. ¶› A = 2 1 −1 0 20 3 −1 −20 20 3 1 −20 5 1 −1 −3 Aä!4ıë™±9JordanIO.. (2011 cu¿ìâåÆ) 13. ¶› A = 5 0 −4 −4 6 8 1 8 14 7 −6 0 −6 −7 −1 −7 Aıë™!– œf|!4ıë™±9JordanIO.. (2012 c u¿ìâåÆ) 14. › A = −3 1 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 , ¶A2ÿCœf|!– œf|!4ıë™±9JordanIO.. (2013cu¿ìâåÆ) 15. n › An = −2 1 1 −2 1 1 −2 1 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 −2 , ŸAıë™Pèfn(λ). (2014cu¿ìâåÆ) (1)y²:fn(λ) = (λ + 2)fn−1(λ) − fn−2(λ); (2)¶f1(λ), f2(λ), f3(λ), ø¶ÉAAä9Aï˛; (3)£—A3 JordanIO.. 16. Æ5 Eê AAıë™èfA(λ)94ıë™mA(λ)©OèfA(λ) = (λ − 1)3 (λ + 2)2 , mA(λ) = (λ − 1)2 (λ + 2), ¶AJordanIO.. (2018cu¿ìâåÆ) 17. PVn(n ≥ 0)ègÍÿåun'ux, y¢XÍıë™)§òm. ¶V2˛Ç5CÜ mA = 2 ∂ ∂x + ∂ ∂y JordanIO., øÌ2òÑú/. (2019cu¿ìâåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
18.求矩阵-430的Jmn标准型.(2012年华南理工大 19.已知矩阵AE-A与 求A的特征多项式、极小多项式、初等因子以及不变因子.(2010年同济大学) 20.若4阶复矩阵A的极小多项式为A2(X-1).求A的所有可能的若尔当标准形.(2015年华中科技大 学) 21.(1)求3阶矩阵 的若尔当标准形 (2)就参数A的不同取值,讨论方程组 4x1+5x2-5x3=-1 解的情形,并且在有解的情况之下写出它的通解 2016年华中科技大学 设A 4-5-24 试求A的 Jordan标准型和有理标准型 003-2 002-1 1000 1000 -100 设A 1100 0200 0100 B 0020 0120 002-1 0012 0001 0002 1.求C的行列式因子,不变因子和初等因子 2.指出A与B,B与C是否相似,并说明理由 24.设A=x4y有3个线性无关的特征向量且A=2是A的二重特征值 求x,y的值 2.求可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵
18. ¶› −1 −1 0 −4 3 0 1 0 2 JordanIO.. (2012cuHnÛåÆ) 19. Æ› λE − AÜ −λ − 4 λ − 2 λ − 4 ¶AAıë™!4ıë™!– œf±9ÿCœf. (2010c”LåÆ) 20. e4 E› A 4ıë™è λ 2 (λ − 1) . ¶ A §kåUeIO/. (2015cu•âEå Æ) 21. (1) ¶3 › 4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1 eIO/. (2) “ÎÍ λ ÿ”ä, ?ÿêß| 2x1 + λx2 − x3 = 1 λx1 − x2 + x3 = 2 4x1 + 5x2 − 5x3 = −1 )ú/, øÖ3k)ú¹Ée—ßœ). (2016cu•âEåÆ) 22. A = 3 −4 0 2 4 −5 −2 4 0 0 3 −2 0 0 2 −1 , £¶ A Jordan IO.⁄knIO.. 23. A = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 , B = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 , C = 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 2 . 1. ¶ C 1™œf, ÿCœf⁄– œf. 2. ç— A Ü B, B Ü C ¥ƒÉq, ø`²nd. 24. A = 1 −1 1 x 4 y −3 −3 5 k3 áÇ5Ã'Aï˛Ö λ = 2 ¥ A Aä. 1. ¶ x, y ä. 2. ¶å_› P ¶ P −1AP èÈ› . 5 厦门大学《高等代数》
25.求A=-120的所有不变因子,初等因子及若尔当( Jordan)标准形 300 26.(16分)设矩阵A=-111,求A的若尔当标准形和A的有理标准形 27设A=130,请把A分解为一个可逆矩阵B和一个幂等矩阵C(即C2=C)的乘积 121 1-26 28.(25分)求矩阵A=-103的若尔当标准形,并求矩阵P使得P-1AP= 29.(25分)设A是一个n阶方阵,t(4)=2a称为矩阵A的迹 (1)若f(x)=(2-2x+2(x-1)是6阶方阵A的最小多项式,且t(4)=6,求A的若尔当标准 形; (2)若BC均为对称半正定实矩阵,并且tr(BC) 证明:对任意的正整数m,(B+C)m= 30.设A为秩为1的n阶复方阵,A的迹tr(4)=a≠0,试求出A的所有特征值(写出重数) 31.已知矩阵 000 A 与矩阵jB=0y0相似 0010 (1)求x,y (2)求可逆矩阵T使T-1AT=B 92.(20分)设矩阵A=-103,求4的若尔当标准形厂及可逆矩阵r,使得A=T/mx2 1-14 3.已知矩阵 求A的特征值与若尔当标准形
25. ¶ A = 2 0 0 −1 2 0 3 4 −1 §kÿCœf, – œf9e ( Jordan ) IO/. 26. (16 ©) › A = 3 0 0 −1 1 1 2 0 1 , ¶A eIO/⁄A knIO/. 27. A = 2 4 2 1 3 0 1 2 1 , ûr A ©)èòáå_› B ⁄òáò › C (= C 2 = C )¶». 28. (25 ©) ¶› A = −1 −2 6 −1 0 3 −1 −1 4 eIO/J, ø¶› P ¶P −1AP = J. 29. (25 ©) A ¥òán ê , tr(A) = Pn i=1 aii °è› A ,. (1) e f(x) = x 2 − 2x + 22 (x − 1) ¥6 ê A Åıë™, Ö tr(A) = 6, ¶ A eIO /; (2) e B, C ˛èÈ°å½¢› , øÖ tr(BC) = 0, y²: È?øÍ m,(B + C) m = Bm + C m . 30. A èùè1 n Eê , A , tr(A) = a 6= 0, £¶— A §kAä(—Í). 31. Æ› A = 0 0 0 −1 x −4 1 −5 5 Ü› j B = 1 0 0 0 y 0 0 0 10 Éq. (1) ¶ x, y . (2) ¶å_› T ¶ T −1AT = B . 32. (20 ©) › A = −1 −2 6 −1 0 3 −1 −1 4 , ¶A eIO/J 9å_› T, ¶A = T JT −1 . 33. Æ› A = 3 0 8 3 −1 6 −2 0 −5 ¶ A AäÜeIO/. 6 厦门大学《高等代数》
4.设 21 B=010 004 相似,(a,b为复数,求A的特征向量 35.4为复数域上n阶方阵,且A=0,4-1≠0,秩(4)=a(=1,2…,k-1),试给出A 的 Jordan标准形. 155 36.设矩阵A=043有一个二重特征值 0a2 1)试求A的最小多项式与 Jordan标准形 (2)确定A相似于对角矩阵的充分必要条件 37.求方阵 010 1-510-105 的若尔当标准型 38.设6阶实矩阵 lab 其中b≠0,试求A的不变因子和初等因子,并写出A的 Jordan标准型.(2011年武汉大学) 39.设复矩阵 200 b1-1 求A的行列式因子,不变因子,初等因子,最小多项式, Jordani标准形及A相似于对角矩阵的充要条 件.(2011年湘潭大学) 7
34. A = 2 a b a 2 1 b 1 2 Ü B = 1 0 0 0 1 0 0 0 4 Éq, ( a, b èEÍ), ¶ A Aï˛. 35. A èEÍç˛ n ê , Ö Ak = 0, Ak−1 6= 0, ù Ai = ai(i = 1, 2, · · · , k − 1), £â— A Jordan IO/. 36. › A = 1 5 5 0 4 3 0 a 2 kòáAä. (1) £¶ A Åıë™ÜJordan IO/; (2) (½ A ÉquÈ› ø©7á^á. 37. ¶ê 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 −5 10 −10 5 eIO.. 38. 6 ¢› A = a −b b a 1 a −b b a 1 a −b b a , Ÿ•b 6= 0 ߣ¶AÿCœf⁄– œfßø—AJordanIO.. (2011c…«åÆ) 39. E› A = 2 0 0 a 2 0 b 1 −1 , ¶A1™œfßÿCœfß– œfßÅıë™ßJordanIO/9AÉquÈ› øá^ á. (2011câ åÆ) 7 厦门大学《高等代数》
40.设矩阵的特征多项式及最小多项式分别为 f(X)=(X+1)2(-1)(-2) m()=(A+1)(A-1)(A-2) 分别求出A的行列式因子,不变因子,初等因子及 Jordan标准型.(2012年湘潭大学) 入-1AA2-1 41.求-矩阵3A-1x2+23x2-1|的smth标准型.(2010年中科大) 42.求1xx2的初等因子组.(2011年中科大) 43.已知复方阵A的特征方阵A-A的初等因子组为 A,A+1,x2,A2,(-1)2,(X-1)3}, 求A的最小多项式以及r(A),tr(4)、(2012年中科大) 四证明题 1.证明:A-矩阵A(A)可逆的充要条件是其行列式4()是一个非零常数.(2010年北京交通大学) 2.证明:n阶方阵A为数量矩阵,当且仅当E-A的n-1阶行列式因子的次数为n-1.(2013年北京交通 大学) 3.(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为-矩阵,,有AE-A等价 于AE一B. (2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3) 试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?(2010年华中科技大学) 4.设n为正整数,1≤k,l≤n a1,a2 ak-1 akLI 是不全为0的复数, 也是n-1个不全零的复数.设E为n阶单位矩阵.把E的第k行用行向量(a1 代替得矩阵A;把E的第l列用列向量(b,…,b-1,1,b+1…,bn)2来代替得矩阵B (1)求A,B的若当标准形 (2)证明:作为复矩阵A与B是相似的
40. › Aıë™9Åı뙩Oè f(λ) = (λ + 1)2 (λ − 1)(λ − 2), m(λ) = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 2). ©O¶—A1™œfßÿCœfß– œf9JordanIO.. (2012câ åÆ) 41. ¶λ− › λ − 1 λ λ2 − 1 3λ − 1 λ 2 + 2λ 3λ 2 − 1 λ + 1 λ 2 λ 2 + 1 SmithIO.. (2010c•âå) 42. ¶ 1 1 1 1 λ λ2 1 λ 2 λ 4 – œf|. (2011c•âå) 43. ÆEê AAê λI − A – œf|è {λ, λ + 1, λ2 , λ2 ,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 }, ¶AÅıë™±9r(A), tr(A) .(2012c•âå) o.y²K 1. y²: λ−› A(λ)å_øá^ᥟ1™|A(λ)|¥òáö"~Í. (2010cÆœåÆ) 2. y²: n ê AèͲ› , Ö=λE − An − 1 1™œfgÍèn − 1. (2013cÆœ åÆ) 3. (1) A ⁄ B ˛è n Eê , y²: A Ü B ÉqÖ=äè λ -› , , k λE − A d u λE − B. (2) A, B —¥3 ò"› , y²: A Équ B Ö.= A Ü B kÉ”4ıë™. (3) £`²˛„(ÿ(2) È4 ò"› ¥ƒ§·, èüo? (2010cu•âEåÆ) 4. n èÍ, 1 6 k, l 6 n . a1, a2, · · · , ak−1, ak+1, · · · , an ¥ÿ è0 EÍ, b1, b2, · · · , bl−1, bl+1, · · · , bn è¥ n−1 áÿ "EÍ. E è n ¸†› . r E 1 k 1^1ï˛ (a1, · · · , ak−1, 1, ak+1, · · · , an) ìO› A; r E 1 l ^ï˛ (b1, · · · , bl−1, 1, bl+1, · · · , bn) T 5ìO› B . (1) ¶ A, B eIO/. (2) y²: äèE› A Ü B ¥Éq. 8 厦门大学《高等代数》
5.利用若尔当标准形定理证明:对任意的n阶复方阵A一定存在一个正整数r满足 rank(A)=rank(Ar+) 并求这样的最小正整数r.(2017年华中科技大学) 6.设A为任意复方阵。证明:存在与对角矩阵相似的方阵S以及幂零方阵N使得A=S+N并 且SN=NS 7.已知A,B是两个n级有理数矩阵(即矩阵的元素都是有理数).假设存在n级复数矩阵C使得 -1AC=B,求证存在n级有理数矩阵D使得D-1AD=B 8.(20分)设A为n级可逆复矩阵.求证存在B使得A=B3. 9.设A1,12…,A是n级方阵A的n个特征值,体k=ⅡA,k=1,2,…,n,证明 41,p2,…,μn是A的伴随矩阵A·的n个特征值 10.设A,B为n级矩阵满足A2+A=2E,B2=B且AB=BA,证明:存在可矩阵Q使得Q-1AQ 和Q-1BQ都是对角矩阵 11.设A,B为复数域上的n级矩阵,且A和B无公共特征根,证明:关于X的矩阵方程AX=XB 只有零解 12.证明:任一n级方阵和它的转置矩阵相似. 13.设A是n级实矩阵满足A2=2A+3En证明 (1)A相似于一个对角矩阵 (2)A+2En是可逆矩阵 14.设为n级实矩阵A=(a1)的一个实特征值.证明:存在正整数k(1≤k≤n)使得 -ak|≤∑|akl 15设A是复数域上的n阶方阵,A=0.且A-1≠0 (1)若A是A的一个特征值,其对应的特征子空间认={aAa=Aa,a是复向量},证明:W的 维数是1; (2)是否存在一个复矩阵B,使得B2=A?请说明理由 16.设A,B为n阶复方阵,C=AB-BA,若AC=CA,则C为幂零矩阵
5. |^eIO/½ny²: È?ø n Eê A ò½3òáÍ r ˜v rank (A r ) = rank A r+1 ø¶˘ÅÍ r . (2017cu•âEåÆ) 6. A è?øEê "y²: 3ÜÈ› Éqê S ±9ò"ê N ¶ A = S + N ø Ö SN = NS . 7. Æ A, B ¥¸á n ?knÍ› (=› É—¥knÍ). b3 n ?EÍ› C ¶ C −1AC = B, ¶y3 n ?knÍ› D ¶ D−1AD = B . 8. (20 ©) A èn ?å_E› . ¶y3B ¶A = B3 . 9. λ1, λ2, . . . , λn ¥ n ?ê A n áAä, µk = Qn i = 1 i 6= k λi , k = 1, 2, · · · , n . y²: µ1, µ2, · · · , µn ¥ A äë› A∗ n áAä. 10. A, B è n ?› ˜v A2 + A = 2E, B2 = B Ö AB = BA , y²: 3å› Q ¶ Q−1AQ ⁄ Q−1BQ —¥È› . 11. A, B èEÍç˛ n ?› , Ö A ⁄ B Ã˙Aä, y²: 'u X › êß AX = XB êk"). 12. y²: ?ò n ?ê ⁄ß=ò› Éq. 13. A ¥ n ?¢› ˜v A2 = 2A + 3En. y²: (1) A ÉquòáÈ› ; (2) A + 2En ¥å_› . 14. λ è n ?¢› A = (aij ) òá¢Aä. y²: 3Í k(1 6 k 6 n) ¶ |λ − akk| 6 X j6=k |akj | . 15. A ¥EÍç˛ n ê , An = 0, Ö An−1 6= 0 . (1) e λ ¥ A òáAä, ŸÈAAfòm Vλ = {α|Aα = λα, α ¥Eï˛}, y²: Vλ ëÍ¥1; (2) ¥ƒ3òáE› B ߶ B2 = A? û`²nd. 16. A, B è n Eê , C = AB − BA, e AC = CA, K C èò"› . 9 厦门大学《高等代数》
17.设A,B为n阶复方阵,证明:AB+A与BA+A有相同的特征值,且每个特征值的重数相同 18.(10分)数域P上一个n阶方阵A称为幂零的,如果存在自然数m使得Am=0.设A=(a)nxn为 一个幂零方阵,且a12≠0,a13=0,a2=0,a23≠0.证明:不存在矩阵B使得Bn-1=A 19.证明对任意的2级复方阵A,B,C都有 A(BC-CB)2-(BC-CB)2A=0 0.(10分)设n级矩阵A=(a)n是一个幂零矩阵,且a12≠0,a13=1,22=0,a23≠0,证明不存在矩阵B 使得Bn-1=A 21.(15分)已知A,B都是n阶复矩阵,若 与 相似,证明:存在矩阵X,使得AX O A2) 22.(10分)设A,B为n阶复方阵,且AB-BA=A (1)求证tr(4)=0 (2)如果n=2,求证A2=0 3.设A,B分别为3×2,2×3实矩阵,且 AB 求证:BA与矩阵 在复数域上相似,进一步问BA与矩阵 0-6 在实数域上相似吗? 1-1 4.求证:任一复矩阵A均可分解为A=B+C,其中C为幂零阵即有正整数k,使C=0),B相似 于对角形,且BC=CB 25.设A是各阶顺序主子式均不为零的n阶矩阵,证明:存在下三角矩阵B与上三角矩阵C,使 A= BC 26.求证;任一复矩阵A均可分解为A=B+C,其中C为幂零阵(即有正整数k,使Ck=0),B相似于 对角形,且BC=CB 7.如果数域K上n阶矩阵A满足A3=A,则r(4)+r(I+4)+r(I-4)=2n.试求出这个矩阵的 相似标准形,其中r(A)=r,r(I+A)=s 28.令A,B,X是复数域上的n阶矩阵,如果矩阵A,B有相同的特征矩阵,则一定存在非零的矩阵X 使得AX=XB,且对任意复数域上多项式f(x)都有f(A)X=Xf(B)
17. A, B è n Eê , y²: AB + A Ü BA + A kÉ”Aä, ÖzáAäÍÉ”. 18. (10 ©) ÍçP ˛òán ê A °èò", XJ3g,Ím ¶Am = 0. A = (aij )n×n è òáò"ê , Ö a12 6= 0, a13 = 0, a22 = 0, a23 6= 0. y²: ÿ3› B ¶ Bn−1 = A . 19. y²È?ø2 ?Eê A, B, C —k A(BC − CB) 2 − (BC − CB) 2A = 0. 20. (10 ©) n ?› A = (aij )nn ¥òáò"› , Öa12 6= 0, a13 = 1, a22 = 0, a23 6= 0, y²ÿ3› B ¶ Bn−1 = A . 21. (15 ©) ÆA, B —¥n E› , e A1 O O A2 ! Ü A1 B O A2 ! Éq, y²: 3› X, ¶ AX− XA = B . 22. (10 ©) A, B èn Eê , ÖAB − BA = A . (1) ¶y tr(A) = 0 . (2) XJ n = 2, ¶y A2 = 0 . 23. A, B ©Oè 3 × 2, 2 × 3 ¢› , Ö AB = 1 1 1 −2 0 −6 0 1 −2 ¶y: BA Ü› " 0 −6 1 −1 # 3EÍç˛Éq, ?ò⁄Ø BA Ü› " 0 −6 1 −1 # 3¢Íç˛ÉqÌ? 24. ¶y: ?òE› A ˛å©)è A = B + C, Ÿ•C èò" (=kÍk, ¶C k = 0 , B Éq uÈ/, Ö BC = CB . 25. A ¥à ^SÃf™˛ÿè" n › , y²: 3en› B ܲn› C, ¶ A = BC . 26. ¶y; ?òE› A ˛å©)èA = B + C, Ÿ•C èò" (=kÍk, ¶C k = 0 , B Équ È/, Ö BC = CB . 27. XJÍçK ˛ n › A ˜v A3 = A, K r(A) + r(I + A) + r(I − A) = 2n. £¶—˘á› ÉqIO/ߟ• r(A) = r, r(I + A) = s . 28. - A, B, X ¥EÍç˛ n › , XJ› A, B kÉ”A› , Kò½3ö"› X ¶ AX = XB, ÖÈ?øEÍç˛ıë™ f(x) —k f(A)X = Xf(B) . 10 厦门大学《高等代数》