首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类,2010) 计算下列各题(要求写出重要步骤) (1)求极限im∑(1+)sin k丌 (2)计算ada+(+a)d,其中∑为下半球面z= 的上侧,a>0 (3)现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a元 而侧面的材料费为单位面积b元试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何 值时所需费用最少? (+)已知f(x)在42)内满足f(x) Snx+cosx,求f(x) 、求下列极限 (1)limn1+-|-e →0 (2)lim an+b+cn 其中a>0,b>0,c>0 三、设∫(x)在x=1点附近有定义,且在x=1点可导,f(1)=0,∫(1)=2.求 lim/(sin x+ cos x) x+x tan x 四、设f(x)在[+x)上连续,无穷积分厂(x)收敛 求m(x 、设函数f(x)在[O,]上连续,在(0,1)内可微,且f(0)=f(1)=0, 存在5=,1使得f(5)=5:(2)存在7∈(0.5)使得f(m)=f(m)-7+1 六、设n>1为整数
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类，2010） 一、 计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 求极限 1 2 1 lim (1 )sin n n k k k n n π − →∞ = ∑ + . (2) 计算 2 2 22 axdydz z a dxdy ( ) ∑ xyz + + + + ∫∫ ，其中 ∑ 为下半球面 222 z ayx = − −− 的上侧，a > 0 . (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 a 元， 而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何 值时所需费用最少？ (4) 已知 f ( ) x 在 1 1, 4 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 内满足 3 3 1 ( ) sin cos f x x x ′ = + ，求 f ( ) x . 二、求下列极限 (1) 1 lim 1 n n n e →∞ n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (2) 111 lim 3 n nnn n abc →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 其中abc >>> 0, 0, 0 三、设 f ( ) x 在 x =1 点附近有定义，且在 x =1 点可导， f f (1) 0, (1) 2 = ′ = . 求 2 2 0 (sin cos ) limx tan f x x → x x x + + . 四、设 f ( ) x 在[0, ) +∞ 上连续，无穷积分 0 f ( ) x dx ∞ ∫ 收敛. 求 0 1 lim ( ) y y xf x dx →+∞ y ∫ 五、设函数 f ( ) x 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可微，且 1 (0) (1) 0, 1 2 ff f ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 证明：(1) 存在 1 ,1 2 ξ ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 使得 f ( ) ξ = ξ ；(2) 存在η ∈(0, ) ξ 使得 f f ′() () 1 η = η η− + . 六、设 n >1为整数
n! 证明:方程F(x)=在,n内至少有一个根 七、是否存在R中的可微函数f(x)使得 f(f(x)=1+x2+x2-x3-x3? 若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明 八、设f(x)在[O,∞)上一致连续,且对于固定的x∈[0,∞),当自然数n→∞时 f(x+n)→>0.证明:函数序列{f(x+n):n=1,2,}在[O,]上一致收敛于0
2 0 ( ) 1 ... 1! 2! ! n x t tt t F x e dt n − ⎛ ⎞ = ++ ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . 证明: 方程 ( ) 2 n F x = 在 , 2 n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠内至少有一个根. 七、是否存在 1 R 中的可微函数 f ( ) x 使得 2435 f ( ( )) 1 fx x x x x = ++−− ？ 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明. 八、设 f ( ) x 在 [0, ) ∞ 上一致连续，且对于固定的 x∈[0, ) ∞ ，当自然数 n → ∞ 时 fx n ( )0 + → . 证明: 函数序列{ ( ) : 1,2,...} fx n n + = 在[0,1] 上一致收敛于 0