2005年天津市大学数学竞赛试题(理工类) 填空题(每空3分) ln4x2+x-1+x+1 √x2+sinx 2.曲线x=c2在点(00处的法线方程为 y=e cos t 3.设f(x)为连续函数,且「f(=x,则f(7)= 4.函数v=1l(xyy2+2)在点A0O1)处沿着点A指向点B(3-2,2)方向的方向导数为_ 5.设(axb)·c=2,则[(a+b)x(b+c)(c+a)= 二选择题(每空3分) 1.设函数∫(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导,考虑下面两个命题, (1)若f(x)>g(x),则f(x)>g(x) (2)若f(x)>g(x)则f(x)>g(x) 则正确的是() (A)两个命题均正确 (B)两个命题均不正确 (C)命题(1)正确,命题(2)不正确:①D)命题(2)正确,命题(1)不正确 2.设函数f(x)连续,F(x)是f(x)的原函数,则() (A)当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数: (B)当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数 (C)当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数 (D)当f(x)为单调墡函数时,F(x)必为单调増函数 3.设平面丌位于平面x1:x-2y+z-2=0与平面x2:x-2y+z-6=0之间,且将此两平面的距离分 为1:3则平面z的一个方程为() (A)x-2y+z=0 (B)x-2y+z+8=0 (C)x-2y+z-8=0: D)x-2y+z-3=0. 4.设f(x1y2)为非零的连续函数,F(x)= f(xy,)hh,则当→时() (A)F(t)与t为同阶无穷小:(B)F(1)与t2为同阶无穷小 (C)F()与为同阶无穷小:(D)F()是比t高阶的无穷小 5.设函数y=y(x)满足等式y-2y+4y=0,且y(xn)<0,y(x)=0.,则y(x)在点x处() (A)取得极小值 (B)取得极大值 C)在x的一个邻域内单调増加:⑩D)在x的一个邻域内单调减少
三、(6分)求函数f(x)= e sinx2的值域 四、(6分)设z=f(xy2)+g(2),其中厂具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数求02, 五、(6分)设二元函数(x,y)在有界闭区域D上可微,在D的边界曲线上u(x,y)=0,并满足 ax+cy=a(xy),求u(xy)的表达式 六、(7分)设二元函数f(xy)具有一阶连续偏导数,且「f(xy)d+ xcos ydy=p2,求f(xy) 七、(7分)设曲线y=ax2(a>0,x≥0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=a2 围成一平面图形,试问 (1)当a为何值时,该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大? (2)最大体积为多少? 八、(7分)设S为椭球面x+y+z2=1的上半部分,点P(x,y,z)∈S,丌为S在点P处的切平 22 面,p(x,y,2)为点O(0.O)到平面丌的距离,求2a 5P(,y 九、(8分)证明[2:xae≤[2osxa 1+ 十、(8分)设正值函数f(x)在闭区间[a,b上连续,f(x)=A, 证明:["f(x)eoh dx≥(b-a(b-a+4) f( 十一、(7分)设函数f(x)在闭区间[a,b上具有连续的二阶导数,证明:存在5∈(a,b),使得 a+6 f(a)-2 2)+f(b)=f"(5) 三、(8分)设函数f(x)在闭区间[22上具有二阶导数|f(x)≤1且[f(OP+U(=4 证明:存在一点∈(-2,2),使得∫(5)+∫"(5)=0