课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (线性映射部分) 填空题 1.设是线性空间V的线性变换,对自然数k,如果向量满足ak+15≠0,k=0.则5,a5,…,mk-15 线性 关.(2009年北京工业大学) 2矩阵A=213定义了3维向量空间R(R是实数域)的一个线性变换:5→A(∈∈F)其值 123 域R3的维数是 (2009年北京工业大学) 3.记F为5维列向量空间,A是5阶实方阵.若齐次线性方程组AX=0解空间的维数是2,则线性变 换:a→Aa(a∈R5)像空间a(F5)={Aala∈F5}的维数是 2011北京工业大学) 4.设bm=4,∈L(V),在基a1,3,4下的矩阵为 1210 0100 1310 0421 则a包含1的最小不变子空间W 016年北京交通大学) 5.设厂是数域P上的三维线性空间v上的一个线性函数,E1,e)2,E3是V的一组基,且 f(1+e3)=f(1-23)=0,f(1+2)=1 则f(x1E1+x2E2+x3E3) (2015年大连理工大学) 001 6.设线性空间的线性变换在基a,a22下的矩阵为4=000,a∈R的像a在a1a23下 100 的坐标为(-1,2,3),则a (2015年湖南师范大学) 先择题
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Ç5N‹©) ò. WòK 1. A ¥Ç5òmV Ç5CÜ, Èg,Ík, XJï˛ξ˜vA k−1 ξ 6= 0, A k ξ = 0. Kξ, A ξ, · · · , A k−1 ξ Ç5 '. (2009cÆÛíåÆ) 2. › A = 1 −1 0 2 1 3 1 2 3 ½¬ 3ëï˛òmR3 (R¥¢Íç)òáÇ5CÜA : ξ → Aξ(ξ ∈ R3 ). Ÿä çA R3ëÍ¥ . (2009cÆÛíåÆ) 3. PR5è5ëï˛òm, A¥5 ¢ê . e‡gÇ5êß|AX = 0 )òmëÍ¥2, KÇ5C ÜA : α → Aα(α ∈ R5 )îòmA (R5 ) = {Aα|α ∈ R5}ëÍ¥ . (2011ÆÛíåÆ) 4. dimV = 4, σ ∈ L(V ), σ3ƒε1, ε2, ε3, ε4 e› è A = 1 2 1 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 4 2 1 Kσù¹ε1ÅÿCfòmW = . (2016cÆœåÆ) 5. f¥ÍçP˛nëÇ5òmV ˛òáÇ5ºÍ, ε1, ε)2, ε3¥V ò|ƒ, Ö f(ε1 + ε3) = f(ε1 − 2ε3) = 0, f(ε1 + ε2) = 1 Kf(x1ε1 + x2ε2 + x3ε3) = . (2015cåÎnÛåÆ) 6. Ç5òmR 3Ç5CÜA 3ƒα1, α2, α3e› èA = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , α ∈ R 3îA α3α1, α2, α3e ãIè(−1, 2, 3)0 , Kα = . (2015c HìâåÆ) . ¿JK 1 厦门大学《高等代数》
1.设A是m×n实矩阵(自然数m,n>1).AA定义了n维实数列向量空间F到自身的一个线性变换a: a→(AA)a.若A的秩(4)=k,则像空间W={a/(a)a∈R"}的维数().(2012年北京工业大学) (C)dim=m-k (D )dimW=r(A A 2.设VU分别是n维,m维线性空间(m≠n),p:V→U的线性映射,则().(2014年北京工业大学) (A)dim kerp dim Imp (C)dim kery +dim Imp=m-n (D)dim kery dim Imp= m+n 100 3.线性变换在基2,3下的矩阵是020则a/在基1,31E2下的矩阵是().(2017年北京工业 003 大学) 100 (A)030 (B)020 002 200 (C)030 (D)010 001 003 4.设φ是V上线性变换,{1,2,…,n}是V上的一组基,且由每个生成的子空间L(E2)的是y的不变子空 间,则y在{1,2,…,En}下的表示矩阵 (2015年北京交通大学 (A)必可逆 (B)必为对角阵 (C)必为上三角阵,但未必是对角矩阵 (D)必为上三角阵,但未必是对角矩阵 5.在以下的变换r中,有个是线性变换.(2015年北京交通大学)(1)设a≠0为线性空间V中某固定 向量,Tx=x+a(对任意x∈V); (2)在线性空间P]中,rf(x)=f(x+1)(对任意f(x)∈P); (3)设A,B为n阶固定方阵,TX=AXB(对任意X∈Pm×n); (4)设A为n阶固定方阵,TX=AX-XA(对任意X∈Pnxm) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6.下列所定义的变换,有个是线性变换.(2016年北京交通大学) (1)在P3中,(x1,x2,x3)=(x21,x2+x3,x3); (2)在P中,a(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1)
1. A¥m × n¢› (g,Ím, n > 1). A 0 A½¬ në¢Íï˛òmRng òáÇ5CÜA : α → (A 0 A)α. eAùr(A) = k, KîòmW = {A (α)|α ∈ Rn}ëÍ( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)dimW = k (B)dimW = n − kK (C)dimW = m − k (D)dimW = r(A 0 A) 2. V, U©O¥në, mëÇ5òm(m 6= n), ϕ : V → UÇ5N, K( ). (2014 cÆÛíåÆ) (A)dim kerϕ + dim Imϕ = n (B)dim kerϕ + dim Imϕ = m (C)dim kerϕ + dim Imϕ = |m − n| (D)dim kerϕ + dim Imϕ = m + n 3. Ç5CÜA 3ƒε1, ε2, ε3e› ¥ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 KA 3ƒε1, ε3, ε2e› ¥( ). (2017cÆÛí åÆ) (A) 1 0 0 0 3 0 0 0 2 (B) 1 0 0 0 2 0 0 0 3 (C) 2 0 0 0 3 0 0 0 1 (D) 2 0 0 0 1 0 0 0 3 4. ϕ¥V ˛Ç5CÜ, {ξ1, ξ2, · · · , ξn}¥V ˛ò|ƒ, Ödzáξi)§fòmL(ξi)¥ϕÿCfò m, Kϕ3{ξ1, ξ2, · · · , ξn}eL´› . (2015cÆœåÆ) (A)7å_ (B)7èÈ (C)7è˛n , ô7¥È› (D)7è˛n , ô7¥È› 5. 3±eCÜT•, k á¥Ç5CÜ. (2015 cÆœåÆ) (l)α 6= 0èÇ5òmV •,½ ï˛, T x = x + α(È?øx ∈ V ); (2)3Ç5òmP[x]•, T f(x) = f(x + 1)(È?øf(x) ∈ P[x]); (3)A, Bèn ½ê , T X = AXB(È?øX ∈ P n×n)); (4)Aèn ½ê , T X = AX − XA(È?øX ∈ P n×n) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6. e§½¬CÜ, k á¥Ç5CÜ. (2016cÆœåÆ) (1)3P 3•, σ(x1, x2, x3) = (x 2 1 , x2 + x3, x2 3 ); (2)3P 3•, σ(x1, x2, x3) = (2x1 − x2, x2 + x3, x1); 2 厦门大学《高等代数》
(3)在P以]中,of(x)=f(x+1) (4)在P[]中,of(x)=f(xo),xo∈P,是一固定的数 (B)2 7.下列所定义的变换 不是线性变换.(2017年北京交通大学) (4)在R2中,a(x1,x2,x3)=(2x1+x2,x2-x3,2x2+4x3); 在e中,0(ab2={(06,若≥0 (O)设V是定义在[a,b上所有连续函数组成的R上的线性空间,在V中o(f(x)=nf(t)dxr (D)设V是数域F上的1维线性空间,o(a)=a,其中a是F中一固定数 三计算题 1.设v是一个n维K一线性空间,(a,)=1是它的一组基若对V上的线性变换 则记A=.若对任一个线性变换,都有(a)=闭,试确定a在基底(a)=1下的矩阵 (2018年北京大学) 2.设m1,n2,n3,n是四维线性空间v的一组基,线性变换在此基下的矩阵为 1021 1113 1155 (1)求-1(0)的维数与一组基 (2)求的一组基).(2016年北京工业大学) 3V={∑axl∈R},o为v中线性变换,对任意的g(x)∈V,有o(x)=9(x)+g(x) (1)求7在基{1.x,,…,-1}下的矩阵 (2)求V中所有a的不变子空间的个数,并证明你的结论.(2019年北京工业大学) 4.设V={amxm+am-1m-1+…+a1x+aola;∈数域P},T∈L(V)
(3)3P[x]•, σf(x) = f(x + 1); (4)3P[x]•, σf(x) = f(x0), x0 ∈ P, ¥ò½Í. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7. e§½¬CÜ, ÿ¥Ç5CÜ. (2017cÆœåÆ) (A)3R 2•, σ(x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x2 − x3, 2x2 + 4x3); (B)3R 2•, σ(a, b) = ( (a, b), eab ≥ 0; (a, −b), eab < 0. (C)V ¥½¬3[a, b]˛§kÎYºÍ|§R˛Ç5òm, 3V •σ(f(x)) = R x a f(t)dx; (D)V ¥ÍçF˛1ëÇ5òm, σ(α) = aα, Ÿ•a¥F •ò½Í. n.OéK 1. V ¥òánëK−Ç5òm, (αj ) n j=1 ¥ßò|ƒ. eÈV ˛Ç5CÜA . A α1 α2 . . . αn = A (α1) A (α2) . . . A (αn) = A α1 α2 . . . αn , KPA = Af . eÈ?òáÇ5CÜB, —k(A B)f = AfBf , £(½A 3ƒ.(αj ) n j=1e› . (2018cÆåÆ) 2. η1, η2, η3, η4¥oëÇ5òmV ò|ƒ, Ç5CÜA 3dƒe› è 1 0 2 1 −1 1 1 3 1 1 5 5 3 −1 3 −1 (1)¶A −1 (0)ëÍÜò|ƒ; (2)¶A V ò|ƒ). (2016cÆÛíåÆ) 3. V = { Pn−1 i=0 aix i |ai ∈ R}, σèV •Ç5CÜ, È?øg(x) ∈ V , kσ(g(x)) = g(x) + g 0 (x). (1)¶σ3ƒ{1, x, x 2 2! , x 3 3! , · · · , x n−12 (n−1)!} e› . (2)¶V •§kσÿCfòmáÍ, øy²\(ÿ. (2019cÆÛíåÆ) 4. V = {amx m + am−1x m−1 + · · · + a1x + a0|ai ∈ ÍçP}, T ∈ L(V ), 3 厦门大学《高等代数》
T: V-V,T(f(a))=rf(a)-f(ar) (1)求T的核空间和像空间:kerT及ImT; (2)求证:V=kerT由Im.(2016年北京交通大学) 2-1 5.设线性变换a在三维线性空间v的一组基=1,E23下的矩阵是A=210 1+E2+33 (1)求a/在基m,m2,m下的矩阵,其中{m=1+2+28 E1+E2+E3 (2)求的值域(V)和核a-1(0); (3)把a-1(0)的基扩充为V的基,并求在这组基下的矩阵(2013年北京科技大学) 6.已知 01 Ea= 00 是M2(P)的两组基,w是M2(P)的线性变换,定义为 a,a∈M2(P) (1)求由基1,E2,3,∈4到基m,m2,m3,m的过渡矩阵 (2)求一个非零的∈M2(P),使它在1,E2,3,E4和m,m,m,n下有相同的坐标 (3)求a的特征值 (4)求的特征子空间.(2014北京科技大学) 7.已知a为对称变换,V是一个线性空间,W是V的一个子空间,试证:W是a的不变子空间.(2009年北 京师范大学) 8.V1,V为线性空间V的两个子空间,dmV+dimV2=n,证明:存在V的线性变换a:Kero=V,Ima= V2.(2010年北京师范大学) 9.设σ是域F上向量空间v的幂等变换,即σ是满足条件a2=o的线性变换 (1)证明:V=Im(a)Ker(a); (2)证明:σ可对角化.(2016年北京师范大学)
T : V → V, T(f(x)) = xf0 (x) − f(x) (1)¶Tÿòm⁄îòm: kerT9ImT; (2)¶y: V = kerT ⊕ ImT. (2016cÆœåÆ) 5. Ç5CÜA 3nëÇ5òmV ò|ƒε1, ε2, ε3e› ¥A = 1 2 −1 2 1 0 3 0 1 (1)¶A 3ƒη1, η2, η3e› , Ÿ• η1 = 2ε1 + ε2 + 3ε3 η2 = ε1 + ε2 + 2ε3 η3 = −ε1 + ε2 + ε3 ; (2)¶A äçA (V )⁄ÿA −1 (0); (3)rA −1 (0)ƒ*øèV ƒ, ø¶A 3˘|ƒe› . (2013cÆâEåÆ) 6. Æ ε1 = 1 0 0 0 ! , ε2 = 0 1 0 0 ! , ε3 = 0 0 1 0 ! , ε4 = 0 0 0 1 ! ⁄ η1 = 8 1 2 −7 ! , η2 = 5 4 2 −5 ! , η3 = 4 2 4 −4 ! , η4 = 8 2 3 −7 ! ¥M2(P)¸|ƒ, A ¥M2(P)Ç5CÜ, ½¬è A (α) = 1 2 −1 4 ! α, α ∈ M2(P). (1)¶dƒε1, ε2, ε3, ε4 ƒη1, η2, η3, η4Lfi› ; (2)¶òáö"ξ ∈ M2(P), ¶ß3ε1, ε2, ε3, ε4 ⁄η1, η2, η3, η4ekÉ”ãI; (3)¶A Aä; (4)¶A Afòm. (2014cÆâEåÆ) 7. ÆσèÈ°CÜ, V ¥òáÇ5òm, W¥V òáfòm, £y: W¥σÿCfòm. (2009c ÆìâåÆ) 8. V1, V2èÇ5òmV ¸áfòm, dimV1+dimV2 = n, y²: 3V Ç5CÜσ: Kerσ = V1, Imσ = V2. (2010cÆìâåÆ) 9. σ¥çF˛ï˛òmV ò CÜ, =σ¥˜v^áσ 2 = σÇ5CÜ. (1)y²: V = Im(σ) ⊕ Ker(σ); (2)y²: σåÈz. (2016cÆìâåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
10.设a,,是线性空间V上的两两不同的线性变换,求证:存在a∈V,使得aa,a,va两两不同 (2009年大连理工大学) 11.设V是数域P上的n维线性空间,w是V上的线性变换,且存在a∈V,使得V=L(a,wa,a2a,……),其 中L(a,aa,a2a,…)表示a,aa,a/2a,…生成的V的子空间 (1)证明a,afa,a2a 是V的一组基 (2)求在这组基下的矩阵,及的特征多项式与最小多项式.(2011年大连理工大学) 12.设=1,2,E3,E4是线性空间v的一组基,已知线性变换T在这组基下的矩阵为 1021 A 1213 1255 2-21-2 (1)求T在基m=1-2+E4,m=32-3-4,n3=53+E4,m=2=4下的矩阵B (2)求T的值域TV和核T-1(0) (3)在T-1(0)选一组基,将它扩充成V的一组基.(2015年湖南大学) 3.在多项式线性空间V=Px]n中,规定线性变换a/为 d(f(r)=f(r)-f(a),Vf(a)EV 试求出a的值域aV以及aV的一个基.(2010年湖南师范大学) 4.已知线性空间P3上的线性变换 a(x,y,z)=(x+2y-2,y+z,x+y-22) 求的值域aP3与核a-1(0)的基和维数.(2012年湖南师范大学) 15.设为实线性空间R3→R3的线性变换,已知 (1,0.,0)=(1,0,1),(0,1,0)=(2,1,1),少(0,0,1)=(-1,1,-2) (1)试用矩阵A表示此变换(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A (2)求的值域少(R3)的一个基 (3)求的核-1(0)的一个基.(2014年湖南师范大学) 6.设V是数域K上的4维线性空间,a1,a2,a3,a4是V的一组基若a是V上的线性变换,且在基a1a2,a3,a4下 1000 的矩阵为准对角矩阵 0100 0030,试求所有的-不变子空间(2014年华东师范大学 0003
10. A , B, C¥Ç5òmV ˛¸¸ÿ”Ç5CÜ, ¶y: 3α ∈ V , ¶A α, Bα, C α¸¸ÿ”. (2009cåÎnÛåÆ) 11. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3α ∈ V , ¶V = L(α, A α, A 2α, · · ·), Ÿ •L(α, A α, A 2α, · · ·)L´α, A α, A 2α, · · ·)§V fòm. (1)y²α, A α, A 2α, · · · , A n−1α ¥V ò|ƒ.; (2)¶A 3˘|ƒe› , 9A Aıë™ÜÅıë™. (2011cåÎnÛåÆ) 12. ε1, ε2, ε3, ε4¥Ç5òmV ò|ƒ, ÆÇ5CÜT3˘|ƒe› è A = 1 0 2 1 −1 2 1 3 1 2 5 5 2 −2 1 −2 (1)¶T3ƒη1 = ε1 − 2ε2 + ε4, η2 = 3ε2 − ε3 − ε4, η3 = ε3 + ε4, η4 = 2ε4e› B; (2)¶TäçT V ⁄ÿT −1 (0); (3)3T −1 (0)¿ò|ƒ, Úß*ø§V ò|ƒ. (2015c HåÆ) 13. 3ıë™Ç5òmV = P[x]n•, 5½Ç5CÜA è A (f(x)) = xf0 (x) − f(x), ∀f(x) ∈ V £¶—A äçA V ±9A V òáƒ. (2010c HìâåÆ) 14. ÆÇ5òmP 3˛Ç5CÜ A (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) ¶A äçA P 3ÜÿA −1 (0)ƒ⁄ëÍ. (2012c HìâåÆ) 15. T è¢Ç5òmR 3 → R 3 Ç5CÜ, Æ T (1, 0, 0) = (1, 0, 1), T (0, 1, 0) = (2, 1, 1), T (0, 0, 1) = (−1, 1, −2). (1)£^› AL´dCÜT (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)A; (2)¶T äçT (R 3 )òáƒ; (3)¶T ÿT −1 (0)òáƒ. (2014c HìâåÆ) 16. V ¥ÍçK˛4ëÇ5òm, α1, α2, α3, α4¥V ò|ƒ. eA ¥V ˛Ç5CÜ, Ö3ƒα1, α2, α3, α4e › èOÈ› 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 , £¶§kA −ÿCfòm. (2014cu¿ìâåÆ) 5 厦门大学《高等代数》
17.已知R3的线性变换a/在基m=(-1,1,1),m=(1,0,-1),m=(0,1,1)下的矩阵为 110 321 (1)求在基1=(1,0,0),E2=(0,1,0),E1=(0,0,1)下的矩阵; (2)求a的值域和核.(2015年华南理工大学) 18.设R2的线性变换a在基1=(1,2),E2=(2,1)下的矩阵为 12 23 线性变换在基m=(1,1),n2=(1,2)下的矩阵为 (1)求+在基m1,n下的矩阵 (2)求在基1,E2下的矩阵; (3)设a=(3,3),求aa在基E1,e2下的坐标 (4)求a在基m,m下的坐标.(2016年华南理工大学) 19.P团]4是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空问,求线性变换a(f(x)=x2f"(x)+ f(x)+f(x)的特征值,求最大特征值的特征向量 0.设σ是线性空间V=Pnxn的一个线性变换,满足a(A)=A,其中A为A的转置矩阵,求a的 全部特征值及对应的特征向量.(2015年南京师范大学) 21.设V为数域P上的有限维线性空间,为V上的线性变换,且满足 +3-302-a+28=0 其中6为恒等变换,若存在一个非零向量a∈V使得a(a)+2(a)-a(a)=3a,试问是否存 在v的一组基,使得a在这组基下的矩陈为对角阵?说明理由,.(2007年南开大学) 2.设矩阵 在P4×1上定义线性变换x使X=AX,X∈P4×1,试求的像Ima与kera的维数与一组基 (2009年南开大学)
17. ÆR 3Ç5CÜA 3ƒη1 = (−1, 1, 1), η2 = (1, 0, −1), η1 = (0, 1, 1)e› è: A = 1 0 1 1 1 0 −3 2 1 (1)¶A 3ƒε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε1 = (0, 0, 1) e› ; (2)¶A äç⁄ÿ. (2015cuHnÛåÆ) 18. R 2Ç5CÜA 3ƒε1 = (1, 2), ε2 = (2, 1)e› è 1 2 2 3 ! , Ç5CÜB3ƒη1 = (1, 1), η2 = (1, 2)e› è 3 3 2 4 ! . (1)¶A + B3ƒη1, η2e› ; (2)¶A B3ƒε1, ε2e› ; (3)α = (3, 3), ¶A α3ƒε1, ε2eãI; (4)¶Bα3ƒη1, η2eãI. (2016cuHnÛåÆ) 19. P[x]4 ¥§kgÍu4ıë™⁄"ı뙧Ç5òØ, ¶Ç5CÜ A (f(x)) = x 2f 00(x) + f(x)+ f 0 (x) Aä, ¶ÅåAäAï˛. 20. σ ¥Ç5òm V = P n×n òáÇ5CÜ, ˜v σ(A) = A0 , Ÿ• A0 è A =ò› , ¶ σ ‹Aä9ÈAAï˛. (2015cHÆìâåÆ) 21. V èÍç P ˛kÅëÇ5òm, A è V ˛Ç5CÜ, Ö A ˜v A 4 + A 3 − 3A 2 − A + 2E = O Ÿ• E èð CÜ, e3òáö"ï˛ α ∈ V ¶ A 3 (α) + A 2 (α) − A (α) = 3α, £Ø¥ƒ 3 V ò|ƒ, ¶ A 3˘|ƒe›ùèÈ º`²nd. (2007cHmåÆ) 22. › A = 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 3 P 4×1 ˛½¬Ç5CÜ A ¶ A X = AX, X ∈ P 4×1 , £¶ A î Im σ Ü kerσ ëÍÜò|ƒ. (2009cHmåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
23.设A为数域P上的n级方阵,且有n个互异的特征值A1,A2,…,An,定义PnXn上的线性变换 T为T(X)=AX,X∈Pmx1,试求出T的所有特征值及其重数.(2012年南开大学) 24.(20分)3阶矩阵 定义P3×3→P3×3的线性变换σ:σ(X)=AX,其中X∈P3×3.分别求kera与Ima的维数与 组基 5.设M2(R)表示实数域上全体二阶方阵构成的线性空间,矩阵 1 00 10 是M2(R)的一个基,又设 53 已知σ是M2(R)的一个线性变换,o(m)=51(i=1,2,3,4) (1)求(1),(52),0(53),(54) (2)问a(1),o(2),a(53),a(54)能否构成M2(R)的一个基?请阐述理由.(2010年武汉大学) 26.设f是平面R2上的线性变换,使得 (1)点(1,0)的像位于第四象限; (1)点(0,1)的像位于第二象限 (1)点(1,1)的像位于第一象限 证明:∫是可逆变换,且∫-1把第一象限内的任意点都映射到第一象限.(2010年武汉大学) 27.设φ是复数域上的线性变换,ε为恒等变换,λo为φ的一个特征值,A在p的最小多项式中的重 数m0=mi4∈N+ker(0-9)=ker(A0-9)+.2014年武汉大学) 8.设1=(1,0),E2=(0,1)是实线性空间R2中的单位向量,a1=(1,3),a2=(2,2),A是R2的线性变 换,使得 4(1)=a1,A(=2)=a2 (1)求A在基1,E2下的矩阵. (2)求A的逆变换A-1在基a1,a2下的矩阵 (3)求A的特征值与特征向量 (4)求A的值域与核.(2010年湘潭大学)
23. A èÍç P ˛ n ?ê , Ök n áp…Aä λ1, λ2, · · · , λn, ½¬ P n×n ˛Ç5CÜ T è T(X) = AX, X ∈ P n×1 , £¶— T §kAä9ŸÍ. (2012cHmåÆ) 24. (20 ©) 3 › A = 1 0 1 0 −1 0 −1 1 −1 ½¬ P 3×3 → P 3×3 Ç5CÜ σ : σ(X) = AX, Ÿ• X ∈ P 3×3 . ©O¶ ker σ Ü Im σ ëÍÜò |ƒ. 25. M2(R)L´¢Íç˛ N ê §Ç5òmß› η1 = 1 0 0 0! , η2 = 1 1 0 0! , η3 = 1 1 1 0! , η4 = 1 1 1 1! , ¥M2(R) òáƒßq ξ1 = 1 0 3 0! , ξ2 = 1 1 3 3! , ξ3 = 3 1 7 3! , η4 = 3 3 7 7! . Æσ ¥M2(R) òáÇ5CÜßσ(ηi) = ξi(i = 1, 2, 3, 4) . £1§¶σ(ξ1), σ(ξ2), σ(ξ3), σ(ξ4) ; £2§Øσ(ξ1), σ(ξ2), σ(ξ3), σ(ξ4) Uƒ§M2(R) òჺû„nd. (2010c…«åÆ) 26. f ¥²°R2 ˛Ç5CÜ߶ £1§:(1, 0) î†u1oñÅ; £1§:(0, 1) î†u1ñÅ; £1§:(1, 1) î†u1òñÅ. y²µf ¥å_CÜßÖf −1 r1òñÅS?ø:—N1òñÅ. (2010c…«åÆ) 27. ϕ ¥EÍç˛Ç5CÜßε èð CÜßλ0 èϕ òáAäßλ0 3ϕ Åı뙕 Ím0 = min k {k ∈ N +|ker(λ0 − ϕ) k = ker(λ0ε − ϕ) k+1} .(2014c…«åÆ) 28. ε1 = (1, 0), ε2 = (0, 1) ¥¢Ç5òmR2 •¸†ï˛ßα1 = (1, 3), α2 = (2, 2), A ¥R2 Ç5C Ü߶ A(ε1) = α1, A(ε2) = α2. £1§¶A 3ƒε1, ε2 e› . £2§¶A _CÜA−1 3ƒα1, α2 e› . £3§¶A AäÜAï˛. £4§¶A äçÜÿ. (2010câ åÆ) 7 厦门大学《高等代数》
29.设R中线性变换A在基=o2 E3=0,下的矩阵A 求A在 0 m=1,m=0,下的矩阵(20年云南大学) 30.设微商D(f(x)=f"(x)是线性空间Plx]3的一个线性变换(其中f(x∈P]3),求D在基1,x,x2下 的矩阵.(2011年云南大学) 31.设A是n维线性空间V的线性变换,求A的秩+A的零度.(2011年云南大学) 32.令T是有限维线性空间V上的线性变换,设W是V的一不变子空间那么,Tlw的最小多项式整除T的 最小多项式.(2012年浙江大学) 33.空间Ⅴ上的线性变换f,可以找到子空间UW,使得∫在U上为可逆线性变换,在W上为幂零线性变 换,且V=U由W、(2015年浙江大学) 4.所有正交变换构成G (1)G关于线性变换的合成和逆变换封闭 (2)G为有限集还是无限集 (3)G是什么代数结构.(2015年浙江大学) 5.设V,V是n维线性空间V的两个子空间,且它们的维数之和等于n证明:存在V上的线性变换T,使 得T的核和像分别等于V1,V2(2016年浙江大学 36.设RnXn上的线性变换AX=AXA,其中A是n阶实方阵,rank(A)=r,求ImA的维数及其一组 基.(2014中科大) 37.设P3是由次数不超过3的复系数多项式组成的线性空间考虑其上的线性变换 乃3→P3. 试求A的极小多项式.(2015年中科大 四证明题 同构空间的维数: 设域F上线性空间W,U,V他们分别是r,s,t维的.o为W到U上的线性映射,f属于Hom(WU)证明: (2)设a*为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射,则存在单射σ,使o”(f)u=a(fu),其中u∈W; (3) dilma*=ker(i-a*)+Ima.(2011年北京大学)
29. R3 •Ç5CÜA 3ƒε1 = 1 0 0 , ε2 = 0 1 0 , ε3 = 0 0 1 , e› A = −1 2 0 1 1 −1 0 1 −1 ߶A 3 ƒη1 = 1 1 1 , η2 = 1 1 0 , η3 = 1 0 0 , e› . (2010c HåÆ) 30. á˚D(f(x)) = f 0 (x) ¥Ç5òmP[x]3 òáÇ5CÜ£Ÿ•f(x ∈ P[x]3)§ß¶D 3ƒ1, x, x2 e › . (2011c HåÆ) 31. A ¥nëÇ5òmVÇ5CÜ߶A ù+A "›. (2011c HåÆ) 32. -T¥kÅëÇ5òmV˛Ç5CÜßW¥VT− ÿCfòm.@oßT|W Åıë™ÿT Åıë™. (2012c˙ÙåÆ) 33. òmV˛Ç5CÜf ßå±ÈfòmU, W ߶f 3U˛èå_Ç5CÜß3W˛èò"Ç5C ÜßÖV = U ⊕ W .(2015c˙ÙåÆ) 34. §kCܧG £1§G'uÇ5CÜ‹§⁄_Cܵ4; £2§GèkÅ8Ñ¥ÃÅ8; £3§G¥üoìÍ(. (2015c˙ÙåÆ) 35. V1, V2 ¥nëÇ5òmV¸áfòmßÖßÇëÍÉ⁄ un.y²µ3V˛Ç5CÜT ߶ T ÿ⁄î©O uV1, V2 .(2016c˙ÙåÆ) 36. Rn×n ˛Ç5CÜAX = AXAT ߟ•A¥n ¢ê ßrank(A) = r ߶ImA ëÍ9Ÿò| ƒ. (2014c•âå) 37. P3 ¥dgÍÿáL3EXÍıë™|§Ç5òm.ƒŸ˛Ç5CÜ A = x d dx : P3 → P3. £¶A 4ıë™. (2015c•âå) o.y²K 1. ”òmëÍ: çF˛Ç5òmW, U, V ¶Ç©O¥r, s, të. σèWU ˛Ç5N, f·uHom(W, U)y²: (1)dimHom(W, U) = rs; (2)σ ∗èHom(W, U)Hom(W, V )˛Ç5N, K3¸σ, ¶σ ∗ (f)ω = σ(fω), Ÿ•ω ∈ W; (3)dimImσ∗ = ker(i − σ ∗ ) + Imσ. (2011cÆåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
2.设V是n维线性空间,a为一线性变换且的最小多项式次数为n (1)证明存在向量a使得a,fa,…,an-la是V的一组基 (2)任意与a/可交换的线性变换可表为a的多项式.(2014年北京大学) 3.设Ⅴ是有限维线性空间,A,B是V上线性变换满足下面条件 (1)AB=O,这里O是0变换; (2)A的任意不变子空间也是B的不变子空间 (3)A5+A4+A3+A2+A=O,证明:BA=O.(2016年北京大学) 4.设V是复数域上有限维线性空间,A是V上的线性变换,A在一组基下矩阵为F (1)若A可对角化,则对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间 (2)若对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间,证明F可对角化.(2016年 北京大学) 5.F为数域,V是F上n维线性空间.A是V上线性变换证明存在唯一可对角化线性变换A1,幂零线性变 换A2使得A=A1+A2,A1A2=A2A1.(2017年北京大学 6.设A是2阶实矩阵,若存在正整数k,使得A=0,则称A是幂零矩阵;V是全体2阶实矩阵组成的R-线 性空间,E;表示(,j)(,j=1,2)位置元素为1,其余位置上为0的2阶矩阵.定义映射a (X)=AX-XA,X∈V (1)证明:{E1,E12,E21,E2}是V的一组基,是线性空间v上的线性变换 (2)若A/12 求在基{E1,E12E21,E2}下的矩阵; (3)对于任意2阶矩阵A,求在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵 (4)若A是幂零矩阵,证明a在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵也是幂零的.(2013年北京工业大学) 7.设V是数域P上的n维线性空间,a是V上的线性变换,a/(a1)=2a1,I为V上的恒等变换,向量组a1,a2,…,an满 足(x-2Da (1)证明:a1,a2,…,an为V的一组基 (2)求在a1,a2,…,an下的矩阵.(2014年北京工业大学) 8.设V是实数域R上的n维线性空间,a1,a2,…,an是V的一组基,于是由 定义了V的一个线性变换a.回答下列问题 (1)试求在a1,a2,…,an下的矩阵; (2)证明:n=0,n-≠0
2. V ¥nëÇ5òm, A èòÇ5CÜÖA Åıë™gÍèn. (1)y²3ï˛α¶α, A α, · · · , A n−1α¥V ò|ƒ; (2)?øÜA åÜÇ5CÜåLèA ıë™. (2014cÆåÆ) 3. V ¥kÅëÇ5òm, A, B¥V ˛Ç5Cܘve°^á: (1)AB = O, ˘pO¥0CÜ; (2)A?øÿCfòmè¥BÿCfòm; (3)A5 + A4 + A3 + A2 + A = O, y²: BA = O. (2016cÆåÆ) 4. V ¥EÍç˛kÅëÇ5òm, A¥V ˛Ç5CÜ, A3ò|ƒe› èF. (1)eAåÈz, KÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW ¥A ÿCfòm. (2)eÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW¥AÿCfòm, y²FåÈz. (2016c ÆåÆ) 5. FèÍç, V ¥F˛nëÇ5òm. A¥V ˛Ç5CÜ. y²3çòåÈzÇ5CÜA1, ò"Ç5C ÜA2¶A = A1 + A2, A1A2 = A2A1. (2017cÆåÆ) 6. A¥2 ¢› , e3Ík, ¶Ak = 0, K°A¥ò"› ; V ¥ N2 ¢› |§R−Ç 5òm, EijL´(i, j)(i, j = 1, 2)†òÉè1, Ÿ{†ò˛è02 › . ½¬NA : A (X) = AX − XA, X ∈ V (1)y²: {E11, E12, E21, E22}¥V ò|ƒ, A ¥Ç5òmV ˛Ç5CÜ; (2)eA 1 2 0 1 ! , ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› ; (3)Èu?ø2 › A, ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22}e› ; (4)eA¥ò"› , y²A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› è¥ò". (2013 cÆÛíåÆ) 7. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, A (α1) = 2α1, IèV ˛ð CÜ, ï˛|α1, α2, · · · , αn˜ v(A − 2I)αi+1 = αi(1, 2, · · · , n − 1). (1)y²: α1, α2, · · · , αnèV ò|ƒ; (2)¶A 3α1, α2, · · · , αne› . (2014cÆÛíåÆ) 8. V ¥¢ÍçR˛nëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ, u¥d A (αi) = αi+1(i = 1, 2, · · · , n), A (αn) = 0 ½¬ V òáÇ5CÜA . £âeØK: (1)£¶A 3α1, α2, · · · , αne› ; (2)y²: A n = 0, A n−1 6= 0; 9 厦门大学《高等代数》
(3)若V有一个线性变换满足n=0,m-1≠0,则存在V的一组基,使得∞在这组基下的矩阵 与(1)中得到的矩阵相同 (4)R上的n阶方阵M,N满足M=Nn=0.,Mn-1≠0,Nn-1≠0,证明M与N相似.(2015年北京工 业大学 9.设σ是数域P上n维线性空间v上的线性变换.证明 (1)存在正整数k,使得对所有的>k都有ker(o4)=ker(ok); (2)r(a)=r(a2)的充要条件是v=a(V)kero.(2018年北京工业大学) 10.在线性空间V中,有线性变换o,r,U.且vr-TU=a.证明: (2)存在正整数m,使得am=0.(2019年北京工业大学) 11.设T是n维线性空间V的线性变换,证明:的秩+T的零度=n.(2010年北京交通大学) 12.设T是实向量空间v上的线性变换,且满足T2=I,这里表示v上的恒等变换.定义两个子空间如下 V1={v∈V:T(v)=t};V={∈V:T(v)=-n}, 证明:V=V⊕V2,这里由表示直和.(2014北京交通大学) 13.设线性变换a与τ满足a2=,r2=T,证明:a与r有相同的核的充分必要条件是ar=o,r= (2016年北京交通大学 14.设a是n维线性空间上的线性变换,求证 dimImo2= dimM.d 的充要条件是V=VV2.(2009年北京科技大学) 15.设线性空间V的线性变换满足2=a,称之为幂等变换,证明: (1)V中向量B属于a的象集Ima当且仅当a(B)=B (2)V=Ima⊕且V的任一向量的直和分解为a=a(a)+(a-a(a) (3)对任一直和分解V=V⊕V,存在唯一的幂等变换a,使得v1=Ims,V=ker (4)每个幂等变换都有方阵表示/E0 (2010年北京科技大学 00 6.设线性空间V=W1⊕W2⊕…⊕W证明:存在v的线性变换函1,a,…,.使得 (3)x+函+…+=I为恒等变换 (4)Im函=W,1≤i≤s.(2011年北京科技大学)
(3)eV kòáÇ5CÜB˜vBn = 0, Bn−1 6= 0, K3V ò|ƒ, ¶B3˘|ƒe› Ü(1)•› É”; (4)R˛n ê M, N˜vMn = Nn = 0, Mn−1 6= 0, Nn−1 6= 0, y²MÜNÉq. (2015 cÆÛ íåÆ) 9. σ¥ÍçP˛nëÇ5òmV ˛Ç5CÜ. y²: (1)3Ík, ¶È§kl > k—kker(σ l ) = ker(σ k ); (2)r(σ) = r(σ 2 )øá^á¥V = σ(V ) ⊕ kerσ. (2018cÆÛíåÆ) 10. 3Ç5òmV •, kÇ5CÜσ, τ, υ. Öυτ − τ υ = σ. y²: (1)υτ k − τ kυ = kτ k−1σ. (2)3Ím, ¶σ m = 0. (2019cÆÛíåÆ) 11. T¥nëÇ5òmV Ç5CÜ, y²: Tù+T"›= n. (2010cÆœåÆ) 12. T¥¢ï˛òmV ˛Ç5CÜ, Ö˜vT 2 = I, ˘pIL´V ˛ð CÜ. ½¬¸áfòmXe: V1 = {v ∈ V : T(v) = v}; V2 = {v ∈ V : T(v) = −v}, y²: V = V1 ⊕ V2, ˘p⊕L´Ü⁄. (2014cÆœåÆ) 13. Ç5CÜσÜτ˜vσ 2 = σ, τ 2 = τ , y²: σÜτkÉ”ÿø©7á^á¥στ = σ, τσ = τ . (2016cÆœåÆ) 14. A ¥nëÇ5òm˛Ç5CÜ, ¶y: dimImA 2 = dimImA øá^á¥V = V1 ⊕ V2. (2009cÆâEåÆ) 15. Ç5òmV Ç5CÜA ˜vA 2 = A , °Éèò CÜ, y²: (1)V •ï˛β·uA ñ8ImA Ö=A (β) = β. (2)V = ImA ⊕ A ÖV ?òï˛Ü⁄©)èα = A (α) + (α − A (α)). (3)È?òÜ⁄©)V = V1 ⊕ V0, 3çòò CÜA , ¶V1 = ImA , V0 = kerA . (4)záò CÜ—kê L´ E 0 0 0 ! . (2010cÆâEåÆ) 16. Ç5òmV = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Ws. y²: 3V Ç5CÜA1, A2, · · · , As. ¶ (1)A 2 i = Ai , 1 ≤ i ≤ s; (2)AiAj = 0, i 6= j; (3)A1 + A2 + · · · + As = I èð CÜ; (4)ImAi = Wi , 1 ≤ i ≤ s. (2011cÆâEåÆ) 10 厦门大学《高等代数》