厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）二次型

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 (二次型部分) 选择题 设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A2+A=2E,且|4|=4,则二次型x2Ax的规范形为( (2019年) (A)+v2+ (B)+v2- (C)2-v2-3(D)-2-- 2.设二次型f(x1,x2,x3)=a(n2+n2+x3)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数分别为1,2,则( (2016年) (A)a>1 (B)a< (C)-2<a<1 (D)a=1或a=-2 3.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换为x=Py下的标准形为2+v-弱,其中P=(e1,e2,e3).若Q (e1,-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为().(2015年) (A)2v2-2+3(B)2+-3(C)2--3(D)2++ 二.填空题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=XAX的秩为1,A中行元素之和为3,则f在正交变换X=QY下的标准形为( ).(2011年) 2.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+n1)2的秩为().(2004年) 3.若二次型f(x1,x2,x3)=2x2+n2+3+2x1x2+tx2x3是正定的,则t的取值范围是().(197年) 三.计算题 1.设二次型f(x1,x2)=x21+4x1x2+4n2经正交变换 Q()化为二次型0(,y)=a2 4y1y2+by2,其中a≥b (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵Q.(2020年)

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êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (g.‹©) ò. ¿JK 1. A¥3¢È°› , E¥3¸†› . eA2 + A = 2E, Ö|A| = 4, Kg.x T Ax5â/è( ). (2019c) (A) y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 (B) y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) −y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 2. g.f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3.5çÍ©Oè1, 2, K( ). (2016c) (A) a > 1 (B) a < −2 (C) −2 < a < 1 (D) a = 1½a = −2 3. g.f(x1, x2, x3)3CÜèx = P yeIO/è2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 , Ÿ•P = (e1, e2, e3). eQ = (e1, −e3, e2), Kf(x1, x2, x3)3CÜx = QyeIO/è( ). (2015c) (A) 2y 2 1 − y 2 2 + y 2 3 (B) 2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) 2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) 2y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 . WòK 1. g.f(x1, x2, x3) = XT AXùè1, A•1ÉÉ⁄è3, Kf3CÜX = QY eIO/è( ). (2011c) 2. g.f(x1, x2, x3) = (x1 + x2) 2 + (x2 − x3) 2 + (x3 + x1) 2ùè( ). (2004c) 3. eg.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + tx2x3¥½, Ktäâå¥( ). (1997c) n. OéK 1. g.f(x1, x2) = x 2 1 + 4x1x2 + 4x 2 2 ²CÜ x1 x2 ! = Q y1 y2 ! zèg.g(y1, y2) = ay2 1 + 4y1y2 + by2 2 , Ÿ•a ≥ b. (1) ¶a, bä; (2) ¶› Q. (2020c) 1

2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求f(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2r-2+an3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为入12+v2.求a的值及一个正交矩阵Q.(2017年) 4.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a11+a2x2+a3x3)2+(2x1+b2x2+b3x3)2,记a=a2|,B=b2 b3 (1)证明二次型f对应的矩阵为2a+BBr; (2)若a,B正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+2.(2013年) 101 5矩阵A=011,4为矩阵的转置,已知44)=2.且二次型f=TA (1)求 (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年) 6.设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+ax2+(a-1)3+2x1x3-2x2x3 (1)求二次型f的矩阵的所有特征值 (2)若二次型f的规范型是驴+v2,求a的值.(20090年) 7.设二次型f(x1,x2,x3)=X7AX=ax2+2x2-2x3+2bx1x3(b>0)其中二次型的矩阵的特征值之和 为1,之积为-12 (1)求ab的值; (2)利用正交变换将二次型化为标准型,并写出所用的正交变换和正交矩阵 8.设A为m阶实对称矩阵,秩(4)=n,A是A=(a)mxn中元素的代数余子式(j=1,2,…,n),二次 型f(x1,x2 (1)记X=(x1,x2,…,x),把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A-1; (2)二次型g(X)=XAX与f(X)的标准型是否相同?说明理由.(2001年) 9.设有n元实二次型,f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x23)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+ anx1)2其中a1(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f为正定二次型

2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα =   a1 a2 a3  , β =   b1 b2 b3  . (1) y²g.fÈA› è2ααT + ββT ; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛, y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 5. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 6. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) ¶g.f› §kAä; (2) eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 , ¶aä. (2009c) 7. g.f(x1, x2, x3) = XT AX = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3(b > 0) Ÿ•g.› AäÉ⁄ è1, É»è−12. (1) ¶a, bä; (2) |^CÜÚg.zèIO., ø—§^CÜ⁄› . (2003c) 8. Aèn¢È°› , ù(A) = n, Aij¥A = (aij )n×n•ÉìÍ{f™(i, j = 1, 2, · · · , n), g .f(x1, x2, · · · , xn) = P i=1 nP j=1 n Aij |A| xixj . (1) PX = (x1, x2, · · · , xn) T , rf(x1, x2, · · · , xn)§› /™, øy²g.f(X)› èA−1 ; (2) g.g(X) = XT AXÜf(X)IO.¥ƒÉ”? `²nd. (2001c) 9. kn¢g., f(x1, x2, · · · , xn) = (x1 + a1x2) 2 + (x2 + a2x3) 2 + · · · + (xn−1 + an−1xn) 2 + (xn + anx1) 2 Ÿ•ai(i = 1, 2, · · · , n)è¢Í. £Ø: a1, a2, · · · , an˜v¤´^áû, g.fè½g.. (2000c) 2

10.已知二次型f(x1,x2,x3)=4x2-3x3+4r1x2-4x1x3+8x1x3 (1)写出二次型的矩阵表达式 (2)用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.(1995年) 1.设二次型f=x12+n2+3+2ax1x2+2x2x3+2x1x3经正交变换X=PY化成f=+2,其 中X=(X1,X2,X3)和Y=(Y1,Y2,Y3)是三维列向量,P是三阶正交矩阵,试求常数a,B.(1993年) 12.考虑二次型 f=x12+42+4n3+2Ax1x2-2x1x3+4x2x3 问λ取何值时,f为正定二次型?(1991年) 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(1x1+b2x2+b3x3)2,记a=a2,B=b2 b3 (1)证明二次型f对应的矩阵为2a+BBr; (2)若a,B正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+v2.(2013年) 2.设A为m×n实矩阵E为n阶单位矩阵.已知B=AE+AA,证明:当X>0时,B为正定矩阵(1999年) (吕洪波方珍程潘红林鹭整理)

10. Æg.f(x1, x2, x3) = 4x 2 2 − 3x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x1x3. (1) —g.› Là™; (2) ^CÜrg.zèIO., ø—ÉA› . (1995c) 11. g.f = x1 2 + x 2 2 + x 2 3 + 2αx1x2 + 2βx2x3 + 2x1x3 ²CÜX = P Y z§f = y 2 2 + 2y 2 3 , Ÿ •X = (X1, X2, X3) T⁄Y = (Y1, Y2, Y3) T¥nëï˛, P¥n› , £¶~Íα, β. (1993c) 12. ƒg. f = x1 2 + 4x 2 2 + 4x 2 3 + 2λx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 Øλ¤äû, fè½g.? (1991c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα =   a1 a2 a3  , β =   b1 b2 b3  . (1) y²g.fÈA› è2ααT + ββT ; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛, y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 2. Aèm×n¢› ,Eèn¸†› . ÆB = λE +AT A, y²: λ > 0û, Bè½› . (1999c) (½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 3