国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(一)试题 (向量空间部分) 填空题 101 设矩阵A=112,a1a2,a3为线性无关的3维列向量组,则向量组Aa1,Aa2,Aa3的秩为( 011 (2017年) 2.设a1=(1,2,-1,0)2,a2=(1,1,0,2)y,a3=(2,1,1,a)y,若由a1,a2,a3形成的维数是2,则a= (2010年) 3.设向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7),则r(a1,a2,a3,a4) 1990 4.由4维列向量构成4阶方阵A=(a,r2r3,n4),B=(B,r2,r3,r3)且A4=4,|B=1,则A+B (198年) 5.设三维向量空间的一组基为a1=(1,1,0),a2=(1,0,1,a3=(0,1,1),则向量=(2,0,0)在此基下的 坐标是().(1987年) 选择题 1.设a1,a2,a3均为三维向量,任意常数k,L,向量组a1+ka3,a2+la线性无关是向量组a1,a2,a3( 014年 (A)必要非充分条件(B)充分非必要条件C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件 2.设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则().(2013年 (4)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£ò§£K (ï˛òm‹©) ò. WòK 1. › A = 1 0 1 1 1 2 0 1 1 , α1, α2, α3èÇ5Ã'3ëï˛|, Kï˛|Aα1, Aα2, Aα3ùè( ). (2017c) 2. α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, α) T , edα1, α2, α3/§ëÍ¥2, Kα = ( ). (2010c) 3. ï˛|α1 = (1, 2, 3, 4), α2 = (2, 3, 4, 5), α3 = (3, 4, 5, 6), α4 = (4, 5, 6, 7), Kr(α1, α2, α3, α4) = ( ). (1990c) 4. d4ëï˛§4 ê A = (α, r2, r3, r4), B = (β, r2, r3, r3)Ö|A| = 4, |B| = 1,K|A + B| = ( ). (1988c) 5. nëï˛òmò|ƒèα1 = (1, 1, 0), α2 = (1, 0, 1), α3 = (0, 1, 1), Kï˛β = (2, 0, 0)3dƒe ãI¥( ). (1987c) . ¿JK 1. α1, α2, α3˛ènëï˛, ?ø~Ík, l, ï˛|α1 + kα3, α2 + lα3Ç5Ã'¥ï˛|α1, α2, α3 ( ). (2014c) (A) 7áöø©^á (B) ø©ö7á^á (C) ø©7á^á (D) Qöø©qö7á^á 2. › A, B, C˛èn › , eAB = C, ÖBå_, K( ). (2013c) (A) › C1ï˛|Ü› A1ï˛| d (B) › Cï˛|Ü› Aï˛| d (C) › C1ï˛|Ü› B1ï˛| d (D) › Cï˛|Ü› Bï˛| d 1
设a1=0,a2=11,a3=-1,a4=1|,其中a,e2,c3,c为任意常数,则下列向量 组线性相关的是().(201 (A)a1,a2,a3 (B)a1,a2,a34 (C)a1,a3,a4 4.设a1;a2,a3是3维向量空间F的一组基,则由基a1,当,,到a1+a2,a2+a3,a3+a1的过渡矩阵为( 是量当 A)|220 (B)|023 ()吉(D) 103 5.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组线性相关的是().(2007年) (A)a1-a2,a2-a3,a3-a1 (B)a1+a2,a2+a3,a3+a1 (C)a1-2a2,a2-2a3,a3-2a1 (D)a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1 6.设a1,a2,…,a均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是().(20060年) (A)若a1,a2,,a线性相关,则Aa1,Aa2,,Aa线性相关 (B)若a1,a2,…,a线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aa线性无关 (C)若a1,a2,…,a线性无关,则Aa1,Aa2,,Aa线性相关 (D)若a1,a2,,线性无关,则Aa1,Aa2,,Aa线性无关 7.设入,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充 分必要条件是().(2005年) (A)A1≠0 B)入2≠0 (C)A1=0 8.设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有().(2004年) (A)A的列向量组线性相关B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 9.设向量组a:a1,a2…,a可由向量组B:B1,B2,…,B线性表示,则().(200年 (A)当rs时,向量组必线性相关 (C)当rs时,向量组a必线性相关
3. α1 = 0 0 c1 , α2 = 0 1 c2 , α3 = 1 −1 c3 , α4 = −1 1 c4 , Ÿ•c1, c2, c3, c4è?ø~Í, Keï˛ |Ç5É'¥( ). (2012c) (A) α1, α2, α3 (B) α1, α2, α34 (C) α1, α3, α4 (D) α2, α3, α4 4. a1, a2, a3¥3ëï˛òmR3ò|ƒ, Kdƒa1, a2 2 , a3 3 , a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1Lfi› è( ). (2009c) (A) 1 0 1 2 2 0 0 3 3 (B) 1 2 0 0 2 3 1 0 3 (C) 1 2 1 4 −1 6 −1 2 1 4 1 6 1 2 −1 4 1 6 (D) 1 2 −1 2 1 2 1 4 1 4 −1 4 −1 6 1 6 1 6 5. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|Ç5É'¥( ). (2007c) (A) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1 (B) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (C) α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D) α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1 6. α1, α2, . . . , αs˛ènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥( ). (2006c) (A) eα1, α2, . . . , αsÇ5É', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5É' (B)eα1, α2, . . . , αsÇ5É', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5Ã' (C)eα1, α2, . . . , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5É' (D)eα1, α2, . . . , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5Ã' 7. λ1, λ2¥› A¸áÿ”Aä, ÈAAï˛©Oèα1, α2, Kα1, A(α1 + α2)Ç5Ã'ø ©7á^á¥( ). (2005c) (A)λ1 6= 0 (B)λ2 6= 0 (C)λ1 = 0 (D)λ2 = 0 8. A, Bè˜vAB = 0?ø¸áö"› , K7k( ). (2004c) (A) Aï˛|Ç5É',B1ï˛|Ç5É' (B) Aï˛|Ç5É',Bï˛|Ç5É' (C) A1ï˛|Ç5É',B1ï˛|Ç5É' (D) Aï˛|Ç5É',Bï˛|Ç5É' 9. ï˛|α : α1, α2 · · · , αrådï˛|β : β1, β2, · · · , βsÇ5L´, K( ). (2003c) (A) r sû,ï˛|β7Ç5É' (C) r sû,ï˛|α7Ç5É' 2
10.设n维列向量a1,a2,……,am(m<n)线性无关,则n维列向量1,B2,…,Bm线性无关的充分必要条件 为().(2000年) (A)向量组a1,a2,…,am可由向量组1,B2,…,Bm线性表示 (B)向量组1,B2,…,Bm可由向量组a1,a2,…,am线性表示 (C)向量组a1,a2,…,am与向量组B1,B2 等价 (D)矩阵A=(a1,a2,…,am)与矩阵B=(B1 Bn)等价 11.设向量a1=(a1,a2,a3),a2=(b1,b2,b3),a3=(c1,c2,c3),则三条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+ 0,(a12+b2≠0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是( (A)a1,a2,a3线性相关 (B)a1a2,a3线性无关 (C)r(a1,a2,a3)=r(a1,a2) (D)a1,a2,a3线性相关而a1,a2线性无关 2.设向量组a1,a2,a3,a4线性无关,则向量组()也线性无关.(1994年) (A)a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1 (B)a1 (C)a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1 (D)a1+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a1 13.设线性方程组AX=b的两个不同解为1,B2,其导出组的一个基础解系为a1,a2,则线性方程组AX b的通解X=(),(k1,k2为任意常数).(1990年) (A)k1a1+k2(a1+a2)+(61-B2) (B)ka1+k2(a1-a2)+l(61+B2) (C)ka1+k2(B1+B2)+(61-B2) (D)k1a1+k2(月1-B2)+是(61+B2) 14.设A为4阶方阵且4|=0,则A中().(1989年) (A)必有一列元素为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 15.n维向量组a1,a2,…,a(3≤s≤m)线性无关的充要条件是().(1989年) (A)存在一组不全为零的数k1 kn,使k1a1+k2a2+…+kas≠0 (B)a1,a2,……,a。中的任意两个向量线性无关 (C)a1,a2,…,a,中,存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)a1;a2,……,a,中的任意一个都不能用其余向量线性表示 三.计算题
10. nëï˛α1, α2, · · · , αm(m < n)Ç5Ã', Knëï˛β1, β2, · · · , βmÇ5Ã'ø©7á^á è( ). (2000c) (A) ï˛|α1, α2, · · · , αmådï˛|β1, β2, · · · , βmÇ5L´ (B) ï˛|β1, β2, · · · , βmådï˛|α1, α2, · · · , αmÇ5L´ (C) ï˛|α1, α2, · · · , αmÜï˛|β1, β2, · · · , βm d (D) › A = (α1, α2, · · · , αm)Ü› B = (β1, β2, · · · , βm) d 11. ï˛α1 = (a1, a2, a3) 0 , α2 = (b1, b2, b3) 0 , α3 = (c1, c2, c3) 0 , Kn^ÜÇa1x + b1y + c1 = 0,a2x + b2y + c2 = 09a3x + b3y + c3 = 0, (ai 2 + bi 2 6= 0, i = 1, 2, 3)uò:øá^á¥( ) (A) α1, α2, α3Ç5É' (B) α1, α2, α3Ç5Ã' (C) r(α1, α2, α3) = r(α1, α2) (D) α1, α2, α3Ç5É' α1, α2Ç5Ã' 12. ï˛|α1, α2, α3, α4Ç5Ã', Kï˛|( )èÇ5Ã'. (1994c) (A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 (B) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α4, α4 − α1 (C) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 − α1 (D) α1 + α2, α2 + α3, α3 − α4, α4 − α1 13. Ç5êß|AX = b¸áÿ”)èβ1, β2,Ÿ—|òáƒ:)Xèα1, α2,KÇ5êß|AX = bœ)X = ( ), (k1, k2è?ø~Í). (1990c) (A) k1α1 + k2(α1 + α2) + 1 2 (β1 − β2) (B) k1α1 + k2(α1 − α2) + 1 2 (β1 + β2) (C) k1α1 + k2(β1 + β2) + 1 2 (β1 − β2) (D) k1α1 + k2(β1 − β2) + 1 2 (β1 + β2) 14. Aè4 ê Ö|A|=0, KA•( ). (1989c) (A) 7kòÉè0 (B) 7k¸ÉÈA§'~ (C) 7kò¥Ÿ{ï˛Ç5|‹ (D) ?òï˛¥Ÿ{ï˛Ç5|‹ 15. nëï˛|α1, α2, · · · , αs(3 ≤ s ≤ n)Ç5Ã'øá^á¥( ). (1988c) (A) 3ò|ÿ è"Ík1, k2, · · · , kn,¶k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs 6= 0 (B) α1, α2, · · · , αs•?ø¸áï˛Ç5Ã' (C) α1, α2, · · · , αs•,3òáï˛ÿU^Ÿ{ï˛Ç5L´ (D) α1, α2, · · · , αs•?øòá—ÿU^Ÿ{ï˛Ç5L´ n. OéK 3
1.已知向量组()a1=(1,1,4),a2=(1,0.,4)r,a3=(1,2,a2+3).(Ia1=(1,1,a+3),B2 (0,2,1-a),B3=(1,3,a2+3).若向量组(I)和向量组(I等价,求a的取值,并将3用a1,a2,a3线性表 出.(2019年) 2.设4维向量组a1=(1+a,1,1,1)2,a2=(2,2+a,2,2)2,a3=(3,3,3,3+a)2,a4=(4,4,4,4+a) 问a为何值时,a1,a2,a3,a4线性相关?当a1a2,a3,a4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其 余向量用该极大线性无关组线性表出.(2006年) 3.确定常数a,使向量组a1=(1,1,a)1,a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组1=(1,1,a),B2 (-2,a,4),月3=(-2,a,a)线性表示,但向量组1,B2,B3不能由向量组a1,a2a3线性表示.(2005年) 4.已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组X,AX,A2X线性无关,且满足A3X=3AX-2A2X (1)记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1 (2)计算行列式A+El.(2001年) 0 5.已知向量组1=1,=2,3=1,与向量组a1 )-() 具有相同的秩,且3可由a1,a2,a3线性表示,求a,b的值.(2000年) 6.设向量组a1=(1,1,1,3)a2=(-1,-3,5,1),a3=(3,2,-1,p+2),a4=(-2,-6,10.,p) (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量a=(4,1,6,10)用a1,a2,a3,a4线性表出 (2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.(1999年) 7.设向量a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),B=(3,10,b,4).问 (1)a,b取何值,B不能由a1,a2,a3线性表示 (2)a,b取何值,可由a1,a2,a3线性表示?并写出其表达式.(199年 设向量a1=(1,0,2,3),a2=(1,1,3,5),a3=(1,-1,a+2,1,a4=(1,2,4,a+8),B=(1,1,b+3,5),问: (1)ab为何值,β不能用a1,a2,a3,a4线性表示; (2)a,b为何值,β能用a1,a2,a3,a4线性表示且表达式唯一,并写出该表达式.(1991年) 四.证明题 1.设向量组x1=(1,2,1)2,x2=(1,3,2)2,x3=(1,a,3)为R3的一个基,B=(1,1,1)在基x1,x2,x3下的 坐标为(b,c,1)2 (2)证明a2,a3,B为R的一个基,并求a2,a3,B到a1,a2,a3的过渡矩阵.(2019年)
1. Æï˛|(I) α1 = (1, 1, 4)T , α2 = (1, 0, 4)T , α3 = (1, 2, a2 + 3)T . (II) β1 = (1, 1, a + 3)T , β2 = (0, 2, 1 − a), β3 = (1, 3, a2 + 3). eï˛|(I)⁄ï˛|(II) d, ¶aä, øÚβ3^α1, α2, α3Ç5L —. (2019c) 2. 4ëï˛|α1 = (1 + a, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 2 + a, 2, 2)T , α3 = (3, 3, 3, 3 + a) T , α4 = (4, 4, 4, 4 + a) T . Øaè¤äû, α1, α2, α3, α4Ç5É'? α1, α2, α3, α4Ç5É'û, ¶Ÿòá4åÇ5Ã'|, øÚŸ {ï˛^T4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2006c) 3. (½~Ía, ¶ï˛|α1 = (1, 1, a) T , α2 = (1, a, 1)T , α3 = (a, 1, 1)Tådï˛|β1 = (1, 1, a) T , β2 = (−2, a, 4)T , β3 = (−2, a, a) TÇ5L´, ï˛|β1, β2, β3ÿUdï˛|α1, α2, α3Ç5L´. (2005c) 4. Æ3 › AÜnëï˛X,¶ï˛|X, AX, A2XÇ5Ã',Ö˜vA3X = 3AX − 2A2X. (1)PP = (x, Ax, A2x),¶3 › B,¶A = P BP −1 ; (2)Oé1™|A + E|. (2001c) 5. Æï˛|β1 = 0 1 −1 , β2 = a 2 1 , β3 = b 1 0 , Üï˛|α1 = 1 2 −3 , α2 = 3 0 1 , α3 = 9 6 −7 ‰kÉ”ù, Öβ3ådα1, α2, α3Ç5L´, ¶a, bä. (2000c) 6. ï˛|α1 = (1, 1, 1, 3)0 ,α2 = (−1, −3, 5, 1)0 ,α3 = (3, 2, −1, p + 2)0 , α4 = (−2, −6, 10, p) 0 . (1).pè¤äû,Tï˛|Ç5Ã'? ø3dûÚï˛α = (4, 1, 6, 10)0^α1, α2, α3, α4Ç5L—. (2).pè¤äû,Tï˛|Ç5É'? ø3dû¶—ßù⁄òá4åÇ5Ã'|. (1999c) 7. ï˛α1 = (1, 4, 0, 2)0 ,α2 = (2, 7, 1, 3)0 ,α3 = (0, 1, −1, a) 0 , β = (3, 10, b, 4)0 . Ø: (1)a, b¤ä, βÿUdα1, α2, α3Ç5L´; (2)a, b¤ä, βådα1, α2, α3Ç5L´? ø—ŸLà™. (1998c) 8. ï˛α1 = (1, 0, 2, 3), α2 = (1, 1, 3, 5), α3 = (1, −1, a + 2, 1), α4 = (1, 2, 4, a + 8), β = (1, 1, b + 3, 5), Ø: (1)a, bè¤ä, βÿU^α1, α2, α3, α4Ç5L´; (2)a, bè¤ä, βU^α1, α2, α3, α4Ç5L´ÖLà™çò, ø—TLà™. (1991c) o. y²K 1. ï˛|x1 = (1, 2, 1)T , x2 = (1, 3, 2)T , x3 = (1, a, 3)TèR 3òáƒ, β = (1, 1, 1)T3ƒx1, x2, x3e ãIè(b, c, 1)T . (1) ¶a, b, c; (2) y²α2, α3, βèR 3òáƒ, ø¶α2, α3, βα1, α2, α3Lfi› . (2019c) 4
2.设a是n维非零列向量且A=1-aa.求证1)42=A的充要条件是a=1:(2)当aa=1时,A不可 逆.(1995年) 3.设A是nxm矩阵B是m×n矩阵,(n<m)且AB=I,求证:B的列向量线性无关.(199年) 4.设向量组a1a2,a3线性相关而a2,a3,a4线性无关,问 (1)a1能否用a2,a3线性表示?并证明之 (2)a4能否用a1,a2,a3线性表示?并证明之 (王忠梅吕洪波林秋林程潘红林鹭整理)
2. α¥nëö"ï˛ÖA = I − αα 0 . ¶y:(1)A2 = Aøá^á¥αα 0 = 1;(2)α 0 α = 1û, Aÿå _. (1995c) 3. A¥n × m› ,B¥m × n› ,(n < m)ÖAB = I,¶y:Bï˛Ç5Ã'. (1993c) 4. ï˛|α1, α2, α3Ç5É' α2, α3, α4Ç5Ã', Ø: (1)α1Uƒ^α2, α3Ç5L´? øy²É; (2)α4Uƒ^α1, α2, α3Ç5L´? øy²É. £ ßr ½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n§ 5