厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研试题）行列式

课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (行列式部分 一.填空题 1x23 x2+x3x1+x3x1+x2 1.如果vvB|=1,则m+m+vm (2011年北京工业大学) 22+321+2321+22 2.如果2x+1-1-2 0的四个根是x1,x2,x3,r4 (2011年北京工业 30 5 大学) 3.若A是3阶实矩阵,A+E,A-E,A+2E都不可逆,则行列式A+A-1 (2011年北京工业 大学) 4.如果 0的四个根是x1,x2,x3,x4,则 (2012年北京工业 1 +27 大学) 1 2 3 4 (2012年北京工业大学) rir2r3 r3 6.一个n阶行列式D的元素由a=max{丹给定,则D (2013年北京工业大学) 7.设Dn=同 aiiInxn是n阶行列式,其中an=2,a+1=a1+1,=-1,(i=1,2,……,n-1),则D 出具体表达式).(2014年北京工业大学) 8.设A是n阶方阵,a为n×1矩阵,B为1×n矩阵,且|4|=2, A B A 0,则 2015年北 京工业大学)

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©­:pa¨Ôƒ)\Æ£pìÍ£K (1™‹©) ò. WòK 1. XJ         x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3         = 1, K         x2 + x3 x1 + x3 x1 + x2 y2 + y3 y1 + y3 y1 + y2 z2 + z3 z1 + z3 z1 + z2         = . (2011cÆÛíåÆ) 2. XJ           x − 1 2 3 0 2 x + 1 −1 −2 3 −1 x − 3 0 0 −2 0 x + 5           = 0oáä¥x1, x2, x3, x4, K P 4 k=1 xk = . (2011cÆÛí åÆ) 3. eA¥3¢› , A + E, A − E, A + 2E—ÿå_, K1™|A∗ + A−1 | = . (2011cÆÛí åÆ) 4. XJ           x − 1 −1 −1 −1 −1 x − 2 1 3 −1 −4 x − 1 −9 −1 −8 1 x + 27           = 0oáä¥x1, x2, x3, x4, K Q 4 k=1 xk = . (2012cÆÛí åÆ) 5.           1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 x 3 1 x 3 2 x 3 3 x 3 4 x 4 1 x 4 2 x 4 3 x 4 4           = . (2012cÆÛíåÆ) 6. òán1™DÉdaij = max{i, j}â½, KD = . (2013cÆÛíåÆ) 7. Dn = |aij |n×n¥n1™, Ÿ•aii = 2, ai,i+1 = ai+1,i = −1, (i = 1, 2, · · · , n−1), KDn = ( —‰NLà™). (2014cÆÛíåÆ) 8. A¥nê , αèn × 1› , βè1 × n› , Ö|A| = 2,      A β α 1      = 0, K      A β α 4      = . (2015c ÆÛíåÆ) 1 厦门大学《高等代数》

9.如果 0的四个根是A1,A2,A3,A4,则∏入 (2015年北京工业 -9x-1-16 x+64 大学) 10.设n阶行列式 123 03 1-20 -3…-(m-1) 则其值为 (2010年北京交通大学) 2a212a22 11.设n阶行列式D={a=d.则行列式D1 (2011年北京交通大 nan nan2 ann 12.5阶行列式 1112-1 11112 的值为(202年北京交通大学 13.设n阶行列式 00 1 T+y ry 00 0 000 的值为 012年北京交通大学) 14.设A为n阶方阵,且|4=a,又ab≠0.则b4)-1-cA (2013年北京交通大学) 15.计算n阶行列式

9. XJ           x − 1 −1 −1 −1 −1 x − 3 1 4 −1 −9 x − 1 −16 −1 −27 1 x + 64           = 0oáä¥λ1, λ2, λ3, λ4, K Q 4 k=1 λk = . (2015cÆÛí åÆ) 10. n1™ Dn =                 1 2 3 · · · n − 1 n −1 0 3 · · · n − 1 n −1 −2 0 · · · n − 1 n . . . . . . . . . . . . . . . −1 −2 −3 · · · 0 n −1 −2 −3 · · · −(n − 1) 0                 , KŸäè . (2010cÆœåÆ) 11. n1™D = |aij | = d. K1™D1 =              2a21 2a22 · · · 2a2n 3a31 3a32 · · · 3a3n . . . . . . . . . nan1 nan2 · · · ann a11 a12 · · · a1n              = . (2011cÆœå Æ) 12. 51™ D5 =              2 −1 −1 −1 −1 1 2 −1 −1 −1 1 1 2 −1 −1 1 1 1 2 −1 1 1 1 1 2              äè . (2012cÆœåÆ) 13. n1™              x + y xy 0 · · · 0 0 1 x + y xy · · · 0 0 0 1 x + y · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 x + y              äè . (2012cÆœåÆ) 14. Aènê , Ö|A| = a, qab 6= 0. K|(bA) −1 − cA∗ | = . (2013cÆœåÆ) 15. Oén1™ 2 厦门大学《高等代数》

121 (2013年北京交通大学) 000∴21 000..12 16.在6阶行列式中的项a32a43a14a51a6a25应带有的符号为 2010年北京科技大学) 0a12a1300 a21a22a23a24a25 31a32a33a34a35 (2016年北京科技大学 0a42a4300 00 18.设A1是行列式D 233 =2013的第i,第j列的代数余子式,则214+3A24+3A34- b 1 2A44 2013年湖南师范大学) 19.设行列式/1222中元素ay的代数余子式为A1/(=1,23,4),则A1+A2+413+ 151017 (2010年南京大学) 20.设a=(a1,a2,…,an),E是n级单位矩阵,则|E+aa (2010年南京大学) 21.设A为n级方阵,E为n级单位矩阵,A≠E,但A2=E,则|A+E= (2010年南京大 2010 1120 481216 中元素a的代数余子式为A(,j=1,2,3,4),则A4+2Aa2+343+ 4A44= (2010年南京大学 1-a2 -a1an -alan 设矩阵A 贝|4 2010年南京大学 ana1 -ana2 24.设A是4级方阵,它的特征值是1,2,3,4.记A*为A的伴随矩阵,则|A|= (2012年南京大 学)

Dn =              2 1 0 · · · 0 0 1 2 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 2 1 0 0 0 · · · 1 2              = . (2013cÆœåÆ) 16. 361™•ëa32a43a14a51a66a25AëkŒ“è . (2010cÆâEåÆ) 17. D5 =   0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0   = . (2016cÆâEåÆ) 18. Aij¥1™D =           1 2 2 9 2 3 3 −2 a b 1 c −3 −4 −2 4           = 2013 1i1, 1jìÍ{f™, K2A14 + 3A24 + 3A34 − 2A44 = . (2013cHìâåÆ) 19. 1™           a11 a12 a13 a14 1 2 2 2 1 3 4 5 1 5 10 17           •É a1j ìÍ{f™è A1j (j = 1, 2, 3, 4), K A11 + A12 + A13+ A14 = . (2010cHÆåÆ) 20.  α = (a1, a2, · · · , an), E ¥ n ?¸†› , K |E + α 0α| = . (2010cHÆåÆ) 21.  A è n ?ê , E è n ?¸†› , A 6= E, A2 = E, K |A + E| = . (2010cHÆå Æ) 22. D =           2 0 1 0 1 1 2 0 4 8 12 16 1 3 5 7           •É aij ìÍ{f™è Aij (i, j = 1, 2, 3, 4), K A41 + 2A42+ 3A43 + 4A44 = . (2010cHÆåÆ) 23. › A =   1 − a 2 1 −a1a2 · · · −a1an −a2a1 1 − a 2 2 · · · −a2an . . . . . . . . . −ana1 −ana2 · · · −anan   ,  |A| = . (2010cHÆåÆ) 24.  A ¥4?ê , ßAä¥ 1, 2, 3, 4. P A∗ è A äë› , K |A∗ | = . (2012cHÆå Æ) 3 厦门大学《高等代数》

2013 25.设行列式D 1234 中第i行第j列元素a的代数余子式为A3(,j=1,2,3,4),则Aa1+ 4321 1357 A42+A43+A4 (2010年南京大学) 26.设A= a201 alan 则 (2010年南京大学) 1+ A 2A 3A 27.设A是n阶矩阵,则445A6A 7A 8A 9A 28.设A为n阶方阵,,且|A=2,则|A·A-I=_4 择题 1.如果200阶实方阵A=(a1)中的元素满足:i+j=2010时,a是个奇数;i+j>2010时,a是个偶数, 则行列式A的值().(200年北京工业大学) )等于零 (B)不等于零 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确 2.如果2009阶实方阵A=(a1)中的元素满足:a是个奇数(i=1,2,…,2009);i2012时,a是个偶数, 则行列式4的值().(2011年北京工业大学) (A)等于零 (B)不等于零 (C)不确定 (D)前三个选项都不正确 4.d.是实数,行列式de(+ed+|aee的值()(22年北京工业大学) f g (A)一定小于零 (B)等于零 (C)一定大于零 (D)不确定

25. 1™ D =           2 0 1 3 1 2 3 4 4 3 2 1 1 3 5 7           •1 i 11 j É aij ìÍ{f™è Aij (i, j = 1, 2, 3, 4) , K A41 + A42 + A43 + A44 = . (2010cHÆåÆ) 26.  A =   1 + a 2 1 a1a2 · · · a1an a2a1 1 + a 2 2 · · · a2an . . . . . . . . . ana1 ana2 · · · 1 + a 2 n   , K |A| = . (2010cHÆåÆ) 27.  A ¥ n › , K         A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A         = . (2009c˛°åÆ) 28.  A è n ê , , Ö |A| = 2, K |A∗A − I| = , |A∗ | = . . ¿JK 1. XJ2009¢ê A = (aij )•ɘv: i + j = 2010û, aij¥á¤Í; i + j > 2010û, aij¥áÛÍ, K1™|A|ä( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A)u" (B)ÿu" (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 2. XJ2009¢ê A = (aij )•ɘv: aii¥á¤Í(i = 1, 2, · · · , 2009); i 2012û, aij¥áÛÍ, K1™|A|ä( ). (2011 cÆÛíåÆ) (A)u" (B)ÿu" (C)ÿ(½ (D)cná¿ë—ÿ( 4. a, b, c, d, e, f, g¥¢Í, 1™         a b b c d e f g g         +         a b b e c d f g g         +         a b b d e c f g g         ä( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)ò½u" (B)u" (C)ò½åu" (D)ÿ(½ 4 厦门大学《高等代数》

5.已知4阶行列式D的某一行元素及其余子式都为a,则D等于().(2013年北京科技大学) (B)a2 (D)4 三计算题 1.计算行列式.各行底数为等差数列,各行度数也为等差数列,所有指数都是50 (2016年北京大学) 100501015010250...19950 2.计算行列式 00 00 01a+b 000 +b ab a+b (2016年北京理工大学) 3.计算行列式Dn={ ai.iInxn,其中a={b,i<;(即Dn (2017年北京理工大学) 4.计算下列行列式 123 1 345 n (2018年北京理工大学) 5.计算n阶行列式

5. Æ41™D,ò1É9Ÿ{f™—èa, KDu( ). (2013cÆâEåÆ) (A)0 (B)a 2 (C)−a 2 (D)4 n.OéK 1. Oé1™. à1.ÍèÍ, à1›ÍèèÍ, §kçÍ—¥50            1 50 2 50 3 50 · · · 10050 2 50 3 50 4 50 · · · 10150 . . . . . . . . . . . . 10050 10150 10250 · · · 19950            . (2016cÆåÆ) 2. Oé1™                 a + b ab 0 · · · 0 0 1 a + b ab · · · 0 0 0 1 a + b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b ab 0 0 0 · · · 1 a + b                 n×n (2016cÆnÛåÆ) 3. Oé1™Dn = |ai,j |n×n, Ÿ•ai,j =    x, i = j; b, i j. (=Dn =            x b · · · b c x · · · b . . . . . . . . . c c · · · x            n×n ). (2017cÆnÛåÆ) 4. Oée1™                 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 n 1 2 · · · n − 2 n − 1                 (2018cÆnÛåÆ) 5. Oén1™ 5 厦门大学《高等代数》

1r r 1 (2019年北京理工大学) 6.设A=(a)3×3,A1,的行列式4中的元素an的代数余子式,且A=a1y,又a1≠0,求4.(2009年北 京交通大学 7.计算n阶行列式 320..00 132.00 的值.(2014年北京交通大学) 000…32 000 22-223-2 32-333-3..3n-1-33n-3 8.计算n-1阶行列式 (2015年北京交通大学) n2-n23-2 9.计算 +a2 123 333+a3 n-1n-1n-1…n-1+an-1n-1 n+an 其中a(i=1,…,n)均不为0.(2016年北京交通大学) 10.计算n阶行列式 D y4y (2017年北京交通大学)

Dn =                 1 2 3 4 · · · n 1 1 2 3 · · · n − 1 1 x 1 2 · · · n − 2 1 x x 1 · · · n − 3 . . . . . . . . . . . . . . . 1 x x x · · · 1                 (2019cÆnÛåÆ) 6. A = (aij )3×3, Aij .1™|A|•ÉaijìÍ{f™, ÖAij = aij , qa11 6= 0, ¶|A|. (2009c ÆœåÆ) 7. Oén1™ Dn =              3 2 0 · · · 0 0 1 3 2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 3 2 0 0 0 · · · 1 3              ä. (2014cÆœåÆ) 8. Oén − 11™            2 2 − 2 23 − 2 · · · 2 n−1 − 2 2n − 2 3 2 − 3 33 − 3 · · · 3 n−1 − 3 3n − 3 . . . . . . . . . . . . n 2 − n 2 3 − 2 · · · n n−1 − n nn − n            . (2015cÆœåÆ) 9. Oé                 1 + a1 1 1 · · · 1 1 2 2 + a2 2 · · · 2 2 3 3 3 + a3 · · · 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n − 1 n − 1 · · · n − 1 + an−1 n − 1 n n n · · · n n + an                 , Ÿ•ai(i = 1, · · · , n)˛ÿè0. (2016cÆœåÆ) 10. Oén1™ Dn =              x y y · · · y z x y · · · y z z x · · · y . . . . . . . . . . . . z z z · · · x              , n ≥ 2 (2017cÆœåÆ) 6 厦门大学《高等代数》

1.计算下列问题 1234 2341 3412 4123 011.1 (2)设D=|=001…1,A为元素a3的代数余子式,计算∑A-(2009年北京科技大学) 000 1 12.计算n阶行列式 工工 a2 其中x≠a1,1≤i≤n.(2010年北京科技大学) 13.计算n阶行列式 1a20 0 10 0 100 其中a≠0,(i=1,2,…,n).(2011年北京科技大学) 11+a2 14.计算行列式Dn= 其中a1a2…an≠0.(2014年北京科技大学) 1+ 15.求n阶行列式 x a (2016年北京科技大学) 16.计算n阶行列式 7

11. OéeØK. (1)           1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3           (2)D = |aij | =              2 2 2 · · · 2 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1              , AijèÉaijìÍ{f™, Oé Pn i,j=1 Aij . (2009cÆâEåÆ) 12. Oén1™ Dn =              a1 x x · · · x x a2 x · · · x x x a3 · · · x . . . . . . . . . . . . x x x · · · an              , Ÿ•x 6= ai , 1 ≤ i ≤ n. (2010cÆâEåÆ) 13. Oén1™ Dn =              a1 1 1 · · · 1 1 a2 0 · · · 0 1 0 a3 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 0 0 · · · an              , Ÿ•ai 6= 0,(i = 1, 2, · · · , n). (2011cÆâEåÆ) 14. Oé1™Dn =            1 + a1 1 · · · 1 1 1 + a2 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 + an            , Ÿ•a1a2 · · · an 6= 0. (2014cÆâEåÆ) 15. ¶n1™              a + x1 a a · · · a a a + x2 a · · · a a a a + x3 · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · a + xn              (2016cÆâEåÆ) 16. Oén1™ 7 厦门大学《高等代数》

r r2…r (2016年北京科技大学) 1+a1 11+ 17.计算行列式Dn 1+a31…11(2012年北京师范大学) 8.9(x)是数域P上的次多项式,其首项系数为i+1(i=0,1,2, 1),试计算n阶行列式 g0(1)90(2) (2011年大连理工大学) 9.计算行列式 00 0 (2013年大连理工大学) 20.计算n阶行列式 b1b1b1…b1 十“,其中≠0(=12…,0)(2m3年湖南大学 21.计算n阶行列式

1 x1 x 2 1 · · · x n 1 1 x2 x 2 2 · · · x n 2 1 x3 x 2 3 · · · x n 3 . . . . . . . . . . . . 1 xn x 2 n · · · x n n              (2016cÆâEåÆ) 17. Oé1™Dn =              1 + a1 1 1 1 · · · 1 1 1 1 + a2 1 1 · · · 1 1 1 1 1 + a3 1 · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 · · · 1 1 + an              . (2012cÆìâåÆ) 18. gi(x)¥ÍçP˛igıë™, ŸƒëXÍèi + 1(i = 0, 1, 2, · · · , n − 1),£Oén1™:            g0(1) g0(2) · · · g0(n) g1(1) g1(2) · · · g1(n) . . . . . . . . . gn−1(1) gn−1(2) · · · gn−1(n)            (2011cåÎnÛåÆ) 19. Oé1™ Dn =                 1 −1 0 0 · · · 0 0 a1 1 − a1 −1 0 · · · 0 0 0 a2 1 − a2 −1 · · · 0 0 0 0 a3 1 − a3 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · an 1 − an                 . (2013cåÎnÛåÆ) 20. Oén1™ Dn =            a1 + b1 b1 b1 · · · b1 b2 a2 + b2 b2 · · · b2 . . . . . . . . . . . . bn bn bn · · · bn            , Ÿ•ai 6= 0,(i = 1, 2, · · · , n). (2013cHåÆ) 21. Oén1™ 8 厦门大学《高等代数》

1+a 2 1+ y I+a Dn 其中:x=yz.(2011年湖南大学) 计算n阶行列式 320..00 132…00 000…32 000 (2012年湖南大学) 23.计算n阶行列式 x-1-1 (2013年湖南大学) 4.证明:Cn=Dn,其中 012.00 0-12 000.21 000 000 并求出Cn的值.(2014年湖南大学 25.计算n阶行列式: y

Dn =                  1 + x z y 1 + x z y 1 + x . . . . . . . . . z y 1 + x z y 1 + x                  , Ÿ•: x = yz. (2011cHåÆ) 22. Oén1™ Dn =              3 2 0 · · · 0 0 1 3 2 · · · 0 0 . . . . . . 0 0 0 · · · 3 2 0 0 0 · · · 1 3              . (2012cHåÆ) 23. Oén1™ Dn =                  x −1 −1 · · · −1 −1 1 x −1 · · · −1 −1 1 1 x . . . −1 −1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · x −1 1 1 1 · · · 1 x                  , (2013cHåÆ) 24. y²: Cn = Dn, Ÿ• Cn =                 2 1 0 · · · 0 0 1 2 1 · · · 0 0 0 1 2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 2 1 0 0 0 · · · 1 2                 , Dn =                 2 −1 0 · · · 0 0 −1 2 −1 · · · 0 0 0 −1 2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 2 −1 0 0 0 · · · −1 2                 , ø¶—Cnä. (2014cHåÆ) 25. Oén1™: (1)              x y · · · y y −y x · · · y y . . . . . . . . . . . . −y −y · · · x y −y −y · · · −y x              ; 9 厦门大学《高等代数》

-y-y y (2015年湖南大学) 26.计算行列式 a+r1a+2…a+r a+2 a+ D a (2010年湖南师范大学) 27.计算n(n≥2)阶行列式 2 cosa 1 0 1 2 cOsQ 1 0 0 0 (2011年湖南师范大学 28.计算n阶行列式 1+x23 (2013年湖南师范大学 29.计算n阶行列式 123 234 (2016年湖南师范大学)

(2)              −y −y · · · −y x −y −y · · · x y . . . . . . . . . . . . −y x · · · y y x y · · · y y              . (2015cHåÆ) 26. Oé1™: D =            a + x1 a + x 2 1 · · · a + x n 1 a + x2 a + x 2 2 · · · a + x n 2 . . . . . . . . . a + xn a + x 2 n · · · a + x n n            . (2010cHìâåÆ) 27. Oén(n ≥ 2)1™ Dn =                    2 cos α 1 0 0 · · · 0 0 1 2 cos α 1 0 · · · 0 0 0 1 2 cos α 1 · · · 0 0 0 0 1 2 cos α · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · 2 cos α 1 0 0 0 0 · · · 1 2 cos α                    . (2011cHìâåÆ) 28. Oén1™ Dn =              1 + x 2 3 · · · n x 1 2 · · · n − 1 x x 1 · · · n − 2 . . . . . . . . . . . . x x x · · · 1              . (2013cHìâåÆ) 29. Oén1™ Dn =              1 2 3 · · · n n 1 2 · · · n − 1 n − 1 n 1 · · · n − 2 . . . . . . . . . . . . 2 3 4 · · · 1              . (2016cHìâåÆ) 10 厦门大学《高等代数》