厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研试题）线性空间

课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (线性空间部分) 填空题 361+B2-B3 1如果维向量组(a1024)和(A,2}满足2=21-6的+,则行列式122+a,a= a3=361+2B2+B3 a4=B1-B2-63 (2009年北京工业大学) =361+B2-B3 2如果四维向量组(23和(,BA)满足2=28-5+,则矩阵(-3,2mda a3=1+2B2+B3 B1-B2-7 的秩R(a1-3a4,2a2, alpha3,a4)4(填比较关系)(2010年北京工业大学) 3.设V是实数域R上的n维线性空间记L为V的全体线性变换构成的集合若定义(a+)()=m(n)+ (),(ra)(u)=ra(u),其中,∈Ln,r∈R,U∈V,则装配上这两种运算的L形成一个维 线性空间.(2010年北京工业大学) 4.所有形如xun的实矩阵形成的集合3={xun,y,x,n,都是实数}关于矩阵的乘法形 y 成一个线性空间.此空间的维数是 (2012年北京工业大学) 5.设R为实数域,集合T={vx+yx|,n,x,y∈B}关于矩阵的加法和数乘构成R-线性空间 则T的一组基为 维数是 2013年北京工业大学) 6.设A={01-1,T=BAB=BA,其中B为三阶实方阵,T关于矩阵加法和数乘构成R-线性 空间.则的一组基为,维数是 (2014年北京工业大学) 7.设为实数域,集合V=A∈Rnxn:A=A关于矩阵加法和数乘构成一个实线性空间.则dimV (2016年北京工业大学

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©­:pa¨Ôƒ)\Æ£pìÍ£K (Ç5òm‹©) ò. WòK 1. XJ4ëï˛|{α1, α2, α3, α4} ⁄{β1, β2, β3} ˜v    α1 = 3β1 + β2 − β3 α2 = 2β1 − β2 + β3 α3 = 3β1 + 2β2 + β3 α4 = β1 − β2 − β3 , K1™|α1, 2α2, α2+α3, α4| = . (2009 cÆÛíåÆ) 2. XJoëï˛|{α1, α2, α3, α4} ⁄{β1, β2, β3} ˜v    α1 = 3β1 + β2 − β3 α2 = 2β1 − 5β2 + β3 α3 = β1 + 2β2 + β3 α4 = β1 − β2 − 7β3 , K› (α1−3α4, 2α2, alpha3, α4) ùR(α1 − 3α4, 2α2, alpha3, α4) 4.(W''X) (2010cÆÛíåÆ) 3. V ¥¢ÍçR˛nëÇ5òm.PLvèV NÇ5Cܧ8‹. e½¬(A +B)(v) = A (v)+ B(v), (rA )(v) = rA (v) , Ÿ•A , B ∈ Lv, r ∈ R, v ∈ V , KC˛˘¸´$éLv/§òá ë Ç5òm. (2010cÆÛíåÆ) 4. §k/X   u v w x u v y x u   ¢› /§8‹T3 = {   u v w x u v y x u   |x, y, u, v, w—¥¢Í} 'u› ¶{/ §òáÇ5òm. dòmëÍ¥ . (2012cÆÛíåÆ) 5. Rè¢Íç, 8‹T = {   u v u v x + y x u x u   |u, v, x, y ∈ R} 'u› \{⁄Ͷ§R−Ç5òm. KTò|ƒè , ëÍ¥ . (2013cÆÛíåÆ) 6. A = {   1 −1 0 0 1 −1 0 0 1  , T = B|AB = BA, Ÿ•Bèn¢ê , T'u› \{⁄Ͷ§R− Ç5 òm. KTò|ƒè , ëÍ¥ . (2014cÆÛíåÆ) 7. Rè¢Íç, 8‹V = A ∈ R n×n : A 0 = A'u› \{⁄Ͷ§òá¢Ç5òm. KdimV = . (2016cÆÛíåÆ) 1 厦门大学《高等代数》

8.将复数域看成它自身的线性空间,它的维数是 (2017年北京工业大学) 9.设向量a=(1,2,-1,1),B=(2,1,0,4,y=(4,5,-2,t)线性相关,则t (2017年北京工业大 学 10.设a1=(1,1,1,2),a2=(4,6,2a+7,10)2,a3=(3a+42a+5,a+7)r,B=(2,3,2a+3,5)2,若β不 能用a1,a2,a3线性表示,则a=(2090年北京交通大学) 11.设线性空间Q(√2)={a+b2a,b为任意有理数},则其基和维数分别是(201年北京交通 大学) 2.设向量组a1=(1,2,1,3),a2=(1,1,-1,1),a3=(1,3,3,5),a4=(4,5,-2,6),a5=(-3,-5,-1,-7 则其秩为 (2010年北京交通大学) 13.设R[z3是次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间,取其两个基: II: B1 x2,B2 B3=1+x+x2 则基到基Ⅱ的过渡矩阵为(2010年北京交通大学) 14.设W={(a1)∈Pxa1+a+a33+a34=0,a4+a2+a4+a44=0},则W是Px的子空间 dim(w) (2011年北京交通大学) 15.若向量组a1=(1,0,1),a2=(a,-1,0),a3=(-1,a,-1)的秩是2,则a= (2012年北京交通 大学) 6.设数域上P上次数小于n的所有多项式构成的线性空间为Pr]n,若f(x)∈P团n则f(x)在P[]n的 组基为1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)-1下的坐标为 (2013年北京交通大学) 17.设A W={B|BA=AB,B∈R2×2}则是W的一组基.(2015年北京交通大学 设向量组a,a2,a线性无关,当t满足时,a1+t2,a2+tas,as+tan也线性无关.(2017年北京 交通大学) 19.设V为数域F上的一切n阶对称矩阵所构成的向量空间,则dimV= (2017年北京交通大学) 100 20.设矩阵A 设V={f(A)f(x)∈R[xl},dimV V的一组基 00a2 为 (2011年北京交通大学 21.从R的基a1=(1,0,1),a2=(1,1,-1),a3=(0,1,0)到基B1=(1,-2,1),B2=(1,2,-1),B3 (0,1,-2)的过渡矩阵P (2011年北京科技大学

8. ÚEÍçw§ßgÇ5òm, ßëÍ¥ . (2017cÆÛíåÆ) 9. ï˛α = (1, 2, −1, 1), β = (2, 1, 0, 4), γ = (4, 5, −2, t)Ç5É', Kt = . (2017cÆÛíå Æ) 10. α1 = (1, 1, 1, 2)T , α2 = (4, 6, 2a + 7, 10)T , α3 = (3, a + 4, 2a + 5, a + 7)T , β = (2, 3, 2a + 3, 5)T , eβÿ U^α1, α2, α3Ç5L´, Ka = . (2009cÆœåÆ) 11. Ç5òmQ( √ 2) = {a + b √ 2|a, bè?øknÍ}, KŸƒ⁄ëÍ©O¥ . (2010cÆœ åÆ) 12. ï˛|α1 = (1, 2, 1, 3), α2 = (1, 1, −1, 1), α3 = (1, 3, 3, 5), α4 = (4, 5, −2, 6), α5 = (−3, −5, −1, −7), KŸùè . (2010cÆœåÆ) 13. R[x]3¥gÍu3§k¢XÍıë™|§Ç5òm, Ÿ¸áƒ: I : α1 = 1, α2 = 1 + x, α3 = 1 + x + x 2 ; II : β1 = 1 + x 2 , β2 = x + x 2 , β3 = 1 + x + x 2 . KƒIƒIILfi› è . (2010cÆœåÆ) 14. W = {(aij ) ∈ P 4×4 |a31 + a32 + a33 + a34 = 0, a41 + a42 + a43 + a44 = 0}, KW¥P 4×4fòm, dim(W) = . (2011 cÆœåÆ) 15. eï˛|α1 = (1, 0, 1), α2 = (a, −1, 0), α3 = (−1, a, −1) ù¥2, Ka = . (2012cÆœ åÆ) 16. Íç˛P˛gÍun§kı뙧Ç5òmèP[x]n, ef(x) ∈ P[x]n. Kf(x)3P[x]n ò |ƒè1, x − a,(x − a) 2 , · · · ,(x − a) n−1eãIè . (2013cÆœåÆ) 17. A = 1 0 3 1 ! , W = {B|BA = AB, B ∈ R 2×2} K ¥Wò|ƒ. (2015cÆœåÆ) 18. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', t˜v û, α1 + tα2, α2 + tα3, α3 + tα1 èÇ5Ã'. (2017cÆ œåÆ) 19. V èÍçF˛òÉnÈ°› §§ï˛òm, KdimV = . (2017cÆœåÆ) 20. › A =   1 0 0 0 ω 0 0 0 ω 2  , ω = −1+√ 3i 2 , V = {f(A)|f(x) ∈ R[x]}, dimV = , V ò|ƒ è . (2011 cÆœåÆ) 21. lR3ƒα1 = (1, 0, 1)0 , α2 = (1, 1, −1)0 , α3 = (0, 1, 0)0ƒβ1 = (1, −2, 1)0 , β2 = (1, 2, −1)0 , β3 = (0, 1, −2)0Lfi› P = . (2011cÆâEåÆ) 2 厦门大学《高等代数》

22.设向量组a1,a2,a3线性无关,当t满足 时,a1+ta2,a2+ta3,a3+tan也线性无关.(2012年 湖南师范大学) 23.设P]4是数域P上的所有次数不大于3的多项式以及零多项式所组成的线性空间.已知1,1+x,1+ x+x2,1+x+x2+x3是一组基,则P]4中元素2+x+x3关于该基的坐标是 (2014年湖南 师范大学 24.设n维线性空间v的线性变换x在V的一组基下的矩阵是A,且已知齐次线性方程组AX=0的解空间 的维数是s,则dimV= (2014年湖南师范大学) 5.设a;=(an,a2,a,a4),=1,2,3:;=(a1j,a2y,a3y),j=1,2,3,4.如果向量组a1,a2,a3线性无 关,则向量组B1,B2,B3,B4的秩为 6.设a1,a2,a3线性无关,B1=3a1+(k+1)a2+5a3,B2=ka1+a2+a3,B3=ka2+4a3,则1,B2,B3 线性相关的充要条件是k= 27.设a1,a2,…,an是数域P上的线性空间v的一组秩为r的向量组,则使得k1a1+k2a2+…+ knan=0的n维向量(k,k2,…,kn)的全体构成的集合是Pn的维子空间 8.Fx3为F上所有三阶矩阵组成的集合,令V={4A∈F3x3}(其中tr(4)=0且A为上三角矩 阵),则dimV 100 9.设A=020,v={B∈F×AB=BA},则V为F上维线性空间,基为 003 0 0.设A=0011,V={B∈F×AB=BA},则V为上维线性空间基为 31.设B1=a2+a3+…+ar,B2=a1+a3+…+ar,…,B-1=a1+…+ar-2+ar,B=a1+a2+…+ar-1 则a1,…,ar之秩s与B1,……,B之秩t的关系是 32.设a1,Q2a3是3维向量空间R3的一组基,则由基a12a2a3到基a1+a2,a2+a3,a3+a1的 过渡矩阵是 33.四维线性空间v上线性变换的最小多项式是x(x-1),值域维数是2,则存在V上的一组基,使 得在此组基下矩阵是对角阵A 4.设A=001,v={B∈FxAB=BA},则V为F上维线性空间,基为 000

22. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', t˜v û, α1 + tα2, α2 + tα3, α3 + tα1 èÇ5Ã'. (2012c HìâåÆ) 23. P[x]4¥ÍçP˛§kgÍÿåu3ıë™±9"ı뙧|§Ç5òm. Æ1, 1 + x, 1 + x + x 2 , 1 + x + x 2 + x 3¥ò|ƒ, KP[x]4•É2 + x + x 3'uTƒãI¥ . (2014cH ìâåÆ) 24. nëÇ5òmV Ç5CÜA 3V ò|ƒe› ¥A, ÖƇgÇ5êß|AX = 0)òm ëÍ¥s, KdimA V = . (2014cHìâåÆ) 25.  αi = (ai1, ai2, ai3, ai4), i = 1, 2, 3; βj = (a1j , a2j , a3j ), j = 1, 2, 3, 4. XJï˛| α1, α2, α3 Ç5à 'ßKï˛| β1, β2, β3, β4 ùè . 26.  α1, α2, α3 Ç5Ã', β1 = 3α1 + (k + 1)α2 + 5α3, β2 = kα1 +α2 +α3, β3 = kα2 + 4α3, K β1, β2, β3 Ç5É'øá^ᥠk = . 27.  α1, α2, · · · , αn ¥Íç P ˛Ç5òm V ò|ùè r ï˛|, K¶ k1α1 + k2α2 + · · · + knαn = 0  n ëï˛ (k1, k2, · · · , kn) N§8‹¥ P n  ëfòm. 28. F 3×3 è F ˛§kn› |§8‹, - V =  A|A ∈ F 3×3 (Ÿ• tr(A) = 0 Ö A è˛n› ), K dim V = . 29.  A =     1 0 0 0 2 0 0 0 3     , V =  B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 30.  A =     0 1 0 0 0 1 0 0 0     , V =  B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 31.  β1 = α2+α3+· · ·+αr, β2 = α1+α3+· · ·+αr, · · · , βr−1 = α1+· · ·+αr−2+αr, βr = α1+α2+· · ·+αr−1 K α1, · · · , αr Éù s Ü β1, · · · , βr Éù t 'X¥ . 32.  α1, α2, α3 ¥3ëï˛òm R 3 ò|ƒ, Kdƒ α1, 1 2 α2, 1 3 α3 ƒ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1  Lfi› ¥ . 33. oëÇ5òm V ˛Ç5CÜ A Åı뙥 x(x − 1), äçëÍ¥ 2, K3 V ˛ò|ƒ, ¶  A 3d|ƒe› ¥È A = . 34.  A =     0 1 0 0 0 1 0 0 0     , V =  B ∈ F 3×3 |AB = BA , K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè . 3 厦门大学《高等代数》

5设A=011v={Af()∈F(x),则V为F上维线性空间基为 001 选择题 1.如果n维空间中的向量组a1,2a2,…,am线性无关,向量B与ak(k=1,2,…,m)都正交,则向量组a1,2a2,…,am,B 然().(2009年北京工业大学) (4)线性无关 (B)线性相关 (C)可能线性相关,有可能线性无关; (D)前三个选项都不正确 2.若S1={a1,a2,…,ax},S2={B1,B2,…,B}是有限维向量空间v的两个线性无关向量组,且rn>1,R表示实数域.记m×n型实矩阵(a)mxn的行向量组为{a1,a2,…,am},列向 量组为{B1,B2,…,Bn}.若它们线性组合成的向量空间分别记为S1={1a1+2a2+…+Anam|1∈ R,=1,2,…,m},S2={1B1+m2B2+…+mnBn∈R,i=1,2,…,n}则维数dimS1,dimS2之间 的关系是().(2012年北京工业大学) (A)dimS> dim S2 (B)dimS dim S2 (C)dimS= dims (D)没有确定的大小比较关系 4.设向量组I:a1,a2,…,ar可由向量组IB1,B2,…,B线性表示,则().(2013年北京工业大学 (A)当rs时,向量组∏必线性相关; (C)当rs时,向量组I必线性相关 5.向量组a1,a2,a3线性无关,而a2,a3,a4线性相关,则下面论断正确的是().(2014年北京工业大学)

35.  A =   1 1 0 0 1 1 0 0 1   , V = {f(A)|f(x) ∈ F(x)}, K V è F ˛ ëÇ5òm, ƒè: . . ¿JK 1. XJnëòm•ï˛|α1, 2α2, · · · , αm Ç5Ã', ï˛βÜαk(k = 1, 2, · · · , m)—, Kï˛|α1, 2α2, · · · , αm, β7 ,( ). (2009 cÆÛíåÆ) (A)Ç5Ã'; (B)Ç5É'; (C)åUÇ5É', kåUÇ5Ã'; (D)cná¿ë—ÿ(. 2. eS1 = {α1, α2, · · · , αr}, S2 = {β1, β2, · · · , βt}¥kÅëï˛òmV ¸áÇ5Ã'ï˛|, Ör n > 1, RL´¢Íç. Pm × n.¢› (aij )m×n1ï˛|è{α1, α2, · · · , αm}, ï ˛|è{β1, β2, · · · , βn}. eßÇÇ5|‹§ï˛òm©OPèS1 = {λ1α1 +λ2α2 +· · ·+λmαm|λi ∈ R, i = 1, 2, · · · , m}, S2 = {γ1β1 + γ2β2 + · · · + γnβn|γi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n} KëÍdimS1, dimS2Ém 'X¥( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)dimS1 > dimS2; (B)dimS1 sû, ï˛|II7Ç5É'; (C)r sû, ï˛|I7Ç5É'. 5. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', α2, α3, α4Ç5É', Ke°ÿ‰(¥( ). (2014cÆÛíåÆ) 4 厦门大学《高等代数》

(A)a1能被a2,a3,a4线性表出 (B)a1不能被a2a3,a4线性表出 (C)a1能被a3,a4线性表出; (D)a4不能被a2,a3线性表出 6.设向量组I:a1,a2,…,a,可由向量组IB1,B2,…,B线性表示,则().(2016年北京工业大学) (A)当s<t时,向量组必线性无关; (B)当s<时,向量组必线性相关 (C)当线性无关时,必有s<t (D)当线性无关时,必有s<t 7.设v为n为线性空间,,v是V的子空间,若v=V+V2,下列选项正确的是().(2017年北京工业 大学) (An= dimI dimv2 (B)n≤dimV+dimV2 (C)ⅵ∩v=0 (D)V∩V2≠0 (010年北京交个mm线性无关则维列向量A,…,m线性无关的充要条件是() 8.设n维向量a1,a2 (4)向量组a1,a2,…,am可由向量组1,B2,…,Bn线性表示; (B)向量组,B2,…,Bm可由向量组a1,a2,…,am线性表 (C)向量组a1,a2,…,am与向量组B1,B2,…,Bm等价 (D)矩阵A=(a1,a2,…,am)与矩阵B=(31,B2,…,Bn)的秩相等 9.下列能构成R2×2子空间的是().(2015年北京交通大学) (AV1={A|4=0.,A∈R2×2} (B)V={A|tr(4)=0,A∈R2×2 (C)V={A|A2=A,A∈R2×2 (D)V4={A|A=A或-A,A∈R2x2} 10.设a1,a2,…,an,B,是数域P上线性空间v中的向量,秩(a1,a2,…,an,B)=秩(a1,a2,…,an=r且 秩(a1,a2,…,an,)=r+1,则对任意k∈P,秩(a1,a2,…,an,B,7+kB=().(2015年北京交通大 学)

(A)α1Uα2, α3, α4Ç5L—; (B)α1ÿUα2, α3, α4Ç5L—; (C)α1Uα3, α4Ç5L—; (D)α4ÿUα2, α3Ç5L—. 6. ï˛|I : α1, α2, · · · , αs ådï˛|IIβ1, β2, · · · , βtÇ5L´, K( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)s < tû, ï˛|I7Ç5Ã'; (B)s < tû, ï˛|I7Ç5É'; (C)IÇ5Ã'û, 7ks < t; (D)IIÇ5Ã'û, 7ks < t. 7. V ènèÇ5òm, V1, V2¥V fòm, eV = V1 + V2, e¿ë(¥( ). (2017cÆÛí åÆ) (A)n = dimV1 + dimV2; (B)n ≤ dimV1 + dimV2; (C)V1 ∩ V2 = ∅; (D)V1 ∩ V2 6= ∅. 8. nëï˛α1, α2, · · · , αm(m < n)Ç5Ã', Knëï˛β1, β2, · · · , βmÇ5Ã'øá^á¥( ). (2015cÆœåÆ) (A)ï˛|α1, α2, · · · , αmådï˛|β1, β2, · · · , βmÇ5L´; (B)ï˛|β1, β2, · · · , βmådï˛|α1, α2, · · · , αmÇ5L´; (C)ï˛|α1, α2, · · · , αmÜï˛|β1, β2, · · · , βmd; (D)› A = (α1, α2, · · · , αm)Ü› B = (β1, β2, · · · , βm)ùÉ. 9. eU§R 2×2fòm¥( ). (2015 cÆœåÆ) (A)V1 = {A | |A| = 0, A ∈ R 2×2}; (B)V2 = {A | tr(A) = 0, A ∈ R 2×2}; (C)V3 = {A | A2 = A, A ∈ R 2×2}; (D)V4 = {A | A 0 = A½ − A, A ∈ R 2×2}. 10. α1, α2, · · · , αn, β, γ¥ÍçP˛Ç5òmV •ï˛, ù(α1, α2, · · · , αn, β) =ù(α1, α2, · · · , αn = rÖ ù(α1, α2, · · · , αn, γ) = r + 1, KÈ?øk ∈ P, ù(α1, α2, · · · , αn, β, γ + kβ =( ). (2015cÆœå Æ) 5 厦门大学《高等代数》

(D)无法确定 11.设矩阵A=(a1a2,a3,a4)经行初等变换变为矩阵B=(1,B2,B3,B4),且a1,a2,a3线性无关 性相关,则().(2016年北京交通大学) (A)4不能由,B2,B3线性表示 (B)B4可由1,B2,B3线性表示,但表示法不唯 (C)B4可由B1,B2,3线性表示,且表示法唯 (D)64能否由1,B2,B3线性表示不能确定 12.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性相关的是().(2010年北京科技大学 (A)a1+a2,a2+a3,a3+a1 (B)a1,a1+a2,a1+a2+a (C)a1+a2,a2+a3,a3-a1 (D)a1+a2,2a1+a3,3a3+a1 3.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性相关的是().(2011年北京科技大学) (A)a1+a2,a2+a3,a3+a1 (B)a1,a1+a2,a1+a2+a (C)a1-a2,a2-a3,a3-a1 (D)a1+a2,2a1+a 14.设a为n维线性空间v上线性变换,则() A.a可逆的充分必要条件是Ima=V B Im d+ ker df=t C. dim Im s+dim ker df=n D.Ims∩kera={0} 15.设为n维线性空间v上线性变换,W1,W2,Wn为V的1维子空间,且为a的不变子空间 如果V=W1+W2+…+Wn,则一定存在V中一个基,使得a在此基下矩阵为( A.对角矩阵;B.反对称矩阵;C.可逆矩阵;D.对称矩阵 6.设V为n维线性空间,a1,a2,…,an;B1,B2,…,Bn∈V且[a1;,a2,…,an]=B1,B2…,Bn]A其 中A为n阶方阵,下列结论正确的有()

(A)r; (B)r + 1; (C)r + 2; (D)Ã{(½. 11. › A = (α1, α2, α3, α4)²1–CÜCè› B = (β1, β2, β3, β4), Öα1, α2, α3Ç5Ã', α1, α2, α3, α4Ç 5É', K( ). (2016cÆœåÆ) (A)β4ÿUdβ1, β2, β3Ç5L´; (B)β4ådβ1, β2, β3Ç5L´, L´{ÿçò; (C)β4ådβ1, β2, β3Ç5L´, ÖL´{çò; (D)β4Uƒdβ1, β2, β3Ç5L´ÿU(½. 12. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|•Ç5É'¥( ). (2010cÆâEåÆ) (A)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1; (B)α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3; (C)α1 + α2, α2 + α3, α3 − α1; (D)α1 + α2, 2α1 + α3, 3α3 + α1. 13. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|•Ç5É'¥( ). (2011cÆâEåÆ) (A)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1; (B)α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3; (C)α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1; (D)α1 + α2, 2α1 + α3, 3α3 + α1. 14.  A è n ëÇ5òm V ˛Ç5CÜ, K£ ) A. A å_ø©7á^á¥Im A = V ; B. Im A + ker A = V ; C. dim Im A + dim ker A = n ; D. Im A ∩ ker A = {0} . 15.  A è n ëÇ5òm V ˛Ç5CÜ, W1, W2, · · · , Wn è V 1ëfòm, Öè A ÿCfòm, XJ V = W1 + W2 + · · · + Wn, Kò½3 V •òáƒ, ¶ A 3dƒe› è( ) A. È› ; B. áÈ°› ; C. å_› ; D. È°› . 16.  V è n ëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn; β1, β2, · · · , βn ∈ V, Ö [α1, α2, · · · , αn] = [β1, β2, · · · , βn] A Ÿ • A è n ê , e(ÿ(k ( ) 6 厦门大学《高等代数》

A.当a1,a2,…,an为v的基时,B1,B2,…,Bn为V的基 B.当B1,B2,…,Bn为V的基时,a1,a2,……,an为V的基; C.当B1,B2,…,Bn为V的基,且A可逆时,a1,a2,…,an为V的基; D.只有当a1,a2,…,an为V的基,且A可逆时,B1,B2,…,Bn为V的基 三计算题 1.向量组 a1=(1,1,-1,0,2),a2=(0,1,1,1,-1),a3=(-1,0,2,1,-3),a4=(1,-1,-3,-2,4) 求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2009年北京工业大学 2.向量组 a1=(1,-1,0,2),a2=(1,1,1,-1),a3=(1,3,2,-4),a4=(5,1,3,1) 求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2010年北京工业大学 3.向量组 a1=(0,1,-1,1),a2=(1,-1,0,-1),a3=(2 (7 (1)求此向量组的秩; (2)求出它的一个极大线性无关组 (3)在(2)的基础上,把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2011年北京工业大学) 4.在R4中设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),B1=(2,-1,0,1),B2=(1,-1,3,7).W=L(a1,a2)为a1,a2生 成的子空间,V=L(B1,B2)为1,B2生成的子空间.(2017年北京工业大学) (1)求W+V的维数与一组基; (2)求W∩v的维数与一组基 5.求以下向量组的秩 a1=(1,-1,2,1,0),a2=(2,-2,4,-2,0),a3=(3,0,6,-1,1),a4=(0,3,0,0,1) 再求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2011年北京交通大 学) 6.已知 7

A.  α1, α2, · · · , αn è V ƒû, β1, β2, · · · , βn è V ƒ; B.  β1, β2, · · · , βn è V ƒû , α1, α2, · · · , αn è V ƒ; C.  β1, β2, · · · , βn è V ƒ, Ö A å_û, α1, α2, · · · , αn è V ƒ; D. êk α1, α2, · · · , αn è V ƒ, Ö A å_û, β1, β2, · · · , βn è V ƒ. n.OéK 1. ï˛| α1 = (1, 1, −1, 0, 2)0 , α2 = (0, 1, 1, 1, −1)0 , α3 = (−1, 0, 2, 1, −3)0 , α4 = (1, −1, −3, −2, 4)0 ¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2009cÆÛíåÆ) 2. ï˛| α1 = (1, −1, 0, 2)0 , α2 = (1, 1, 1, −1)0 , α3 = (1, 3, 2, −4)0 , α4 = (5, 1, 3, 1)0 ¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2010cÆÛíåÆ) 3. ï˛| α1 = (0, 1, −1, 1)0 , α2 = (1, −1, 0, −1)0 , α3 = (2, −1, −1, −1)0 , α4 = (7, −4, −3, −4)0 (1)¶dï˛|ù; (2)¶—ßòá4åÇ5Ã'|; (3)3(2)ƒ:˛, rŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2011cÆÛíåÆ) 4. 3R4•α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7). W = L(α1, α2)èα1, α2) §fòm, V = L(β1, β2)èβ1, β2)§fòm. (2017cÆÛíåÆ) (1)¶W + V ëÍÜò|ƒ; (2)¶W ∩ V ëÍÜò|ƒ. 5. ¶±eï˛|ù: α1 = (1, −1, 2, 1, 0)0 , α2 = (2, −2, 4, −2, 0)0 , α3 = (3, 0, 6, −1, 1)0 , α4 = (0, 3, 0, 0, 1)0 2¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2011cÆœå Æ) 6. Æ α1 =   1 0 3   , α2 =   1 −1 a   , α3 =   2 a + 1 1   , β =   1 1 b + 2  . 7 厦门大学《高等代数》

(1)a,b为何值时,B不能被a1,a2,a3线性表出? (2)a,b为何值时,B可由a1,a2,a3线性表出且表示法不唯一;此时写出其一般表达式.(2012年北京交 通大学 7.已知a1=(1,0,2,3),a2=(1,1,3,5),a1=(1,-1,a+2,1),a4=(1,2,4,a+8)及B=(1,1,b+3,5) (1)a,b为何值时,B不能表示成a1,a2,a3,a4的线性组合? (2)a,b为何值时,B可由a1,a2,a3,a4唯一线性表示并写出该表示式?.(2010年北京科技大学) 8.设V=4,V1=L(a1,a2,a3),V=L(B1,B2).其中a1=(1,2,-1,-3,a2=(-1,-1,2,1),a3= (-1,-3,0,5),B1=(-1,0,4,-2),B2=(0,5,9,-14).求 (1)v的维数与一组基; (2)V2的维数与一组基 (3)V1+V2的维数与一组基; (4)v∩V的维数与一组基.(2012年北京科技大学) 9.已知a1,a2,a3和B1,B2,B3都是向量空间v的一组基,且设(1,B2,B3)=(a1,a2,a3)A. (1)已知A=100,求一个三级排列1,1213,使得1,02a3:a1,B2a3a,a2,Aa3也是V的一组 01 基. (2)证明:在任何矩阵下,都可以找到一个三级排列i1,i2,i3,使得B1,a2,a3;a1,B2,a3;a1,a2,B3也 是V的一组基.(2016年北京科技大学 (1,-1,1),a3=(2,3,-1),B1=(1,1,1),B2=(1,2,3),B3=(2,0,1),证明 a1,a2,a3及1,B2,B3均是三维行空间的基,并求出a1,a2,a3到B1,B2,B3的过渡矩阵.(2015年北京师范 大学 11.给定R4的两个子空间 V={(x1,x2,x3,x4)12x1-x2+4x3-3x4=0,x1+x3-x4=0} V2={(x1,x2,x3,x4)|3x1+x2 0,7x1+7 分别求ⅵ+V,V∩V2的一个基和维数.(2012年大连理工大学) 12.设向量a1=(-1,-2,-1,0),a2=(1,-1,-1,-1),B1=(-2,10,-1,B2=(-1,1,-3,-7),记a1,a2生 成的子空间为L(a1,a2),B1,B2生成的子空间为L(B1,B2),求这两个子空间的交L(a1,a2)∩L(B1,B2)的 维数和一组基(请给出必要的计算步骤)(2013年湖南大学) 13.设a1,a2,…,an是n维线性空间v的一组基,B1=a1,B2=a1+a2,…,Bn=a1+a2+…+an是V的 组基,又若a∈V在前一组基下的坐标为(mn,n-1,…,2,1)2,求a在后一组基下的坐标(2014年湖 南大学)

(1)a, bè¤äû, βÿUα1, α2, α3 Ç5L—? (2)a, bè¤äû, βådα1, α2, α3Ç5L—ÖL´{ÿçò; dû—ŸòÑLà™. (2012cÆ œåÆ) 7. Æα1 = (1, 0, 2, 3)0 , α2 = (1, 1, 3, 5)0 , α1 = (1, −1, a + 2, 1)0 , α4 = (1, 2, 4, a + 8)09β = (1, 1, b + 3, 5)0 . (1)a, bè¤äû, βÿUL´§α1, α2, α3, α4Ç5|‹? (2)a, bè¤äû, βådα1, α2, α3, α4çòÇ5L´ø—TL´™? . (2010cÆâEåÆ) 8. V = R4 , V1 = L(α1, α2, α3), V2 = L(β1, β2). Ÿ•α1 = (1, 2, −1, −3), α2 = (−1, −1, 2, 1), α3 = (−1, −3, 0, 5), β1 = (−1, 0, 4, −2), β2 = (0, 5, 9, −14). ¶ (1)V1ëÍÜò|ƒ; (2)V2ëÍÜò|ƒ; (3)V1 + V2ëÍÜò|ƒ; (4)V1 ∩ V2ëÍÜò|ƒ. (2012cÆâEåÆ) 9. Æα1, α2, α3⁄β1, β2, β3—¥ï˛òmV ò|ƒ, Ö(β1, β2, β3) = (α1, α2, α3)A. (1)ÆA =   0 1 1 1 0 0 0 1  , ¶òán?¸i1, i2, i3, ¶βi1, α2, α3; α1, βi2, α3; α1, α2, βi3 è¥V ò| ƒ. (2)y²: 3?¤› e, —å±Èòán?¸i1, i2, i3, ¶βi1, α2, α3; α1, βi2, α3; α1, α2, βi3 è ¥V ò|ƒ. (2016 cÆâEåÆ) 10. Æα1 = (−3, 1, −2), α2 = (1, −1, 1), α3 = (2, 3, −1), β1 = (1, 1, 1), β2 = (1, 2, 3), β3 = (2, 0, 1), y²: α1, α2, α39β1, β2, β3˛¥në1òmƒ, ø¶—α1, α2, α3β1, β2, β3Lfi› . (2015cÆìâ åÆ) 11. â½R 4¸áfòm, V1 = {(x1, x2, x3, x4) 0 |2x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = 0, x1 + x3 − x4 = 0} V2 = {(x1, x2, x3, x4) 0 |3x1 + x2 + x3 = 0, 7x1 + 7x3 − 3x4 = 0} ©O¶V1 + V2, V1 ∩ V2òáƒ⁄ëÍ. (2012cåÎnÛåÆ) 12. ï˛α1 = (−1, −2, −1, 0), α2 = (1, −1, −1, −1), β1 = (−2, 1, 0, −1), β2 = (−1, 1, −3, −7), Pα1, α2) §fòmèL(α1, α2), β1, β2)§fòmèL(β1, β2), ¶˘¸áfòmL(α1, α2) ∩ L(β1, β2) ëÍ⁄ò|ƒ.(ûâ—7áOé⁄½) (2013cHåÆ) 13. α1, α2, · · · , αn¥nëÇ5òmV ò|ƒ, β1 = α1, β2 = α1 +α2, · · · , βn = α1 +α2 +· · ·+αn ¥V  ò|ƒ, qeα ∈ V 3cò|ƒeãIè(n, n − 1, · · · , 2, 1)T , ¶α3￾ò|ƒeãI. (2014 c HåÆ) 8 厦门大学《高等代数》

4.设向量a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),B1=(2,-1,0,1),B2=(1,-1,37),求a1,a2生成的子空 间ⅴ与向量组B1,B2生成的子空间为W的交V∩w的基和维数(请给出必要的计算步骤)(2015年湖南 大学) a1=0),a2=(00);3=/11 00 10 是数域P上的线性空间V=P2x2的一组基 (1)求由基 00 00 到基a1,a2,a3,a4的过渡矩阵 (2)求B 34)在基aa2,a3,a4下的坐标(209湖南师范大学) 16.已知数域P上的矩阵 令S(4)={B∈P2xAB=0}.证明:S(4)是矩阵空间P2×3的一个子空间,并求(A)的维数和一组 基.(2011年湖南师范大学) 17.设R4中的向量组 1),a2=(0,1,1,2),a3=(1,2,2,3) 它们生成的子空间为V,向量组 B1=(1,-1,-1,-3),B2=(-1,1,1,1),B3=(3.-3.-3,-7), 它们生成的子空间为V.求子空间v+V和V∩V的基和维数.(2010年华东师范大学 18.假设空间Q(有理数域)内有 (x)=3,s(y)=z,a(2)=x+y, 求满足条件的变换a生成空间的维数(2017年华中科技大学)

14. ï˛α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7), ¶α1, α2)§fò mV Üï˛|β1, β2)§fòmèWV ∩ Wƒ⁄ëÍ.(ûâ—7áOé⁄½) (2015cH åÆ) 15.  α1 = 1 0 0 0 ! , α2 = 1 1 0 0 ! , α3 = 1 1 1 0 ! , α4 = 1 1 1 1 ! ¥ÍçP˛Ç5òmV = P 2×2ò|ƒ. (1)¶dƒ ε1 = 1 0 0 0 ! , ε2 = 0 1 0 0 ! , ε3 = 0 0 1 0 ! , ε4 = 0 0 0 1 ! ƒα1, α2, α3, α4Lfi› ; (2)¶β = 1 2 3 4 ! 3ƒα1, α2, α3, α4eãI. (2009cHìâåÆ) 16. ÆÍçP˛› A =   1 −1 1 −1 1 −1   . -S(A) = {B ∈ P 2×3 |AB = 0}. y²: S(A)¥› òmP 2×3òáfòm, ø¶S(A)ëÍ⁄ò| ƒ. (2011cHìâåÆ) 17. R 4•ï˛| α1 = (1, 0, 0, −1), α2 = (0, 1, 1, 2), α3 = (1, 2, 2, 3), ßÇ)§fòmèV1, ï˛| β1 = (1, −1, −1, −3), β2 = (−1, 1, 1, 1), β3 = (3. − 3, −3, −7), ßÇ)§fòmèV2. ¶fòmV1 + V2⁄V1 ∩ V2 ƒ⁄ëÍ. (2010cu¿ìâåÆ) 18. bòm Q (knÍç)Sk A (x) = y, A (y) = z, A (z) = x + y, ¶˜v^áCÜ A )§òmëÍ.(2017cu•âEåÆ) 9 厦门大学《高等代数》

19.(20分)设R表示实数域,V=M3(R)表示所有3×3实矩阵构成的向量空间.对给定的 A∈M3(R),定义V上的线性变换a:V→V为 a(B)=AB-BA,对任意的B∈M3(R) 设 000 010 002 求的特征值和相应的特征子空间;并求此时a的极小多项式(2010年华中师范大学) 22-2 20.已知3维列向量(2,0,1)是3级实对称矩阵A=25b的特征向量 26a (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵P使得P-1AP为对角矩阵,并给出这个对角矩阵.(2010年兰州大学) 21.设=(1,1,2)是实对称矩阵 223 的一个特征向量 (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.(2016年兰州大学) 设 线性方程组Ax=b有解但是不唯 (1)求a的值 (2)求正交矩阵T使得T-14T为对角矩阵.(2017年兰州大学) a11a12a13 23.(20分)设三维线性空间v上的线性变换a在基1,=2,3下的矩阵为A=a21a22a23 a31a32a33 (1)求a在基E3,E2,E1下的矩阵 (2)求在基1,k,E3下的矩阵,其中k∈P且k≠0 (3)求a在基1+E2,E2,E3下的矩阵.(2011年南京师范大学) 24.设V为数域P上的3维线性空间,已知V上的线性变换T在基E1,E2,E3下的矩阵为 01-2 00-1

19. ( 20 ©)  R L´¢Íç, V = M3(R) L´§k 3 × 3 ¢› §ï˛òm. Èâ½ A ∈ M3(R), ½¬ V ˛Ç5CÜ A : V → V è A (B) = AB − BA, È?øB ∈ M3(R)  A =   0 0 0 0 1 0 0 0 2   ¶ A Aä⁄ÉAAfòm; ø¶dû A 4ıë™.(2010cu•ìâåÆ) 20. Æ3 ëï˛ (2, 0, 1)T ¥3 ?¢È°› A =   2 2 −2 2 5 b −2 b a   Aï˛. (1) ¶ a, b ä; (2) ¶› P ¶ P −1AP èÈ› , øâ—˘áÈ› . (2010c=²åÆ) 21.  ξ = (1, 1, 2)T ¥¢È°› A =   a b 2 b 0 2 2 2 3   òáAï˛. (1) ¶ a, b ä. (2) ¶› T ¶ T −1AT èÈ› . (2016c=²åÆ) 22.  A =   1 1 a 1 a 1 a 1 1   , b = (1, 1, −2)T , Ç5êß| Ax = b k)¥ÿçò. (1) ¶ a ä; (2) ¶› T ¶ T −1AT èÈ› . (2017c=²åÆ) 23. (20 ©) nëÇ5òmV ˛Ç5CÜA 3ƒε1, ε2, ε3 e› èA =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   . (1) ¶ A 3ƒ ε3, ε2, ε1 e› ; (2) ¶ A 3ƒ ε1, kε2, ε3 e› , Ÿ• k ∈ P Ö k 6= 0 ; (3) ¶ A 3ƒ ε1 + ε2, ε2, ε3 e› . (2011cHÆìâåÆ) 24.  V èÍç P ˛3ëÇ5òm, Æ V ˛Ç5CÜ T 3ƒ ε1, ε2, ε3 e› è   1 0 −2 0 1 −2 0 0 −1   10 厦门大学《高等代数》