课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 特征值、特征多项式部分) 填空题 1.如果a=(1,1,2,0)是4阶方阵A的属于特征值2的一个特征向量,则它一定也是方阵43-242-3E的 属于特征值 的一个特征向量.(2009年北京工业大学) 2.已知3阶方阵A的特征值是方程x3=1的三个不同根,则4+El (2014年北京工业大学) 3.设矩阵A 的特征值为A1,A2,A3,A4,则入A23A4 (2016年北京工业大 4设矩阵4-21.34的特征值为入,A,则+为+为+ (2017年北 京工业大学) 5.设A是n阶矩阵,|A≠0,若A*是A的伴随矩阵.若A有特征值入,则(2A)-1必有一个特征值是 (2009年北京交通大学) 211 6.设向量a=(1,k17是矩阵A=121的逆矩阵A1的特征向量则常数k需要满足的条件是 (2009年北京交通大学 100 7.设A=0-11,则A的最小多项式为 (2009年北京交通大学) 1是矩阵A=5-33的特征向量,则a (2010年北京交通大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Aä!Aı뙋©) ò. WòK 1. XJα = (1, 1, 2, 0)0¥4 ê A·uAä2òáAï˛, Kßò½è¥ê A3 − 2A2 − 3E ·uAä òáAï˛. (2009cÆÛíåÆ) 2. Æ3 ê AAä¥êßx 3 = 1náÿ”ä, K|A + E| = . (2014cÆÛíåÆ) 3. › A = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 Aäèλ1, λ2, λ3, λ4, Kλ1λ2λ3λ4 = . (2016cÆÛíå Æ) 4. › A = 1 1 −1 −1 1 2 1 −1 −1 1 3 4 −1 −1 4 0 Aäèλ1, λ2, λ3, λ4, Kλ1 + λ2 + λ3 + λ4 = . (2017c ÆÛíåÆ) 5. A¥n › , |A| 6= 0, eA∗¥Aäë› . eAkAäλ, K(2A∗ ) −17kòáAä¥ . (2009cÆœåÆ) 6. ï˛α = (1, k, 1)T¥› A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 _› A−1Aï˛, K~ÍkIá˜v^ᥠ. (2009cÆœåÆ) 7. A = −1 0 0 0 −1 1 0 0 −1 , KAÅıë™è . (2009cÆœåÆ) 8. α = 1 1 −1 ¥› A = a −1 2 5 −3 3 −1 0 −2 Aï˛, Ka = . (2010cÆœåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
9.设R]3是次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间,R3的线性变换T满足:对任意f(x) a+a1x+a2x2∈Rr]3,Tf(x)=(a1+a2)+(ao+a2)x+(a0+a1+2a2)x2,则线性变换的特征值 为 (2010年北京交通大学 10.矩阵 01 0 的最小多项式为 (2010年北京交通大学) 11.设-23,-1是三阶方阵A的特征值,则A3-6A+11E= (E为单位矩阵)(2011年北京交通 大学) 2.设入,A2,3为三阶方阵A的全部特征值,且有相应的特征向量依次为(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1),则A 2013年北京交通大学 001 13.设A=x1y有三个线性无关的特征向量,则和y应满足的条件为 2013年北京交通 100 大学) 14.设价阶方阵A有特征值1,2,2,3,则A-1+3E (2017年北京交通大学 15.设A是元素都是1的n阶方阵,则A的最小多项式为 (2017年北京交通大学) 16.若n维线性空间v的线性变换σ有n个不同的特征值,则σ有个不变子空间.(2017年北京交通大 学 17.设3阶矩阵AB相似,矩阵A的特征值为1,2,3,则B (2010年北京科技大学) 18.设A=a4-3,且A有一特征值入=6,则a (2011年北京科技大学) 19.设是n维列向量,(u,u)=1,H+E-2u,则=1是H的重特征值.(2013年北京科技大学) 20.设矩阵A的特征多项式为f(A)=2-5A+6,则A可逆,A-1的特征多项式为 (2015年大连 理工大学
9. R[x]3¥gÍu3§k¢XÍıë™|§Ç5òm, R[x]3Ç5CÜT˜v: È?øf(x) = a0 + a1x + a2x 2 ∈ R[x]3, T f(x) = (a1 + a2) + (a0 + a2)x + (a0 + a1 + 2a2)x 2 , KÇ5CÜAä è . (2010cÆœåÆ) 10. › −1 1 −1 0 1 0 0 −1 Åıë™è . (2010cÆœåÆ) 11. −2, 3, −1¥n ê AAä, K|A3 − 6A + 11E| = .(E踆› ) (2011cÆœ åÆ) 12. λ1, λ2, λ3èn ê A ‹Aä, ÖkÉAAï˛ùgè(1, 1, 1)0 ,(0, 1, 1)0 ,(0, 0, 1)0 , KAn = . (2013cÆœåÆ) 13. A = 0 0 1 x 1 y 1 0 0 knáÇ5Ã'Aï˛, Kx⁄yA˜v^áè . (2013cÆœ åÆ) 14. 4 ê AkAä1, 2, 2, 3, K|A−1 + 3E| = , |A∗ | = . (2017cÆœåÆ) 15. A¥É—¥1n ê , KAÅıë™è . (2017cÆœåÆ) 16. enëÇ5òmV Ç5CÜσknáÿ”Aä, Kσk áÿCfòm. (2017cÆœå Æ) 17. 3 › A, BÉq, › AAäè1, 2, 3, K|B| = . (2010cÆâEåÆ) 18. A = 1 −1 1 a 4 −3 −3 −3 5 , ÖAkòAäλ = 6, Ka = . (2011cÆâEåÆ) 19. u¥nëï˛, (u, u) = 1, H + E − 2uu 0 , Kλ = 1¥H Aä. (2013cÆâEåÆ) 20. › AAıë™èf(λ) = λ 2 − 5λ + 6, KAå_, A−1Aıë™è . (2015cåÎ nÛåÆ) 2 厦门大学《高等代数》
21.已知4阶不可逆矩阵A的三个特征值是3,,那么行列式+2E (2014年湖南师范大 学) 22.已知2016阶方阵A的全部特征值A1=0,A2=1,A3=2,…,A2015=2014,A2016=2015,且P是2016阶 可逆矩阵,则E+P-1AP (2016年湖南师范大学) 选择题 如果n阶实矩阵A=-A,则其特征值的平方().(209年北京工业大学) (A)2=0 (B)2>0 (C)2≤0 (D)与0不可比较 2.A1,A2(A1≠A2)是实对称矩阵A的特征值,a1,a2,a3是属于A1的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是 属于入2的一个特征向量组,则().(2010年北京工业大学) (A)a1,a2,B2一定线性无关 (B)a1,a3,1定是正交向量组 (C)a1,B1,B2一定线性无关 (D)a1,B1,B2一定线性相关 3.如果n阶实矩阵A=rA(r≠0),则A的特征值及其共轭之间的关系是().(2010北京工业大学) (A)X=r入 A=rA (C)入=-rA (D)没有确定的关系 4.若a是n阶矩阵A的一个属于特征值e的特征向量,则().(2011年北京工业大学 (A)a仍是A2+4的一个特征向量 (B)对实数AAa仍是A2+A的一个特征向量 (C)+0-定是A2+A的一个特征值 (D)02+6不一定是A2+A的一个特征值 5.已知0,1是3阶实对称矩阵A的特征值,a是属于0的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是属于1的 个特征向量构成的正交向量组,则().(2011年北京工业大学) (A)a1,a2,B2一定线性相关 (B)a1,a3,B1一定是正交向量组 (C)a1,B1,B2一定线性无关 (D)a1,B1,B2一定是正交向量组 6.若0,1是实对称矩阵A的特征值,a1,a2,a3是属于0的一个线性无关的特征向量组,B1,B2是属于1的 由特征向量组构成的正交向量组,B表示a,B1,B2作为列向量形成的正交向量组,B=(a,B1),B2.则 ).(2012年北京工业大学
21. Æ4 ÿå_› AnáAä¥1 3 , 1 4 , 1 5 , @o1™|A + 2E| = . (2014c Hìâå Æ) 22. Æ2016 ê A ‹Aäλ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2, · · · , λ2015 = 2014, λ2016 = 2015, ÖP¥2016 å_› , K|E + P −1AP| = . (2016c HìâåÆ) . ¿JK 1. XJn ¢› A = −A 0 , KŸAäλ²ê( ). (2009cÆÛíåÆ) (A)λ 2 = 0 (B)λ 2 > 0 (C)λ 2 ≤ 0 (D)Ü0ÿå' 2. λ1, λ2(λ1 6= λ2)¥¢È°› AAä, α1, α2, α3 ¥·uλ1òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥ ·uλ2òáAï˛|, K( ). (2010cÆÛíåÆ) (A)α1, α2, β2ò½Ç5Ã' (B)α1, α3, β1ò½¥ï˛| (C)α1, β1, β2ò½Ç5Ã' (D)α1, β1, β2ò½Ç5É' 3. XJn ¢› A = rA0 (r 6= 0), KAAäλ9Ÿ›λÉm'X¥( ). (2010ÆÛíåÆ) (A)λ = rλ (B)λ = rλ (C)λ = −rλ (D)vk(½'X 4. eα¥n › Aòá·uAäθAï˛, K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)αE¥A2 + AòáAï˛ (B)È¢Íλ, λαE¥A2 + AòáAï˛ (C)θ 2 + θò½¥A2 + AòáAä (D)θ 2 + θÿò½¥A2 + AòáAä 5. Æ0, 1¥3 ¢È°› AAä, α ¥·u0òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥·u1 ò áAï˛§ï˛|, K( ). (2011cÆÛíåÆ) (A)α1, α2, β2ò½Ç5É' (B)α1, α3, β1ò½¥ï˛| (C)α1, β1, β2ò½Ç5Ã' (D)α1, β1, β2ò½¥ï˛| 6. e0, 1¥¢È°› AAä, α1, α2, α3 ¥·u0òáÇ5Ã'Aï˛|, β1, β2¥·u1, dAï˛|§ï˛|, BL´α, β1, β2 äèï˛/§ï˛|, B = (α, β1), β2. K( ). (2012cÆÛíåÆ) 3 厦门大学《高等代数》
(A)a,B1,B2一定线性相关 (B)a,B1,B2一定是正交向量组 (C)B一定正交矩阵 (D)BB一定是对角阵 7.若是实正交矩阵A的特征值,a是4的特征向量,则().(2012年北京工业大学) (A)入是1或 (B)任意给定实系数多项式f(x),f(A)总是f(A)的特征值 (C)a是A-1的特征向量 (D)前三个选项都不正确 8.已知3阶方阵A的特征值为0,2,-1,则行列式|42+A+E的值为().(2015年北京工业大学) (A)1 (C)7 (D)14 9.设,A2分别是方阵A的两个不同的特征值,a1,a2分别是它们对应的特征向量,则向量组a1,A(a1+ a2)线性无关的充分必要条件是()2015年北京工业大学) (B)入2≠0 (C)A1=0 10.下列说法正确的是().(2016年北京工业大学) (A)数域P上两线性空间同构的充要条件是它们的维数相等 (B)设矩阵A满足A2=E,则1与-1一定是A的特征值 (C)正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵 (D)任意对称矩阵的特征值都是实数 1.下列说法正确的有个.(2016年北京交通大学) (1)数域P上上m阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式之积 (2)两个矩阵有相同的最小多项式,则它们是相似矩阵; (3)m阶矩阵A的任一特征根都是最小多项式的根 (4)m阶矩阵A的最小多项式的根都是A的特征根 (B)2 12.设A是n阶矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量矩阵a是矩阵A的属于特征多项式λ的特征向量,那么在 下列矩阵中:(1)42;(2)P-1AP(3)A;(4)E-是A.a一定是其特征向量的矩阵共有个 北京交通大学)
(A)α, β1, β2ò½Ç5É' (B)α, β1, β2ò½¥ï˛| (C)Bò½› (D)B 0 Bò½¥È 7. eλ¥¢› AAä, α¥AAï˛, K( ). (2012cÆÛíåÆ) (A)λ¥1½-1 (B)?øâ½¢XÍıë™f(x), f(λ)o¥f(A)Aä (C)α¥A−1Aï˛ (D)cná¿ë—ÿ( 8. Æ3 ê AAäè0, 2, −1, K1™|A2 + A + E|äè( ). (2015cÆÛíåÆ) (A)1 (B)0 (C)7 (D)14 9. λ1, λ2©O¥ê A¸áÿ”Aä, α1, α2©O¥ßÇÈAAï˛, Kï˛|α1, A(α1 + α2)Ç5Ã'ø©7á^á¥( ). (2015 cÆÛíåÆ) (A)λ1 6= 0 (B)λ2 6= 0 (C)λ1 = 0 (D)λ2 = 0 10. e`{(¥( ). (2016cÆÛíåÆ) (A)ÍçP˛¸Ç5òm”øá^á¥ßÇëÍÉ (B)› A˜vA2 = E, K1Ü−1ò½¥AAä (C)CÜ3?øƒe› —¥› (D)?øÈ°› Aä—¥¢Í 11. e`{(k á. (2016 cÆœåÆ) (1)ÍçP˛˛n › AÉquÈ øá^á¥AÅı뙥P˛pÉògœ™É»; (2)¸á› kÉ”Åıë™, KßÇ¥Éq› ; (3)n › A?òAä—¥Åıë™ä; (4)n › AÅıë™ä—¥AAä. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 12. A¥n › , P¥n å_› , nëï˛› α¥› A·uAıë™λAï˛, @o3 e› •:(1)A2 ; (2)P −1AP; (3)AT ; (4)E − 1 2A. αò½¥ŸAï˛› k á. (2016c ÆœåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
(A)1 13.设n阶方阵(an)nxn的特征值为入(=1,2,…,n,则∑的值为().(2017年北京交通大学) (A)∑a1 (B)(∑a1)2 i=1j=1 三计算题 1.设V是全体次数不超过n的实系数多项式组成的线性空间.定义线性变换A:f(x)-+f(1-x),求A的 特征值和对应的特征子空间.(2016北京大学) b1-2,B 2 (1)若A有特征值4,1,-2,求a,b,c (2)设a=(1,k,1)是B-1的一个特征向量,求k.(2011年北京交通大学) 3.已知三阶实对称矩阵A有特征值0(二重和2.若a1=2a2 是A的属于特征值0的特征向 量 (1)求正交矩阵P,使得P-1AP为对角阵 (2)求矩阵A.(2012北京交通大学) 4.设V是有理数域Q上的三维空间,V的线性变换T在基a1,a2,a3下的矩阵为 1 602 1 求T的特征值和相应的特征向量;又问:A可否对角化?(2013年北京交通大学) 5.求三阶实对称矩阵A,使得A的特征值为1,1,且(,1,0)是A属于3的特征向量.(2015年北京交通大 6.设矩阵A 5b3.4=-1,A的伴随矩阵A有一个特征值λ,属于0的特征向量为a (-1,-1,1)2,a,b,c和入0的值.(2016北京交通大学)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 13. n ê (aij )n×nAäèλi(i = 1, 2, · · · , n), K Pn i=1 λ 2 i äè( ). (2017cÆœåÆ) (A)Pn i=1 a 2 ii (B)(Pn i=1 aii) 2 (C)Pn i=1 Pn j=1 aijaji (D)Pn i=1 a 2 ij n.OéK 1. V ¥ NgÍÿáLn¢XÍıë™|§Ç5òm. ½¬Ç5CÜA : f(x) −→ f(1−x), ¶A Aä⁄ÈAAfòm. (2016ÆåÆ) 2. A = a −2 0 b 1 −2 c −2 0 , B = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . (1)eAkAä4, 1, −2, ¶a, b, c. (2)α = (1, k, 1)0¥B−1òáAï˛, ¶k. (2011cÆœåÆ) 3. Æn ¢È°› AkAä0()⁄2. eα1 = 1 2 1 α2 = 2 1 2 ¥A·uAä0Aï ˛. (1)¶› P, ¶P −1APèÈ ; (2)¶› A. (2012ÆœåÆ) 4. V ¥knÍçQ˛nëòm, V Ç5CÜT3ƒα1, α2, α3e› è A = 5 6 −3 −1 0 1 1 2 −1 ¶TAä⁄ÉAAï˛; qØ: AåƒÈz? (2013cÆœåÆ) 5. ¶n ¢È°› A, ¶AAäè3, 1, 1, Ö(1, 1, 0)0¥A·u3Aï˛. (2015cÆœå Æ) 6. › A = a −1 c 5 b 3 1 − c 0 −a , |A| = −1, Aäë› A∗kòáAäλ0, ·uλ0Aï˛èα = (−1, −1, 1)T , a, b, c ⁄λ0ä. (2016ÆœåÆ) 5 厦门大学《高等代数》
7.设A为三阶矩阵,a1,a2,a3为线性无关的三维列向量,且 Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3 (1)求矩阵B,使A(a1a2a3)=(a1a2,a3)B; (2)求矩阵A的特征值; (3)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2017年北京交通大学 8.设P[3是次数不超过3的多项式全体连同0多项式构成的线性空间,f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3∈ P[]3,现有P[]3的线性变换/ (f(x)=(a0-2a1)+(-30+2a1)x+(2a2-3a3)x2+(-4a2+3a3)x 求的特征值及特征向量,并判定a能否对角化.(2013年北京科技大学) 9.设A是三阶矩阵,r(4)=2,其二重特征值A=A2=6,且属于A1=A2=6的线性无关的特征向量 有a1=(1,1,0),a2=(2,1,1)2,求矩阵A.(2009年北京师范大学) 010.0 001 A 100.0 计算A2,A1,…,An+1,An,并求出A在复数域C中的全部特征值.(2016年北京师范大学) 11.设四阶实矩阵 sss s1ss (1)求A的特征值及所有特征向量 (2)4的可逆的充要条件是什么?当s=-1时,A是否可逆?若A可逆,求A的逆矩阵A- (3)s为何值时,A是正定矩阵?.(2011年大连理工大学) 2.设A和B都是n阶方阵,且r(4)+r(B)<n,其中r(A)表示4的秩,证明:A和B至少有一个公共特征向 量.(2013年大连理工大学)
7. Aèn › , α1, α2, α3èÇ5Ã'nëï˛, Ö Aα1 = α1 + α2 + α3, Aα2 = 2α2 + α3, Aα3 = 2α2 + 3α3. (1)¶› B, ¶A(α1, α2, α3) = (α1, α2, α3)B; (2)¶› AAä; (3)¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2017cÆœåÆ) 8. P[x]3¥gÍÿáL3ıë™ NΔ0ı뙧Ç5òm, f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 ∈ P[x]3, ykP[x]3Ç5CÜA : A (f(x)) = (a0 − 2a1) + (−3a0 + 2a1)x + (2a2 − 3a3)x 2 + (−4a2 + 3a3)x 3 ¶A Aä9Aï˛, ø½A UƒÈz. (2013cÆâEåÆ) 9. A¥n › , r(A) = 2, ŸAäλ1 = λ2 = 6, Ö·uλ1 = λ2 = 6Ç5Ã'Aï˛ kα1 = (1, 1, 0)t , α2 = (2, 1, 1)t , ¶› A. (2009cÆìâåÆ) 10. - A = 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0 OéA2 , A3 , · · · , An−1 , An, ø¶—A3EÍçC• ‹Aä. (2016cÆìâåÆ) 11. o ¢› A = 1 s s s s 1 s s s s 1 s s s s 1 (1)¶AAä9§kAï˛; (2)Aå_øá^á¥üo? s = −1û, A¥ƒå_? eAå_, ¶A_› A−1 ; (3)sè¤äû, A¥½› ? . (2011cåÎnÛåÆ) 12. A⁄B—¥n ê , Ör(A) + r(B) < n, Ÿ•r(A) L´Aù, y²: A⁄Bñkòá˙Aï ˛. (2013cåÎnÛåÆ) 6 厦门大学《高等代数》
3.设矩阵 A 5 b 已知A的行列式A=-1,A的伴随矩阵A有一个特征值入,且A属于的一个特征向量是a=(-1,-1,1 试求ab,c和A0的值.(2015年湖南师范大学) 14.在数域P上的2×2矩阵空间P2×2中,B 定义线性变换a如下: (Xx)=XB-BX,X∈P2×2 试求 (1)的特征多项式 (2)a的属于特征值0的特征向量.(2016年湖南师范大学) 15.设是n维线性空间v上的秩为1的线性变换,团=-(其中∈为恒等变换),试求线性变换的最小 多项式.(2009年华东师范大学) 16.求一个3阶实对称矩阵A,满足:特征值为6,3,3,且6对应的特征向量为a1=(1,1,1).(2015年华东师 范大学) 7.举例说明4阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似.(2017年华东师范大学) 18.已知矩阵-2-3a的特征多项式有二重根,求a的值,并讨论是否可对角化.(2019年华东师范 大学) 19.设A=(a1,2…,a)为非零实1xm矩阵,求 (1)r(AA) (2)A'A的特殊值和特征向量.(2010年华南理工大学) 0.用表示元素全为1的n阶矩阵,n≥2,设 f(r) 是有理数域Q上的一元多项式,令A=f() (1)求的全部特征值和全部特征向量 7
13. › A = a −1 c 5 b c 1 − c 0 −a ÆA1™|A| = −1, Aäë› A∗kòáAäλ0, ÖA∗·uλ0òáAï˛¥α = (−1, −1, 1)0 , £¶a, b, c⁄λ0ä. (2015c HìâåÆ) 14. 3ÍçP˛2 × 2› òmP 2×2•, B = 1 2 0 2 ! , ½¬Ç5CÜA Xe: A (X) = XB − BX, ∀X ∈ P 2×2 £¶: (1)A Aıë™; (2)A ·uAä0Aï˛. (2016c HìâåÆ) 15. A ¥nëÇ5òmV ˛ùè1Ç5CÜ, B = A − ε(Ÿ•εèð CÜ), £¶Ç5CÜBÅ ıë™. (2009cu¿ìâåÆ) 16. ¶òá3 ¢È°› A, ˜v: Aäè6, 3, 3, Ö6ÈAAï˛èa1 = (1, 1, 1)T . (2015cu¿ì âåÆ) 17. fi~`²4 E› =¶kÉ”Aıë™⁄4ıë™èÿò½Éq. (2017cu¿ìâåÆ) 18. Æ› 0 1 −1 −2 −3 a 3 3 −4 Aıë™kä, ¶aä, ø?ÿ¥ƒåÈz. (2019cu¿ìâ åÆ) 19. A = (a1, a2, · · · , an)èö"¢1 × n› , ¶: (1)r(A 0 A); (2)A 0 AAœä⁄Aï˛. (2010cuHnÛåÆ) 20. ^JL´É è1n › , n ≥ 2, f(x) = a + bx ¥knÍçQ˛òıë™, -A = f(J), (1)¶J ‹Aä⁄ ‹Aï˛; 7 厦门大学《高等代数》
(2)求A的所有特征子空间 (3)A是否可对角化?如果可对角化,求出Q上一个可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵,并写出这个 对角矩阵.(2011年华南理工大学) A=111 111 求一个正交矩阵T使得T-1AT是对角阵(2013年四川大学) 22.设A是数域F上的特征值全为0的三阶方阵 (1)写出A的所有可能的 Jordan标准型 (2)设F上的多项式f(x)满足f(0)≠0.证明:f(4)可逆,且(f(4)1是A的多项式 (3)设g(x)=m1l-x5-x4+x3+x-3.求行列式de(g(A).(2017年四川大学) 23.设A是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换n≥3,且A在V的某个基下的矩阵为: 000 )06 010.00-12 D 000 000.100 000.010 (1)求A的特征多项式f(A) (2)f()在有理数域上是否可约?说明理由 (3)设W是V上的所有与A可交换的线性变换组成的集合,证明:W是V的子空间并求出它的维数 (4)求A的所有不变子空间的个数.(2019年四川大学) 24.设A是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换n≥3,且A在V的某个基下的矩阵为 000..006 100.006 010.00-12 00 000 000…100 000…010 (1)求A的特征多项式f(A) (2)f()在有理数域上是否可约?说明理由
(2)¶A§kAfòm; (3)A¥ƒåÈz? XJåÈz, ¶—Q˛òáå_› P, ¶P −1APèÈ› , ø—˘á È› . (2011cuHnÛåÆ) 21. A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ¶òá› T¶T −1AT ¥È . (2013coAåÆ) 22. A¥ÍçF˛Aä è0n ê . £1§—A§kåUJordanIO.. £2§F˛ıë™f(x) ˜vf(0) 6= 0 .y²µf(A) å_ßÖ(f(A))−1 ¥Aıë™. £3§g(x) = x 11 − x 5 − x 4 + x 3 + x − 3 .¶1™det(g(A)) . (2017coAåÆ) 23. A ¥EÍç˛nëÇ5òmV˛òáÇ5CÜn ≥ 3 ßÖA 3V,áƒe› èµ D = 0 0 0 · · · 0 0 6 1 0 0 · · · 0 0 6 0 1 0 · · · 0 0 −12 0 0 1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0 · · · 0 1 0 . £1§¶AAıë™f(λ) . £2§f(λ) 3knÍç˛¥ƒåº`²nd. £3§W¥V˛§kÜA åÜÇ5CÜ|§8‹ßy²µW¥Vfòmø¶—ßëÍ. £4§¶A §kÿCfòmáÍ. (2019coAåÆ) 24. A ¥EÍç˛nëÇ5òmV˛òáÇ5CÜn ≥ 3 ßÖA 3V,áƒe› èµ D = 0 0 0 · · · 0 0 6 1 0 0 · · · 0 0 6 0 1 0 · · · 0 0 −12 0 0 1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0 · · · 0 1 0 . £1§¶AAıë™f(λ) . £2§f(λ) 3knÍç˛¥ƒåº`²nd. 8 厦门大学《高等代数》
(3)设W是V上的所有与A可交换的线性变换组成的集合,证明:w是V的子空间并求出它的维数 (4)求A的所有不变子空间的个数.(2019年四川大学) 1000 设 1-1-10 1110/·求A的若当标准形.(2012年云南大学) 6.设a,b是两个复数,根据不同的a,b,求n阶上三角矩阵 b 的最小多项式和若当标准型.(2010年浙江大学) (1)当k为何值时,存在P使得P-1AP为对角矩阵?并求出这样的矩阵P和对角矩阵 (2)求k=2时矩阵A的 Jordan标准型.(2012年浙江大学) 0 E En o 请问A是否可以对角化并给出理由若A可对角化为C,给出可逆矩阵P,使得P-1AP=C.(2014年浙 江大学) 00a 00a2 0.已知实方阵A=10与B=010相似,求n(2m1年中科大) 100 100 tem设循环矩阵C为 Cn-2 (1)求C的全部特征值以及相应的特征向量 (2)求C.(2010年国科大) 30.已知n阶矩阵A 的特征多项式为(-1)2,试求A2011-20114.(2011年国科大) d
£3§W¥V˛§kÜA åÜÇ5CÜ|§8‹ßy²µW¥Vfòmø¶—ßëÍ. £4§¶A §kÿCfòmáÍ. (2019coAåÆ) 25. A = 1 0 0 0 −1 −1 −1 0 1 1 1 0 2 2 2 0 ߶AeIO/. (2012c HåÆ) 26. a, b ¥¸áEÍßä‚ÿ”a, b ߶n ˛n› A = a b · · · b b 0 a · · · b b . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · a b 0 0 · · · 0 a Åıë™⁄eIO.. (2010c˙ÙåÆ) 27. 3 2 −2 k −1 −k 4 2 −3 . £1§kè¤äûß3P¶P −1AP èÈ› ºø¶—˘› P⁄È› ; £2§¶k = 2 û› AJordanIO.. (2012c˙ÙåÆ) 28. A = 0 En En 0 ! . ûØA¥ƒå±Èzøâ—nd.eAåÈzèCßâ—å_› P߶P −1AP = C .(2014c˙ ÙåÆ) 29. Æ¢ê A = 0 0 a 1 1 0 1 0 0 ÜB = 0 0 a 2 0 1 0 1 0 0 Éq߶a. (2011c•âå) item ÃÇ› Cè c0 c1 · · · cn−1 cn−1 c0 · · · cn−2 . . . . . . . . . c1 c2 · · · c0 (1)¶C ‹Aä±9ÉAAï˛. (2)¶|C|. (2010cIâå) 30. Æn › A = a b c d! Aıë™è(λ − 1)2 ,£¶A2011 − 2011A .(2011cIâå) 9 厦门大学《高等代数》
31.已知n阶方阵 +1 +1 n+1 A ana1 an@2+ l 其中∑a=1,∑a2=n i=1 (1)求A的全部特征值 (2)求A的行列式和迹.(2012年国科大) 设 4-10 4-32 给定初值a=5,a1=7,a2=8,求xn的通项.(2017年国科大) 3.设A是n阶实对称矩阵,且 (1)证明r(A)≥n 2)证明A的特征值各不相同.(2017年国科大) 34.证明:8个满足A3=0的5阶复数矩阵中必有两个相似.(2018年国科大) 四证明题 1.三阶实矩阵A的特征多项式为x3-3x2+4x-2.证明:A不是对称阵也不是正交阵.(2016年北京大 学) 2.设V是全体次数不超过n的实系数多项式组成的线性空间.定义线性变换 A:f(x)→f(1-x) 求A的特征值和对应的特征子空间.(2016年北京大学) 3.证明n阶 Hermite矩阵A有n个实特征值(考虑重数).(2017年北京大学) 0a0 4.证明:实矩阵ba-aa(a≠0)有两个正的特征值,两个负的特征值.(201年北京工业大学)
31. Æn ê A = a 2 1 a1a2 + 1 · · · a1an + 1 a2a1 + 1 a 2 2 · · · a2an + 1 . . . . . . . . . ana1 ana2 + 1 · · · a 2 n , Ÿ• Pn i=1 ai = 1, Pn i=1 a 2 i = n . (1)¶A ‹Aä. (2)¶A1™⁄,. (2012cIâå) 32. x3n x3n + 1 x3n+2 = 3 −2 1 4 −1 0 4 −3 2 x3n−3 x3n − 2 x3n−1 . â½–äa0 = 5, a1 = 7, a2 = 8 ,¶xn œë. (2017cIâå) 33. A¥n ¢È°› ,Ö A = a1 b1 b1 a2 b2 b2 . . . . . . . . . . . . bn−1 bn−1 an , bj 6= 0. (1)y²r(A) ≥ n − 1 . (2)y²AAäàÿÉ”. (2017cIâå) 34. y²:8á˜vA3 = 0 5 EÍ› •7k¸áÉq. (2018cIâå) o.y²K 1. n ¢› AAıë™èx 3 − 3x 2 + 4x − 2. y²: Aÿ¥È° èÿ¥ . (2016cÆå Æ) 2. V ¥ NgÍÿáLn¢XÍıë™|§Ç5òm. ½¬Ç5CÜ A : f(x) → f(1 − x) ¶AAä⁄ÈAAfòm. (2016cÆåÆ) 3. y²n Hermite› Akná¢Aä(ƒÍ). (2017cÆåÆ) 4. y²: ¢› d a b 0 a 0 a 0 b a −d a 0 0 a 0 (a 6= 0)k¸áAä, ¸áKAä. (2010cÆÛíåÆ) 10 厦门大学《高等代数》