课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (多项式部分 一.填空题 1.两个多项式f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3,g(x)=2x3-5x2-4x+3的最大公因式(f(x),g(x) (2009年北京交通大学 2.多项式f(x)=3x4+5x3+x2+5x-2的有理根是(209年北京交通大学) 时,多项式f(x)=x3-3x2+tx-1有重根.(2010年北京交通大学) 4.多项式f(x)=x3-10x+5的实根个数为 (2010年北京交通大学) 5.设f(x)=2x2-3,g(x)=8x4-6x2+4x-7,则f(x)g(x)的所有系数之和为 (20年北京交 通大学) 6.设多项式f(x)被x-1,x-2,x-3除所得余数依次为4,8,16,则f(x)被(x-1)(x-2)(x-3)除所得的 余式为(2011年北京交通大学) 7.两个多项式f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-2x-1的最大公因式(f(x),9(x) (2012年北京交通大学) 8.多项式f(x)=3x3-6x2+15x-14的有理根为 (2012年北京交通大学 9.多项式x3+px+q有重根的条件是 .(2013年北京交通大学) 10.两个多项式f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1的最大公因式(f(x),g(x)= 2016年北京交通大学 +1x+101117 1.设几()=0+200,则()中的系数是 常数项等于 78 10x+8 北京科技大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (ı뙋©) ò. WòK 1. ¸áıë™f(x) = x 4−2x 3−4x 2+4x−3, g(x) = 2x 3−5x 2−4x+3Åå˙œ™(f(x), g(x)) = . (2009cÆœåÆ) 2. ıë™f(x) = 3x 4 + 5x 3 + x 2 + 5x − 2knä¥ . (2009cÆœåÆ) 3. t = û, ıë™f(x) = x 3 − 3x 2 + tx − 1kä. (2010cÆœåÆ) 4. ıë™f(x) = x 3 − 10x + 5¢äáÍè . (2010 cÆœåÆ) 5. f(x) = 2x 2 − 3, g(x) = 8x 4 − 6x 2 + 4x − 7,Kf 3 (x)g(x)§kXÍÉ⁄è . (2011cÆ œåÆ) 6. ıë™f(x)x − 1, x − 2, x − 3ÿ§{Íùgè4, 8, 16, Kf(x)(x − 1)(x − 2)(x − 3)ÿ§ {™è . (2011cÆœåÆ) 7. ¸áıë™f(x) = x 4+x 3−3x 2−4x−1, g(x) = x 3+x 2−2x−1 Åå˙œ™(f(x), g(x)) = . (2012cÆœåÆ) 8. ıë™f(x) = 3x 3 − 6x 2 + 15x − 14knäè . (2012cÆœåÆ) 9. ıë™x 3 + px + qkä^ᥠ. (2013cÆœåÆ) 10. ¸áıë™f(x) = x 4 +x 3 −3x 2 −4x−1, g(x) = x 3 +x 2 −x−1 Åå˙œ™(f(x), g(x)) = . (2016cÆœåÆ) 11. f(x) = x + 1 x + 10 111 7 0 x + 2 0 0 0 78 x − 7 6 0 99 10 x + 8 , Kf(x)•x 3XÍ¥ , ~Íë u . (2013c ÆâEåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
2.x4+x3+x2+x+1是否可约 (2016年北京科技大学) 13.如果(x-1)2|ax4+bx2+1,则 (2015年大连理工大学) 14.若x-1除多项式f(x)的余式是3,x-2除f(x)的余式是4,则x2-3x+2的余式是 湖南师范大学) 15.若(x-1)3除多项式f(x)的余式为x2-3x+4,则x-1除多项式f(x)的余式是 (2013年湖南 师范大学) 16.若x=r是f(x)的5重根,那么x=r是[f(x)2+Uf"(x)3的重根.(2014年湖南师范大学) 17.多项式30x3-31x2+10x-1的全部有理根是 (2016年湖南师范大学 18.设n级方阵A的最小多项式为f(x)并且f0)≠0,则矩阵|A-40的最小多项式为 19.设p是素数,f(x)=mP+(p+1)x2+p-1,g(x)=x2+p,则f(x)与g(x)的最大公因式(f(x),g(x) (2011年南京大学) 0.设实系数多项式f(x)=x3+px+q有一个虚根4+3i,则f(x)的其余两个根是 011 南京大学 21.设f(x)=x6-10x25+6x4-310x3-580x2-20x-110,则f(12)= (201年南京大学) 2.设f(x)=x4-6x2-tx-3,则当t=_时,f(x)与f(x)的最大公因式是二次多项式.(2011年 南京大学) x+13254108 3.设f(x)= 0x-200 则f(x)中x3的系数为(2011年南京大学) 072x+34 5x+4 24.多项式f(x)=2x3-3x2+1的全部有理根为 (2011年南京大学 25.设n是正整数,多项式x2n-1在实数域上的标准分解式是(2011年南京大学) 26.设4级数字矩阵A的最小多项式为(+1)3,则A的特征多项式为(2011年南京大学) f(x),g(x)为F上多项式,且在复数域上无公共根,则f(x),f(x)+g(x)在F上的首项系数为1的 最大公因式为 (2009年上海大学) 8.多项式f(x)=x3-2x-4的有理根是(2011年上海大学) 29.四维线性空间V上线性变换a的最小多项式是x(x-1),值域维数是2,则存在v上的一组基,使 得a在此组基下矩阵是对角阵A (2011年上海大学)
12. x 4 + x 3 + x 2 + x + 1¥ƒå . (2016 cÆâEåÆ) 13. XJ(x − 1)2 | ax4 + bx2 + 1, Ka = , b = . (2015cåÎnÛåÆ) 14. ex − 1ÿıë™f(x){™¥3, x − 2ÿf(x){™¥4, Kx 2 − 3x + 2 {™¥ . (2012c HìâåÆ) 15. e(x − 1)3ÿıë™f(x){™èx 2 − 3x + 4, Kx − 1ÿıë™f(x) {™¥ . (2013c H ìâåÆ) 16. ex = r¥f(x)5ä, @ox = r¥[f 0 (x)]2 + [f 00 (x)]3 ä. (2014 c HìâåÆ) 17. ıë™30x 3 − 31x 2 + 10x − 1 ‹knä¥ . (2016c HìâåÆ) 18. n ?ê A Åıë™è f(x) øÖ f(0) 6= 0, K› A −A 0 A −A 0 0 0 A Åıë™è . 19. p ¥ÉÍ, f(x) = x p + (p+ 1)x 2 +p−1, g(x) = x 2 +p, K f(x) Ü g(x) Åå˙œ™ (f(x), g(x)) = . (2011 cHÆåÆ) 20. ¢XÍıë™ f(x) = x 3 + px + q kòáJä 4 + 3i, K f(x) Ÿ{¸áä¥ . (2011c HÆåÆ) 21. f(x) = x 6 − 10x 5 + 6x 4 − 310x 3 − 580x 2 − 20x − 1110, K f(12) = . (2011cHÆåÆ) 22. f(x) = x 4 − 6x 2 − tx − 3, K t = û, f(x) Ü f 0 (x) Åå˙œ™¥gıë™. (2011c HÆåÆ) 23. f(x) = x + 1 32 54 108 0 x − 2 0 0 0 72 x + 3 4 0 98 5 x + 4 , K f(x) • x 3 XÍè . (2011cHÆåÆ) 24. ıë™ f(x) = 2x 3 − 3x 2 + 1 ‹knäè . (2011 cHÆåÆ) 25. n ¥Í, ıë™ x 2n − 1 3¢Íç˛IO©)™¥ . (2011cHÆåÆ) 26. 4?Íi› A Åıë™è (λ + 1)3 , K A Aıë™è . (2011cHÆåÆ) 27. f(x), g(x) è F ˛ıë™, Ö3EÍç˛Ã˙ä, K f(x), f(x) + g(x) 3 F ˛ƒëXÍè1 Åå˙œ™è . (2009c˛°åÆ) 28. ıë™ f(x) = x 3 − 2x − 4 knä¥ . (2011c˛°åÆ) 29. oëÇ5òm V ˛Ç5CÜ A Åı뙥 x(x − 1), äçëÍ¥ 2, K3 V ˛ò|ƒ, ¶ A 3d|ƒe› ¥È A = . (2011 c˛°åÆ) 2 厦门大学《高等代数》
0.多项式f(x)=x3-2x-4与g(x)=x3+x2-2的最大公因式是 (2012年上海大学 31.使f(x)=x3-32+tx-1有三重根的t的值是:(2014年上海大学) 32.多项式f(x)=x3-2x-4的有理根是(2015年上海大学) 33.x3+ax+1在有理数域上有有理根,求a 2016年上海大学) 二.选择题 1.设f(x),9(x),h(x)∈P],若(f(x),g(x)=1,(f(x),h(x)=1,则下列叙述正确的有个2015年 北京交通大学) (a)(f(x),9(x)+h(x)=1 (b)(f2(x),g(x)h(x))=1 (c)(f(x),(9(x),h(x))=1 d)(f(x)g(x),h2(x)=1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.设A是4阶矩阵,且A的行列式A|=0,则A中().(199年) (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合 3.设f(x)为有理系数多项式,且没有有理根,下列结论正确的有( A.f(x)在有理系数域上不可约 B.如果f(x)次数小于等于3,则f(x)在有理系数域上不可约; C.f(x)在复数域上不可约 D.不能确定f(x)在有理系数域上是否可约 三计算题 1.求两个多项式f(x)=2x4-5x3+6x2-5x+2,g(x)=3x3-8x2+7x-2的最大公因式.(2014年北 京交通大学 2.设a1(1≤i≤n)是n个非负整数,试求多项式∑x被x2+x+1整除的充要条件.(2009年北京科技大 i=1 学)
30. ıë™ f(x) = x 3 − 2x − 4 Ü g(x) = x 3 + x 2 − 2 Åå˙œ™¥: . (2012c˛°åÆ) 31. ¶ f(x) = x 3 − 3 2 + tx − 1 knä t ä¥: . (2014c˛°åÆ) 32. ıë™ f(x) = x 3 − 2x − 4 knä¥ . (2015 c˛°åÆ) 33. x 3 + ax + 1 3knÍç˛kknä, ¶ a = . (2016c˛°åÆ) . ¿JK 1. f(x), g(x), h(x) ∈ P[x]. e(f(x), g(x)) = 1, (f(x), h(x)) = 1, KeQ„(k á. (2015c ÆœåÆ) (a) (f(x), g(x) + h(x)) = 1 (b) (f 2 (x), g(x)h(x)) = 1 (c) (f(x),(g(x), h(x))) = 1 (d) (f(x)g(x), h2 (x)) = 1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2. A¥4 › , ÖA1™|A| = 0, KA•( ). (1989c) (A) 7kòÉ è0 (B) 7k¸ÉÈA§'~ (C)7kï˛¥Ÿ{ï˛Ç5|‹ (D)?òï˛¥Ÿ{ï˛Ç5|‹ 3. f(x) èknXÍıë™, Övkknä, e(ÿ(k£ ) A. f(x) 3knXÍç˛ÿå; B.XJ f(x) gÍu u 3, K f(x) 3knXÍç˛ÿå; C. f(x) 3EÍç˛ÿå; D.ÿU(½ f(x) 3knXÍç˛¥ƒå. n.OéK 1. ¶¸áıë™f(x) = 2x 4 − 5x 3 + 6x 2 − 5x + 2, g(x) = 3x 3 − 8x 2 + 7x − 2 Åå˙œ™. (2014c ÆœåÆ) 2. ai(1 ≤ i ≤ n)¥náöKÍ, £¶ıë™ Pn i=1 x aix 2 + x + 1ÿøá^á. (2009 cÆâEå Æ) 3 厦门大学《高等代数》
3.求以三次方程x3+x+1=0的三个根的平方为根的三次方程.(2011年北京科技大学) 4.判断f(x)=x5-3x4+5x3-7x2+6x-2有无重因式,若有,请求出f(x)的所有重因式并指出其重数 (2012年北京科技大学) 5.已知f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1,求(f(x),9(x)=.(2016年北京科技大学) 6.数域上的多项式f(x)不可约,证明:f(x)在复数域没有重根.(2014年北京师范大学) 7.已知f(x)=anx1+an-1x-1+…+a0,x=是f(x)的一个根,证明:u|ao,an(2015年北京师 范大学) 8.设f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0的三个根为x1,x2,x3,且x≠0(=1,2,3),求以,,为根的多 项式.(2016年北京师范大学) 9.设多项式f(x)=x28+1+x2+1+a,讨论f(x)的实根个数.其中s,t均为正整数.(2009年大连理工大学) 10.a,b却何值时,x-1是多项式f(x)=(x2+ax+3)(x2-b)的重因式.(2013年大连理工大学) 11.求多项式x3+px+q有重根的条件,并求出重根及其重数.(2018年大连理工大学) 2.已知多项式f(x)满足f(3)=0,f(4)=1.求f(x)除以(x-3)x-4)的余式.(2011年湖南大学) 13.设f(x)=x6-2x5-5x2+11-2.(1)试求f(x)=0的有理根;、、(2)存在有理数域Q上把f(x)分解成 不可约多项式的乘积(2015年湖南大学) 14.构造一个次数最低的首系数为1的有理系数多项式,使得1+√2,3-i都是它的根.(2017年湖南大学) 15.在实数域上分解因式:x°+27.(2009年湖南师范大学) 16.当a,b满足什么条件的时,多项式f(x)=x3+3ax+2b有重根?(2012年湖南师范大学 17.设f(x)=x3+(a+1)x2+4x+2b,g(x)=x3+ax2+2b.且(f(x),g(x)是一个二次多项式,求a,b的值 (2013年湖南师范大学) 18.设a≠0.且f(x)满足(x-a)|f(x),证明:(xn-a)|f(x).(2013年湖南师范大学 19.设多项式f(x)=6x4-13x3+13x2-2.(1)求出f(x)的全体有理根;(2)在复数域上将f(x)分解为不可 约多项式的乘积.(2014年湖南师范大学) 20.设x1,x2,x3分别是多项式f(x)=x3+5x2-2x-7的根,令sk=+2+x,(k=1,2,3,4),试 求s1,s2,S3,54.(2009年华东师范大学) 21.求所有满足条件(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)的非零实系数多项式f(x)(2011年华东师范大学)
3. ¶±ngêßx 3 + x + 1 = 0náä²êèängêß. (2011cÆâEåÆ) 4. ‰f(x) = x 5 − 3x 4 + 5x 3 − 7x 2 + 6x − 2kÃœ™, ek, û¶—f(x)§kœ™øç—ŸÍ. (2012cÆâEåÆ) 5. Æf(x) = x 4 + x 3 − 3x 2 − 4x − 1, g(x) = x 3 + x 2 − x − 1, ¶(f(x), g(x)) =. (2016cÆâEåÆ) 6. ÍçF˛ıë™f(x)ÿå, y²: f(x) 3EÍçvkä. (2014 cÆìâåÆ) 7. Æf(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a0, x = u v¥f(x) òáä, y²: u | a0, v | an. (2015cÆì âåÆ) 8. f(x) = a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0náäèx1, x2, x3, Öxi 6= 0(i = 1, 2, 3), ¶± 1 x1 , 1 x2 , 1 x3 èäı ë™. (2016cÆìâåÆ) 9. ıë™f(x) = x 2s+1 +x 2t+1 +a, ?ÿf(x)¢äáÍ. Ÿ•s, t˛èÍ. (2009cåÎnÛåÆ) 10. a, b%¤äû, x − 1¥ıë™f(x) = (x 2 + ax + 3)(x 2 − b)œ™. (2013 cåÎnÛåÆ) 11. ¶ıë™x 3 + px + qkä^á, ø¶—ä9ŸÍ. (2018cåÎnÛåÆ) 12. Æıë™f(x)˜vf(3) = 0, f(4) = 1. ¶f(x)ÿ±(x − 3)(x − 4){™. (2011 c HåÆ) 13. f(x) = x 6 − 2x 5 − 5x 2 + 11x − 2. (1)£¶f(x) = 0knä; !!(2)3knÍçQ˛rf(x)©)§ ÿåı뙶». (2015c HåÆ) 14. EòágÍÅ$ƒXÍè1knXÍıë™, ¶1 + √ 2, 3 − i—¥ßä. (2017c HåÆ) 15. 3¢Í粩)œ™: x 6 + 27. (2009c HìâåÆ) 16. a, b˜vüo^áû, ıë™f(x) = x 3 + 3ax + 2bkä? (2012 c HìâåÆ) 17. f(x) = x 3 + (a + 1)x 2 + 4x + 2b, g(x) = x 3 + ax2 + 2b. Ö(f(x), g(x))¥òágıë™, ¶a, bä. (2013c HìâåÆ) 18. a 6= 0, Öf(x)˜v(x − a) | f(x n), y²: (x n − a n) | f(x n). (2013c HìâåÆ) 19. ıë™f(x) = 6x 4 − 13x 3 + 13x 2 − 2. (1)¶—f(x) Nknä; (2) 3EÍç˛Úf(x)©)èÿå ı뙶». (2014c HìâåÆ) 20. x1, x2, x3©O¥ıë™f(x) = x 3 + 5x 2 − 2x − 7ä, -sk = x k 1 + x k 2 + x k 3 ,(k = 1, 2, 3, 4), £ ¶s1, s2, s3, s4. (2009cu¿ìâåÆ) 21. ¶§k˜v^á(x − 1)f(x + 1) = (x + 2)f(x)ö"¢XÍıë™f(x). (2011cu¿ìâåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
22.设多项式f(x)=x4-x3+2x2-x+1,9(x)=x3-2x2+2x-1,求f(x),9(x)的首一最大公因式(f(x),g(x) 以及多项式u(x),v(x),使得(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),(2013年华东师范大学) 23.求次数最低的多项式f(x),使得f(1)=1,f(-1)=1,f(2)=2,f(-2)=-8.(2013年华东师范大学) 24.设多项式f(x)=x5+2x4-7x3-8x-2,9(x)=2x4-2x3+5x2-2x+3,求(f(x),g(x)以及多项 式u(x),v(x),使得(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).(2015年华南理工大学) 25.求多项式f(x)=x3+1与g(x)=x4+3x+2的首一最大公因式d(x),并求多项式u(x)与多项 式v(x)使得f(x)u(x)+g(x)u(ax)=d(x).(2015年华中师范大学) 26.求多项式 0162015 除以多项式g(x)=(x-1)2(x+1)的余式(2016年华中师范大学) 7.求t值使f(x)=x3+tx2+3x+1有重根,并求出重根及其重数.(2010年南京大学) 28.写出多项式∫(x)=x4+1在复数域、实数域及有理数域上的标准分解式,并说明理由.(2011年南京 大学) 29.(15分)设整系数多项式f(x)=x4+ax2+bx-3,记(f(x),g(x)为f(x)和g(x)的首项系数为1的 最大公因式,f(x)为f()的导数.若1x为二次多项式,求a2+b2的值.、(201年南京师范 大学) 30.设V是由数域F上x的次数小于n的全体多项式,再添上零多项式构成的线性空间,定义V上的 线性变换s,使(f(x)=xf'(x)-f(x),其中f(x)为f(x)的导数 (1)求a的核。-1(0)与值域aV (2)证明线性空间v是x-1(0)与aV的直和.(2010年南京师范大学) 31.求一个次数最低的实系数多项式,使其被x2+1除余式为x+1,被x3+x2+1除余式为x2-1 (2014年南京师范大学) 32.(15分)已知多项式f(x)=x3+2x2-2,g(x)=x2+x-1,a,B,为f(x)的根,求一个数系数多项式h(x)使 其以g(a),g(B),g()为根.(2015年南京师范大学) 010 001 33(5分)设A=000B=000是否存在3阶复矩阵x,以及多项式f(),9()∈c 000 000 使得A=f(X),B=g(X)?并说明理由.其中f(x,g(x)均是多项式.(2019年南开大学 34.求多项式f(x)=x3-6x2+15x-14的全部复根.(2010年上海交通大学)
22. ıë™f(x) = x 4−x 3+2x 2−x+1, g(x) = x 3−2x 2+2x−1, ¶f(x), g(x)ƒòÅå˙œ™(f(x), g(x) ±9ıë™u(x), v(x), ¶(f(x), g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (2013cu¿ìâåÆ) 23. ¶gÍÅ$ıë™f(x), ¶f(1) = 1, f(−1) = 1, f(2) = 2, f(−2) = −8. (2013 cu¿ìâåÆ) 24. ıë™f(x) = x 5 + 2x 4 − 7x 3 − 8x − 2, g(x) = 2x 4 − 2x 3 + 5x 2 − 2x + 3, ¶(f(x), g(x) ±9ıë ™u(x), v(x), ¶(f(x), g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (2015cuHnÛåÆ) 25. ¶ıë™ f(x) = x 3 + 1 Ü g(x) = x 4 + 3x + 2 ƒòÅå˙œ™ d(x) ,ø¶ıë™ u(x) Üıë ™ v(x) ¶ f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x) . (2015cu•ìâåÆ) 26. ¶ıë™ f(x) = x 2016 + x 2015 + x 2014 ÿ±ıë™ g(x) = (x − 1)2 (x + 1) {™. (2016cu•ìâåÆ) 27. ¶ t ä¶ f(x) = x 3 + tx2 + 3x + 1 kä, ø¶—ä9ŸÍ. (2010 cHÆåÆ) 28. —ıë™ f(x) = x 4 + 1 3EÍç!¢Íç9knÍç˛IO©)™, ø`²nd. (2011cHÆ åÆ) 29. (15 ©) XÍıë™f(x) = x 4 + ax2 + bx − 3, P(f(x), g(x)) èf(x) ⁄g(x) ƒëXÍè1 Åå˙œ™ßf 0 (x) è f(x) Í. e f(x) (f(x),f0(x)) ègıë™, ¶ a 2 + b 2 ä. (2010cHÆìâ åÆ) 30. V ¥dÍç F ˛ x gÍu n Nıë™, 2V˛"ı뙧Ç5òm, ½¬ V ˛ Ç5CÜ A , ¶ A (f(x)) = xf0 (x) − f(x), Ÿ• f 0 (x) è f(x) Í. (1) ¶ A ÿ A −1 (0) Üäç A V ; (2) y²Ç5òm V ¥ A −1 (0) Ü A V Ü⁄. (2010cHÆìâåÆ) 31. ¶òágÍÅ$¢XÍıë™, ¶Ÿ x 2 + 1 ÿ{™è x + 1, x 3 + x 2 + 1 ÿ{™è x 2 − 1 . (2014cHÆìâåÆ) 32. (15 ©) Æıë™f(x) = x 3+2x 2−2, g(x) = x 2+x−1, α, β, γ èf(x) ä, ¶òáÍXÍıë™h(x) ¶ Ÿ± g(α), g(β), g(γ) èä. (2015cHÆìâåÆ) 33. (15 ©) A = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , B = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , ¥ƒ33 E› X, ±9ıë™f(x), g(x) ∈ C[x] ¶ A = f(X), B = g(X)? ø`²nd. Ÿ• f(x), g(x) ˛¥ıë™. (2019 cHmåÆ) 34. ¶ıë™ f(x) = x 3 − 6x 2 + 15x − 14 ‹Eä. (2010c˛°œåÆ) 5 厦门大学《高等代数》
5.判断多项式x4+3x3+6x2+6x+4在Q上是否可约,并说明理由.(2011年上海交通大学 36.用初等对称多项式表示出n元对称多项式∑x2.(2011年上海交通大学) 37.设Fn{]是数域F上次数<n的全体多项式构成的线性空间.Fn{]上线性变换D将每个多项式 f(x)映到其导数f(x) (1)求D的特征多项式和最小多项式 (2)找出Fn[x的一组基,使D在这组基下的矩阵是若当标准形 (3)设是Fl上的单位变换,A=1+∑贫.求证A是F上的可逆变换并求出A的逆 (2015年上海交通大学) 38.设f(x),g(x)是实系数多项式,且 (x2+2)f(x)-(x3+1)g(x)=1 (1)求f(x),9(x)的最大公因式(f(x),g(x) (2)f(x),g(x)都是非零的,而且对于任意实系数多项式h(x)都存在实系数多项式p(x),q(x)使得 h(a)=p(a)f(r)+q(a)g(a) A=21 (1)求A的特征多项式 (2)求A的特征根及重数; (3)若f(x)=(x2-1)(x+1x-5)+2,计算A的多项式f(A4).(2011年首都师范大学) 40.求出次数最低的首项系数为1的实系数多项式f(x)使得f(0)=7,f(1)=14,f(2)=35,f(3)=76 (2013年首都师范大学 41.求一个3次多项式f(x),使得f(x)除以x2+1的余式是3x+4,除以x2+x+1的余式是3x+5 (2014年首都师范大学 设矩阵 /a000 1a00 01a0 001a
35. ‰ıë™ x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 6x + 4 3 Q ˛¥ƒå, ø`²nd. (2011c˛°œåÆ) 36. ^– È°ıë™L´— n È°ıë™ Pn i=1 x 2 i . (2011c˛°œåÆ) 37. Fn[x] ¥Íç F ˛gÍ < n Nı뙧Ç5òm. Fn[x] ˛Ç5CÜ D Úzáıë™ f(x) NŸÍ f 0 (x) . (1) ¶ D Aıë™⁄Åıë™; (2) È— Fn[x] ò|ƒ, ¶ D 3˘|ƒe› ¥eIO/; (3) I ¥ Fn[x] ˛¸†CÜ, A = I + nP−1 k=1 Dk k! . ¶y A ¥ Fn[x] ˛å_CÜ,ø¶— A _. (2015c˛°œåÆ) 38. f(x), g(x) ¥¢XÍıë™, Ö x 2 + 2 f(x) − x 3 + 1 g(x) = 1 ¶: (1) ¶ f(x), g(x) Åå˙œ™ (f(x), g(x)) . (2) f(x), g(x) —¥ö", ÖÈu?ø¢XÍıë™ h(x) —3¢XÍıë™ p(x), q(x) ¶ h(x) = p(x)f(x) + q(x)g(x). 39. A = 1 2 2 2 1 2 2 2 1 (1) ¶ A Aıë™; (2) ¶ A Aä9Í; (3) e f(x) = x 2 − 1 (x + 1)(x − 5) + 2, Oé A ıë™ f(A) . (2011cƒ—ìâåÆ) 40. ¶—gÍÅ$ƒëXÍè1¢XÍıë™ f(x) ¶ f(0) = 7, f(1) = 14, f(2) = 35, f(3) = 76 . (2013cƒ—ìâåÆ) 41. ¶òá3gıë™ f(x), ¶ f(x) ÿ± x 2 + 1 {™¥ 3x + 4, ÿ± x 2 + x + 1 {™¥ 3x + 5 . (2014cƒ—ìâåÆ) 42. › T = a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a 6 厦门大学《高等代数》
而多项式 f(a)=a0+a1+a2C 求f(T).(2016年首都师范大学 43.求有理系数一次多项式f(x),g(x),使得 x+1=(x2+x+1)f(x)+(x2-x+1)g(x (2017年首都师范大学) 44.叙述代数基本定理.(2013年四川大学) 45.写出实数域上的所有不可约多项式,并说明理由.(2013年四川大学) 46.设W是数域F上的n元三次齐次多项式和零多项式组成的线性空间求dmW并写出它的一组基.(2016年 四川大学) 47.设F是数域,F[d]是F上的一元多项式组成的集合,m是正整数设a∈F,记 V={f(x)∈F叫lo(f(x)≤n,f(a)=0}U{0 求dmV并写出它的一组基,这里,O(f(x)表示多项式f(x)的次数.(2016年四川大学) 48.讨论多项式 f(x)=x2+1 在实数域,复数域,有理数域上的因式分解.(2011年湘潭大学) 9.设多项式 f(x)=6x4+3bx3+4ax2-10x-1 与 g(x)=2x4+5x3+ax2-bx+2 其中a,b为整数试讨论a,b为何值时,f(x)与g(x)有公共有理根,并求出相应的有理根.(2012年湘 潭大学) 令两组数1,A2 ,bn,如果λ,A2,…,An两两不同,则存在多项式 p(a)=a0+a1r +an-1-1 使得p(A)=b,i=1,2,…,n.(2014年湘潭大学) 51.令两个n阶矩阵A与B,且A有n个互不相同的特征值,如果AB=BA,则存在次数最多为n-1次的 多项式p(x)使得p(4)=B、(2014年湘潭大学) 7
ıë™ f(x) = a0 + a1x + a2x 2 ¶ f(T) . (2016cƒ—ìâåÆ) 43. ¶knXÍògıë™ f(x), g(x), ¶ x + 1 = x 2 + x + 1 f(x) + x 2 − x + 1 g(x). (2017cƒ—ìâåÆ) 44. Q„ì̓ ½n. (2013coAåÆ) 45. —¢Í粧kÿåıë™ßø`²nd. (2013coAåÆ) 46. W¥ÍçF˛nng‡gıë™⁄"ıë™|§Ç5òm.¶dimW ø—ßò|ƒ. (2016c oAåÆ) 47. F¥ÍçßF[x] ¥F˛òıë™|§8‹ßn¥Í.a ∈ F ßP V = {f(x) ∈ F[x]|∂(f(x)) ≤ n, f(a) = 0} [ {0}. ¶dimV ø—ßò|ƒß˘pß∂(f(x)) L´ıë™f(x) gÍ. (2016coAåÆ) 48. ?ÿıë™ f(x) = x 4 + 1 3¢ÍçßEÍçßknÍç˛œ™©). (2011câ åÆ) 49. ıë™ f(x) = 6x 4 + 3bx3 + 4ax2 − 10x − 1 Ü g(x) = 2x 4 + 5x 3 + ax2 − bx + 2, Ÿ•aßbèÍ.£?ÿaßbè¤äûßf(x) Üg(x) k˙knäßø¶—ÉAknä. (2012câ åÆ) 50. -¸|Íλ1, λ2, · · · , λn Üb1, b2, · · · , bn ßXJλ1, λ2, · · · , λn ¸¸ÿ”ßK3ıë™ p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 ¶p(λi) = bi , i = 1, 2, · · · , n .(2014câ åÆ) 51. -¸án › AÜBßÖAknápÿÉ”AäßXJAB = BA ßK3gÍÅıèn − 1 g ıë™p(x) ¶p(A) = B .(2014câ åÆ) 7 厦门大学《高等代数》
2.如果(f(x),g(x)=1,求(f(x)9(x),f(x)+g(x)、2011年云南大学) 53.判断多项式x°+6x3-6x-2在有理数域上是否可约.(2012年云南大学) 54.设多项式f(x)=mn+an(n>1,a≠0)满足x+叫lf(x)求n满足的条件.(2013年云南大学 55.设复系数多项式f(x)没有重因式,如果f(x)f(x),则f(x)有n重根,其中n=O(f(x)).(2015年云南 大学) 56.求f(x)除以ax-b的余式.(2016年云南大学)item已知(x-1)2|(ax4+bx2+1),求a,b,(2016年云 南大学 57.设多项式f1(x),…,(x)的最大公因式等于1,A∈PnXn,X∈Pm1.求证:如果对于1≤i≤k,总 成立f(4)X=0,则X=0.(2010年浙江大学) 58.解下列方程组: r1+x2+x3+ 6 r+n2+3+x=10 1+2+x3+x2=18 r1+x2+x34+x4=34 (2011年浙江大学) 59.设k是整数,a是x4+4kx+1=0的一个根,问 Qa]: =a0+ana+a2a+agai E Q1 是否为数域?如果是,请给予证明如果不是,请说明理由.(2016年浙江大学) 60.在Pz]中,已知多项式 f1(x)=x-1,f2(x)=x2-1,f(x)=x3-1,g1(x)=x2-x,g2(x)=x3-x2 记f1(x),f2(x),f3(x)张成的空间为V,g1(x),g2(x)张成的空间为v2,求V1+V以及V∩v2的基和维 数.(2017年浙江大学) 61.求满足f(-1)=0,f(1)=4,f(2)=3,f3)=16的次数最小的多项式f(x).(2012年中科大) 62.证明多项式f(x)=1+,++…+没有重根(2012年国科大) 63.证明若实系数多项式f(x)对所有的实数x均有f(x)≥0,则f(x)可以写成两个实系数多项式的平方 和g(x)2+|h(x)2.(2017年国科大) 64.设a=(a1,a2,…,an)为一个n维(n≥1)非零实向量,f(x)=|En-aa',g(x)=xk-b,其中En 为n阶单位矩阵k为一个正整数,b=aa,求(f(x),g(x).(2012年中南大学)
52. XJ(f(x), g(x)) = 1 ߶(f(x)g(x), f(x) + g(x)) .(2011c HåÆ) 53. ‰ıë™x 6 + 6x 3 − 6x − 2 3knÍç˛¥ƒå. (2012c HåÆ) 54. ıë™f(x) = x n + a n(n > 1, a 6= 0) ˜vx + a|f(x) .¶n˜v^á. (2013c HåÆ) 55. EXÍıë™f(x) vkœ™ßXJf 0 (x)|f(x) ßKf(x) knäߟ•n = ∂(f(x)) .(2015c H åÆ) 56. ¶f(x) ÿ±ax − b {™. (2016c HåÆ) item Æ(x − 1)2 |(ax4 + bx2 + 1) ߶a, b .(2016c HåÆ) 57. ıë™f1(x), · · · , fk(x) Åå˙œ™ u1ßA ∈ P n×n, X ∈ P n×1 .¶yµXJÈu1 ≤ i ≤ k ßo §·fi(A)X = 0 ßKX = 0 .(2010c˙ÙåÆ) 58. )eêß|µ x1 + x2 + x3 + x4 = 6 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 10 x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 + x 3 4 = 18 x 4 1 + x 4 2 + x 4 3 + x 4 4 = 34 (2011c˙ÙåÆ) 59. k¥Íßα ¥x 4 + 4kx + 1 = 0 òáäßØ Q[α] := {a0 + a1α + a2α 2 + a3α 3 |ai ∈ Q} ¥ƒèÍçºXJ¥ßûâÉy².XJÿ¥ßû`²nd. (2016c˙ÙåÆ) 60. 3P[x] •ßÆıë™ f1(x) = x − 1, f2(x) = x 2 − 1, f3(x) = x 3 − 1, g1(x) = x 2 − x, g2(x) = x 3 − x 2 . Pf1(x), f2(x), f3(x) ‹§òmèV1, g1(x), g2(x) ‹§òmèV2 ߶V1 + V2 ±9V1 ∩ V2 ƒ⁄ë Í. (2017c˙ÙåÆ) 61. ¶˜vf(−1) = 0, f(1) = 4, f(2) = 3, f3) = 16 gÍÅıë™f(x) .(2012c•âå) 62. y²:ıë™f(x) = 1 + x 1! + x 2 2! + · · · + x n n! vkä. (2012cIâå) 63. y²:e¢XÍıë™f(x) ȧk¢Íx˛kf(x) ≥ 0 ,Kf(x) 屧¸á¢XÍı뙲ê ⁄|g(x)| 2 + |h(x)| 2 . (2017cIâå) 64. a = (a1, a2, · · · , an) 0 èòánë(n ≥ 1) ö"¢ï˛,f(x) = |xEn − aa0 |, g(x) = x k − b k ,Ÿ•En èn ¸†› ,kèòáÍ,b = a 0a ,¶(f(x), g(x)). (2012c•HåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
65.设多项式 f(x)=2x4+(2+1)x3+(t+1)x2+4(1+)x+2u+3 与 g(x)=x3+tx2+2 至少有两个公共根求t和u的值.(2016年中南大学) 66.写出以xx2为首项的项数最少的3元齐次对称多项式f(x1,x2,x3),并表示为基本对称多项式的多项 式.(2018年中南大学) 67.设f(x)=x3,9(x)=(1-x) (1)求a(x),v(x)使得 (f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)9(x) (2)设r1(x)=x+2,r2(x)=1求一多项式h(x)使下列同余方程成立: h(x)≡1(x)( modf(x),h(x)≡r2(x)(modg(x) (2013年中山大学) 四证明题 设多项式f(x)的所有复根都是实数,证明:如果a是f(x)的导数f(x)的重根,则a也是f(x)的重根 (2009年北京大学) 2.整系数多项式f(x)=∑akx(n≥2010)若存在素数满足: (b)p|a(=0,1,2,…,2008) (c)p21 证明f(x)必有次数不低于2009的不可约整系数因式.(2010年北京大学) 3.已知a=2013+2013c是有理多项式的一个根证明B=2013+2013e也是其中一个复根(2013 年北京大学 4.(1)试证明:给一个K上的多项式f(x),一定能找到一个不超过(k+1)次的多项式Sf(x),使得对每个正 整数n,都有Sf(n)=∑f() (2)构造一个多项式g(x)满足对每个正整数n都有g(m)=02+12+…+(n-1)2.(2018年北京大学) 5.设t1,t2,…,tn+1是区间0,1中n+1个不同的点,函数p(t)满足p(t1),y(t2),……,y(tn+1)不全为零,问是 否可以找到唯一的一个n次多项式f(t)=a0+a1t+a2+…+ant使得f(t)=y(t1)(i=1,2,…,n+1) (2009年北京交通大学
65. ıë™ f(x) = 2x 4 + (2t + 1)x 3 + (t + 1)x 2 + 4(1 + u)x + 2u + 3 Ü g(x) = x 3 + tx2 + 2u ñk¸á˙ä,¶t⁄uä. (2016c•HåÆ) 66. —±x 3 1x2 èƒëëÍÅ3‡gÈ°ıë™f(x1, x2, x3) ,øL´èƒ È°ıë™ıë ™. (2018c•HåÆ) 67. f(x) = x 3 , g(x) = (1 − x) 2 . (1)¶u(x), v(x) ¶ (f(x), g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (2)r1(x) = x + 2, r2(x) = 1 .¶òıë™h(x) ¶e”{êߧ·: h(x) ≡ r1(x)(modf(x)), h(x) ≡ r2(x)(modg(x)). (2013c•ÏåÆ) o.y²K 1. ıë™f(x)§kEä—¥¢Í, y²: XJa¥f(x)Íf 0 (x) ä, Kaè¥f(x)ä. (2009 cÆåÆ) 2. XÍıë™f(x) = Pn k=0 akx k (n ≥ 2010). e3ÉÍp˜v: (a) p - an; (b) p | ai(i = 0, 1, 2, · · · , 2008); (c) p 2 - a0 y²f(x)7kgÍÿ$u2009ÿåXÍœ™. (2010cÆåÆ) 3. Æα = 2013+2013 1 106¥knıë™òáä. y²β = 2013+2013 1 106 e 2πi 53 襟•òáEä. (2013 cÆåÆ) 4. (1)£y²: âòáK˛ıë™f(x), ò½UÈòáÿáL(k + 1)gıë™Sf (x), ¶Èzá Ín, —kSf (n) = nP−1 j=0 f(j). (2)Eòáıë™g(x)˜vÈzáÍn—kg(n) = 02 + 12 + · · · + (n − 1)2 . (2018cÆåÆ) 5. t1, t2, · · · , tn+1¥´m[0, 1]•n+1áÿ”:, ºÍϕ(t)˜vϕ(t1), ϕ(t2), · · · , ϕ(tn+1) ÿ è", Ø¥ ƒå±Èçòòángıë™f(t) = a0+a1t+a2t 2+· · ·+ant n¶f(ti) = ϕ(ti)(i = 1, 2, · · · , n+1). (2009cÆœåÆ) 9 厦门大学《高等代数》
6.设a1,a2,…,an是互异整数,求证:f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1在有理数域上不可约.(2017 年北京大学) 7.若整系数多项式p(x)与f(x)有一个公共根,且p(x)为不可约多项式,那么p(x)|f(x).(2010年北京科技 大学) 8.设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a是一个整系数多项式,证明:如果an+an-1+…+a1+a是 奇数,则∫(x)既不能被(x-1)整除,也不能被(x-1)整除.(2014年北京科技大学) 9.f(x)是Z上的不可约多项式,证明:f(x)在C上无重因式.(2019年北京师范大学) 10.实系数多项式f(x)=x4-6x32+ax2+bx+2有4个实根,证明:至少有一个根小于1.(2009年大连理 工大学) 11.证明:f(x)|f(x)的充要条件是f(x)可以表示成f(x)=k(x-a).(2009年大连理工大学) 12.设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(a≠0)是数域P上的n次多项式 (1)若f(x)有n个根x1,x2,…,xn求以,,…,2为根的n次多项式 (2)若f()可约,证明:多项式(2)=a0+a1xn-1+…+an-1x+an在P上也可约(2011年大连理 工大学) 13.证明:多项式f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1在有理数域上不可约.(2018年大连理工大学) 14.设d(x)为f(x)和g(x)的公因式,证明:(1)d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式的充要条件是d(x)=u(x)f(x)+ v(r)g(ar); (2)若h(x)是任一首项为1的多项式,则(f(x)h(x),g(x)h(x)=(f(x),9(x)h(x).(2009年湖南大学) 15.设f(x)=1+量x2+hx+…+kyx2(k≥1.证明f(x)不存在三重根(2010年湖南大学) 6.设f(x),g(x),h(x),k(x)是数域P上的多项式,且有 (x2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0(x2+1)k(x)+(x-1)f(x)+(x-2)g(x)=0 证明:(x2+1)是f(x)和g(x)的公因式(2012年湖南大学) 17.设f(x)=anx+an-1xmn-1+…+a1x+a是一个整系数多项式,如果存在一个素数p,使得 (1)不整除an; (2)整除an-1,…,a1,a0; (3)p2不整除a 证明:多项式f(x)在有理数域上不可约.(2013年湖南大学) 18.证明:f(x)=1-x2+-+…+(-1)mamx2m没有二重根.(2014年湖南大学)
6. a1, a2, · · · , an¥p…Í, ¶y: f(x) = (x − a1)(x − a2)· · ·(x − an) − 13knÍç˛ÿå. (2017 cÆåÆ) 7. eXÍıë™p(x)Üf(x)kòá˙ä, Öp(x)èÿåıë™, @op(x) | f(x). (2010cÆâE åÆ) 8. f(x) = anx n +an−1x n−1 +· · ·+a1x+a0¥òáXÍıë™, y²: XJan +an−1 +· · ·+a1 +a0¥ ¤Í, Kf(x)QÿU(x − 1)ÿ, èÿU(x − 1)ÿ. (2014cÆâEåÆ) 9. f(x)¥Z˛ÿåıë™, y²: f(x)3C ˛Ãœ™. (2019cÆìâåÆ) 10. ¢XÍıë™f(x) = x 4 − 6x 3 + ax2 + bx + 2k4á¢ä, y²: ñkòáäu1. (2009cåÎn ÛåÆ) 11. y²: f 0 (x) | f(x)øá^á¥f(x)å±L´§f(x) = k(x − a) n. (2009cåÎnÛåÆ) 12. f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0(a0 6= 0)¥ÍçP ˛ngıë™. (1)ef(x)knáäx1, x2, · · · , xn, ¶± 1 x1 , 1 x2 , · · · , 1 xnèängıë™. (2)ef(x)å, y²: ıë™g(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an 3P˛èå. (2011cåÎn ÛåÆ) 13. y²: ıë™f(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 13knÍç˛ÿå. (2018cåÎnÛåÆ) 14. d(x)èf(x)⁄g(x)˙œ™, y²: (1)d(x)èf(x)⁄g(x)òáÅå˙œ™øá^á¥d(x) = u(x)f(x)+ v(x)g(x); (2)eh(x)¥?òƒëè1ıë™, K(f(x)h(x), g(x)h(x)) = (f(x), g(x))h(x). (2009 c HåÆ) 15. f(x) = 1 + 1 2!x 2 + 1 4!x 4 + · · · + 1 (2k)!x 2k (k ≥ 1). y²f(x)ÿ3nä. (2010c HåÆ) 16. f(x), g(x), h(x), k(x)¥ÍçP˛ıë™, Ök (x 2 + 1)h(x) + (x + 1)f(x) + (x + 2)g(x) = 0 (x 2 + 1)k(x) + (x − 1)f(x) + (x − 2)g(x) = 0 y²: (x 2 + 1)¥f(x)⁄g(x)˙œ™. (2012c HåÆ) 17. f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0¥òáXÍıë™, XJ3òáÉÍp, ¶: (1)pÿÿan; (2)pÿan−1, · · · , a1, a0; (3)p 2ÿÿa0. y²: ıë™f(x)3knÍç˛ÿå. (2013c HåÆ) 18. y²: f(x) = 1 − 1 2!x 2 + 1 4!x 4 − 1 6!x 6 + · · · + (−1)m 1 (2m)!x 2m vkä. (2014c HåÆ) 10 厦门大学《高等代数》
