厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）线性方程组

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(二)试题 (线性方程组部分) 选择题 1.设4矩阵A=(a1)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a3为矩阵A的列向量组,A·为A的伴 随矩阵,则A·x=0的通解为().(2020年) (A)x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k,k2,k3为任意常数 (B)x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (C)x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (D)x=k1a2+k2a3+k2a4,其中k1,k2,k3为任意常数 2.设A=12a,b=d若集合?={1,2},则线性方程组Ax=b6有无穷多解的充分必要条件 为().(2015年) (A)adn, d g (B)ag!,d∈Ω (C)a∈!.,dg9 (D)a∈9,d∈ 3.设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵,』*是A的伴随矩阵,若(1,0,1,0)7是方程组Ax=0的一个基础解系, 则Ax=0的基础解系可为().(2011年) (B)a1,a2 (C)a1a2,a3 (D)a2,a3,a4 填空题 设方程1a1x2=1有无穷多个解,则a=().(2001年) 2.已知方程组23a+2|x2=3|无解,则a=().(200年 a 三.计算题

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£§£K £Ç5êß|‹©§ ò. ¿JK 1. 4› A = (aij )ÿå_, a12ìÍ{f™A12 6= 0, α1, α2, α3, α3è› Aï˛|, A∗èAä ë› , KA∗x = 0œ)è( ). (2020c) (A) x = k1α1 + k2α2 + k3α3, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (B) x = k1α1 + k2α2 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (C) x = k1α1 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (D) x = k1α2 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í 2. A =   1 1 1 1 2 a 1 4 a 2  , b =   1 d d 2  . e8‹Ω = {1, 2}, KÇ5êß|Ax = bkðı)ø©7á^á è( ). (2015c) (A) a 6∈ Ω, d 6∈ Ω (B) a 6∈ Ω, d ∈ Ω (C) a ∈ Ω, d 6∈ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω 3. A = (α1, α2, α3, α4)¥4› , A∗¥Aäë› , e(1, 0, 1, 0)T¥êß|Ax = 0òáƒ:)X, KA∗x = 0ƒ:)Xåè( ). (2011c) (A) α1, α3 (B) α1, α2 (C) α1, α2, α3 (D) α2, α3, α4 . WòK 1. êß   a 1 1 1 a 1 1 1 a     x1 x2 x3  =   1 1 −2   kðıá),Ka = ( ). (2001c) 2. Æêß|   1 2 1 2 3 a + 2 1 a −2     x1 x2 x3  =   1 3 0   Ã), Ka = ( ). (2000c) n. OéK 1

1.设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4)=2; (2)若β=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年) 2.设矩阵A 且方程组Ax=B无解 a+11a+1 求a的值; (2)求方程组ATAx=ATB的通解.(2016年) 3.设A 01a0 001a a001 0 (2)已知线性方程组AX=B有无穷多解,求a,并求AX=β的通解.(2012年) 4.设向量组a1=(1,0,1)2,a2=(0,1,1),a3=(1,3,5),不能由向量组1=(1,1,1),B2=(1,2,3)r,B3= (3,4,a)2线性表示 (1)求a的值; (2)将B1,B2,B3用a1,a2,a3线性表示.(2011年) 5.设A=0x-10,b=(a1,1).已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解 11入 (1)求入,a (2)求方程组Ax=b的通解.(2010年) 设A (1)求满足A2=51,A23=51的所有向量{2,53; (2)对(1)中的任一向量2,3,证明:51,2,3线性无关.(2009年) 7.设n元线性方程组Ax=b,其中矩阵A 其中A为n阶方阵,x=( T

1. 3› A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2. › A =   1 1 1 − a 1 0 a a + 1 1 a + 1  , β =   0 1 2a − 2  , Öêß|Ax = βÃ). (1) ¶aä; (2) ¶êß|AT Ax = AT βœ). (2016c) 3. A =   1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1   , β =   1 −1 0 0   . (1) ¶|A|; (2) ÆÇ5êß|AX = βkðı), ¶a, ø¶AX = βœ). (2012c) 4. ï˛|α1 = (1, 0, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (1, 3, 5)T , ÿUdï˛|β1 = (1, 1, 1)T , β2 = (1, 2, 3)T , β3 = (3, 4, a) TÇ5L´. (1)¶aä; (2)Úβ1, β2, β3^α1, α2, α3Ç5L´. (2011c) 5. A =   λ 1 1 0 λ − 1 0 1 1 λ  , b = (a, 1, 1)T . ÆÇ5êß|Ax = b3¸áÿ”). (1)¶λ, a; (2)¶êß|Ax = bœ). (2010c) 6. A =   1 −1 −1 −1 1 1 0 −4 −2  , ξ1 = (−1, 1, −2)T . (1)¶˜vAξ2 = ξ1, A2 ξ3 = ξ1§kï˛ξ2, ξ3; (2)È(1)•?òï˛ξ2, ξ3, y²: ξ1, ξ2, ξ3Ç5Ã'. (2009c) 7. nÇ5êß|Ax = b, Ÿ•› A =   2a 1 · · · 0 0 a 2 2a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 2a 1 0 0 · · · a 2 2a   , Ÿ•Aènê , x = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (1, 0, · · · , 0)T . 2

(1)证明行列式=(n+1)a (2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.(2008年) 0 8.设线性方程组{x1+22+ax3=0与方程n1+2m2+3=a-1有公共解,求的值及所有公共 +4x2+a2x3=0 解.(2007年 9.已知非齐次线性方程组{4x1+32+5x3-x4=-1有3个线性无关的解 3 (证明方程组系数矩阵A的秩r(4) (I)求a,b的值及方程组的通解.(2006年) 0.已知阶矩阵A的第一行是(ab,anb,c不全为零,矩阵B=246(k为常数,且AB=0,求线性 方程组Ax=0的通解.(2005年) (1+a)x 0 11.设有齐次线性方程组 x1+(2+a)x2+2x3+2r4=0 3r1+3x2+(3+a)x3+3r4=0 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(2004年) 12.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.(2003年) 3.已知4阶方阵A=(a1,a2,a3,a4),a1,a2,a3,a4均为4维列向量,其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3 如果B=a1+a2+a3+a4,求线性方程组Ax=B的通解.(2002年) 14.已知a1,a2,a3,a4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若B1=a1+to2,B2=a2+to3,B3=a3+ ta4,B4=a4+ta1,讨论实数满足什么关系时,B1,B2,B3,B1也是AX=0的一个基础解系.(2001年) 15.设a 0A=aB,B=Ba,其中是的转置,求解方程2B2A2x A4x+B4x+y.(2000年)

(1) y²1™|A| = (n + 1)a n; (2) aè¤äû, Têß|kçò), ø¶x1¶ (3) aè¤äû, Têß|kðı), ø¶œ). (2008c) 8. Ç5êß|    x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 Üêßx1 + 2x2 + x3 = a − 1k˙
), ¶aä9§k˙
). (2007c) 9. Æö‡gÇ5êß|    x1 + x2 + x3 + x4 = −1 4x1 + 3x2 + 5x3 − x4 = −1 ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1 k3áÇ5Ã'). (I)y²êß|XÍ› Aùr(A) = 2; (II)¶a, bä9êß|œ). (2006c) 10. Æ3› A1ò1¥(a, b, c), a, b, cÿè", › B =   1 2 3 2 4 6 3 6 k   (kè~Í), ÖAB = 0, ¶Ç5 êß|Ax = 0œ). (2005c) 11. k‡gÇ5êß|    (1 + a)x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + (2 + a)x2 + 2x3 + 2x4 = 0 3x1 + 3x2 + (3 + a)x3 + 3x4 = 0 4x1 + 4x2 + 4x3 + (4 + a)x4 = 0 £Øα¤äû, Têß|kö"), ø¶—Ÿœ). (2004c) 12. Ʋ°˛n^ÿ”ÜÇêß©Oè: l1 : ax + 2by + 3c = 0, l2 : bx + 2cy + 3a = 0, l3 : cx + 2ay + 3b = 0. £y˘n^ÜÇuò:ø©7á^áèa + b + c = 0. (2003c) 13. Æ4ê A = (α1, α2, α3, α4), α1, α2, α3, α4˛è4ëï˛, Ÿ•α2, α3, α4Ç5Ã', α1 = 2α2−α3. XJβ = α1 + α2 + α3 + α4, ¶Ç5êß|Ax = βœ). (2002c) 14. Æα1, α2, α3, α4¥Ç5êß|AX = 0òáƒ:)X, eβ1 = α1 + tα2, β2 = α2 + tα3, β3 = α3 + tα4, β4 = α4 + tα1, ?ÿ¢Ít˜vüo'Xû, β1, β2, β3, β4è¥AX = 0òáƒ:)X. (2001c) 15. α =   1 2 1  , β =   1 1 2 0  , γ =   0 0 8  ,A = αβ0 , B = β 0 α, Ÿ•β 0¥β=ò, ¶)êß2B2A2x = A4x + B4x + γ. (2000c) 3

16.设方程组 a11x1+a12x2+…+a12n2n=0 (1){a21x1+a2x2+-…+a22x2n=0 an1T1+an2T2+.+an2nI2n=0 的一个基础解系为a1=(b1,b2,…,b2an),a2=(1,b2…,b2n),an=(hn1,bn2,…,bn2n),写出 方程组 b1191+b1232+ 2n/ 2n=0 (2){by+b2+…+ bny+bn2y+…+ 的通解,并说明理由.(1998年) 17.问取何值时,方程组{Ax1-n2+x3=2无解,有唯一解或无穷多解?当有无穷多解时,写出方 程组的通解.(1997年 (林增强林秋林程潘红林鹭整理)

16. êß| (1)    a11x1 + a12x2 + · · · + a12nx2n = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a22nx2n = 0 an1x1 + an2x2 + · · · + an2nx2n = 0 òáƒ:)Xèα1 = (b11, b12, · · · , b12n) 0 , α2 = (b21, b22, · · · , b22n) 0 , αn = (bn1, bn2, · · · , bn2n) 0 , — êß| (2)    b11y1 + b12y2 + · · · + b12ny2n = 0 b21y1 + b22y2 + · · · + b22ny2n = 0 bn1y1 + bn2y2 + · · · + bn2ny2n = 0 œ), ø`²nd. (1998c) 17. Øλ¤äû, êß|    2x1 + λx2 − x3 = 1 λx1 − x2 + x3 = 2 4x1 + 5x2 − 5x3 = −1 Ã), kçò)½Ã°ı)? kðı)û, —ê ß|œ). (1997c) (Or ¢ ߢ ˘ n) 4