第八章二次型 填空 1.写出f(x1,x2,x3,x)=1+3n2-3+x1x2-21x3+3x2x23的相伴矩阵 1120 2.写出方阵 1230 2330 的二次型 3.将f=x1x2n+x2x21-1+…,+xnxn-1化为标准型 4.求∫(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x2x3+x3x4的秩为 符号差为 5.当t满足条件时,f(x)=i+2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是 正定二次型 11 y1 6.设A={a为正定阵,则f(/,y,…,mn) 是 ann yn 0 (正定,负定,半正定,半负定,不定) 7若实对称阵A与B=002合同,求二次型XAX的规范型 020 8.设A是n阶实对称矩阵,则t满足条件时,A+t正定 选择。 1.下列命题错误的是 A):对称方阵只能与对称方阵合同 B):E与-E在复数域上合同,但在实数域上不合同 C):若A与B合同,则存在唯一的满秩阵C,使得B=C"AC. D):二次型∫=XAX经过满秩线性变换后,秩不变 2.下列命题正确的是 A):实对称矩阵A= 与单位方阵在实数域上合同的充 分必要条件是:每个a1>0(i=1,…,n)
✁✂ ✄☎✆ ✝✞✟✠✡ 1. ☛☞ f(x1, x2, x3, x4) = x 2 1 + 3x 2 2 − x 2 3 + x1x2 − 2x1x3 + 3x2x3 ✌✍✎✏✑ . 2. ☛☞✒ ✑ 1 1 2 0 1 2 3 0 2 3 3 0 0 0 0 0 ✌✓✔✕ . 3. ✖ f = x1x2n + x2x2n−1 + ... + xnxn−1 ✗✘✙✚✕ . 4. ✛ f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 + x2x3 + x3x4 ✌✜✘ , ✢✣✤✘ . 5. ✥ t ✦✧ ★✩✪✫ f(x) = x 2 1 + x 2 2 + 5x 2 3 + 2tx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 ✬ ✭✮✓✔✕✡ 6. ✯ A = [aij ] ✘ ✭✮ ✑✫✰ f(y1, y2, ..., yn) = a11 · · · a1n y1 · · · an1 · · · ann yn y1 · · · yn 0 , ✬ (✭✮✫✱✮ ✫✲✭✮✫✲✱✮ ✫✳✮ ). 7. ✴✵✶✷✑ A ✸ B = 1 0 0 0 0 2 0 2 0 ✹✺✫✛✓✔✕ X0AX ✌✻✼✕ . 8. ✯ A ✬ n ✽✵✶✷✏✑✫✰ t ✦✧ ★✩✪✫ A + tI ✭✮✾ ✓✞✿❀✡ 1. ❁❂❃❄❅❆✌✬ . A): ✶✷✒ ✑ ❇❈✸✶✷✒ ✑✹✺✾ B):E ✸ −E ❉❊❋●❍✹✺✫■❉✵❋●❍✳✹✺✾ C): ✴ A ✸ B ✹✺✫✰❏❉❑✝ ✌✦✜✑ C, ▲▼ B = C 0AC. D): ✓✔✕ f = X0AX ◆❖✦✜P◗❘❙❚✫✜✳❘ ✾ 2. ❁❂❃❄✭❯✌✬ . A): ✵✶✷✏✑ A = a1 0 a2 · · · 0 an , ✸❱❲✒ ✑❉✵❋●❍✹✺✌❳ ❨❩❬★✩✬❭❪❫ ai > 0(i = 1, ..., n). 1
B):若A为实的n阶满秩矩阵,若A与-A在实数域上合同,则n为偶数或 奇数均可 C):若A,B为对称矩阵,且存在n维向量X,使得XAX=XBX,则A=B D)若A是实方阵且|4|>0,则A必与单位方阵在实数域上合同 3.下列命题错误的是 A):t为任何值,f=x1+4x2+23+2x1x2+10x1x3+6x2x3均为正定的 B):若A=A是实对称阵,则A是正定阵←→A与单位阵合同 C):若A是正定阵,则任意实n阶方阵CCAC都是正定的 D):任意两个正定阵均合同 4A,B均是n阶正定阵,下列阵不一定是正定阵的是 A): A+B B):A-1 C):V整数m,A D): A-B E AB A 0 0 B 5.下列命题错误的是 A):f(x1,x2,…,rn)=n∑1n2-(∑1x;)2是半正定二次型 B):A,B,C,D是n阶对称阵,且A与B合同,C与D合同,则A+C与 B+C合同, a 0 B 0 0c)与(0D)合同 C):正定矩阵的主对角元都大于0 D):负定矩阵的主对角元都小于0 李凤整理
B): ✴ A ✘✵✌ n ✽✦✜✏✑✫✴ A ✸ −A ❉✵❋●❍✹✺✫✰ n ✘❴❋❵ ❛ ❋❜❝✾ C): ✴ A,B ✘✶✷✏✑✫ ❞ ❏❉ n ❡❢❣ X, ▲▼ X0AX = X0BX, ✰ A = B. D): ✴ A ✬✵ ✒ ✑ ❞ |A| > 0, ✰ A ❩ ✸❱❲✒ ✑❉✵❋●❍✹✺✾ 3. ❁❂❃❄❅❆✌✬ . A):t ✘❤✐❥✫ f = x 2 1 + 4x 2 2 + x 2 3 + 2tx1x2 + 10x1x3 + 6x2x3 ❜✘ ✭✮✌ ✾ B): ✴ A0 = A ✬✵✶✷✑✫✰ A ✬ ✭✮✑ ⇐⇒A ✸❱❲✑✹✺✾ C): ✴ A ✬ ✭✮✑✫✰❤❦✵ n ✽ ✒ ✑ C,C 0AC ❧✬ ✭✮✌ ✾ D): ❤❦♠❫✭✮✑❜✹✺✾ 4.A, B ❜✬ n ✽ ✭✮✑✫❁❂✑✳✝✮ ✬ ✭✮✑✌✬ . A):A + B B):A−1 C):∀ ♥❋ m,Am D):A − B E):AB F): A 0 0 B , 5. ❁❂❃❄❅❆✌✬ . A):f(x1, x2, ..., xn) = n Pn 1 x 2 i − ( Pn 1 xi) 2 ✬✲ ✭✮✓✔✕✾ B):A, B, C, D ✬ n ✽✶✷✑✫ ❞ A ✸ B ✹✺✫ C ✸ D ✹✺✫✰ A + C ✸ B + C ✹✺✫ A 0 0 C ✸ B 0 0 D ✹✺✾ C): ✭✮✏✑✌♦✶♣q❧rs 0. D): ✱ ✮ ✏✑✌♦✶♣q❧ts 0. ✉✈♥✇ 2