第四章线性变换 填空题 1R[]n中线性变换σ:f(x)-→f(x+1),vf(x)∈R12在基1,x,x2,…,x2 下的矩阵为() 2.设A a是R2×2的线性变换,σ(X)=AX-XA,VX∈R2×2 则a在基E1,E12,E21,E22下的矩阵为() 1-12 3.设∈L(V)在基a1,a2a3下的矩阵为A=201|,则a在基 12-1 a3,a2,a1下的矩阵为() 4.设A=(an)nxn可逆,且A的每行元素之和都为c则2A+3A-的每行 元素之和为() 5.设V是由次数小于4的实系数多项式全体构成的向量空间,D为其上的 求导变换,则在基1,x,x2,x3下线性变换D的矩阵为() 6.设V为一维向量空间,则V上所有的线性变换为() 选择题 1.设σ为三维向量空间上的变换,下列σ不是线性变换的是() a o(a Ba(a1,a2,a3)=(a2,a2,a3) Co(a1,a2,a3)=(0,a1,0) Do(a1,a2,a3)=(3a3,3a2,3a1) 2.在线性空间R3中,a=(x1,x2,x3)∈R3,判断下列哪一个变换是线性变 换() AT(a)=(2x1-x3,x2+x3,x1+x3)2; B T(a)=(sinc, 0, 0) CT(a)=(x1,x2,n3 D T(a)=(sin. 1, cos. T2, 1 )2 3.设T∈L(R3),定义T(x1,x2,x3)=(x1-m2+3x35x1+6x2-7x3,7x1+ 4xr2-x3),则下列向量中为Ker(T)中的向量的是
eh fgbd SC#A 1.R[x]n `IQ σ : f(x) 7−→ f(x + 1), ∀f(x) ∈ R[x]n Y 1, x, x2 , · · · , xn HÆ!\D ( ). 2. 7 A = 1 2 3 4 , σ ; R 2×2 ÆIQ σ(X) = AX − XA, ∀X ∈ R 2×2 , [ σ Y E11, E12, E21, E22 HÆ!\D ( ). 3. 7 σ ∈ L(V ) Y α1, α2, α3 HÆ!\D A = 1 −1 2 2 0 1 1 2 −1 , [ σ Y α3, α2, α1 HÆ!\D ( ). 4. 7 A = (aij )n×n "-0 A Æ(PX=_D c, [ 2A + 3A−1 Æ(P X=_D ( ). 5. 7 V ;U <NW 4 Æ9G<K:2B ÆL%# D D/6Æ 1 [Y 1, x, x2 , x3 HIQ D Æ!\D ( ). 6. 7 V DSEL%# [ V 6VÆIQD ( ). RZA 1. 7 σ D5EL%# 6ÆH& σ ;IQÆ; ( ). A σ(a1, a2, a3) = (2a1 − a2 + a3, a2 + 5a3, a1 − a3); B σ(a1, a2, a3) = (a 2 1 , a2 2 , a2 3 ); C σ(a1, a2, a3) = (0, a1, 0); D σ(a1, a2, a3) = (3a3, 3a2, 3a1). 2. YIQ# R 3 ` α = (x1, x2, x3) T ∈ R 3 , .H&+S;IQ ( ). A T(α) = (2x1 − x3, x2 + x3, x1 + x3) T ; B T(α) = (sinx1, 0, 0)T ; C T(α) = (x 2 1 , x2 2 , x2 3 ) T ; D T(α) = (sinx1, cosx2, 1)T . 3. 7 T ∈ L(R 3 ), T T(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 3x3, 5x1 + 6x2 − 7x3, 7x1 + 4x2 − x3), [H&L%`D Ker(T) `ÆL%Æ; ( ). A (5, 2, −1); B (4, −2, −2); 1
C(-2,4,2) 4.设T∈L(F]3),定义T(f(x)=f(x+1)-f(x),Vf(x)∈F{]3,则T在 F[c]3的基1,x,x2下的矩阵为( 101 011 A012 002 000 000 100 000 C010 100 120 120 +r 5,设T∈L(R2,R),定义为T( ∈R2,对于 R2的基()={a1 3 t2 4 R的基(1)=份1=0],B2 11,B2=|1|},则T在基()、()下的矩阵为() 0 A B 32 34 32 6.设线性变换T在基a1,a2,……,an下的矩阵为A.|4=5,且线性变换T在 基an,an-1,…,a1的矩阵为B,则|B为() A不能确定;B5;C 三.简答题 1.判晰断下列变换哪些是线性变换 (1)R2中:T(x1,x2)2=(x1+1,x2); (2)R3中:T(x1,x2,x3)=(x1+x2,x1-x2,2x3)2; 3)R2×2中:T(4)=A*,A为A的伴随矩阵 2.下列命题是否正确?为什么? (1)线性变换T把V的线性相关向量组变为线性相关向量组 (2)线性变换T把V的线性无关向量组变为线性无关向量组 3.如何计算向量组在线性变换下的象?
C (−2, 4, 2); D (−1, −2, 1). 4. 7 T ∈ L(F[x]3), T T(f(x)) = f(x + 1) − f(x), ∀f(x) ∈ F[x]3, [ T Y F[x]3 Æ 1, x, x2 HÆ!\D ( ). A 1 0 1 0 1 2 0 0 0 ; B 0 1 1 0 0 2 0 0 0 ; C 1 0 0 0 1 0 1 2 0 ; D 0 0 0 1 0 0 1 2 0 . 5. 7 T ∈ L(R 2 , R 3 ), TD T x1 x2 = x1 + x2 x1 x2 , ∀ x1 x2 ∈ R 2 , W R 2 Æ (I) = {α1 = 1 3 , α2 = −2 4 }, R 3 Æ (II) = {β1 = 1 0 0 , β2 = 1 1 0 , β3 = 1 1 1 }, [ T Y (I),(II) HÆ!\D ( ). A 3 −2 3 4 −6 4 ; B 3 −2 3 2 −3 2 ; C 3 4 −2 −6 3 4 ; D 3 2 −2 −3 3 2 . 6. 7IQ T Y α1, α2, · · · , αn HÆ!\D A, |A| = 5, 0IQ T Y αn, αn−1, · · · , α1 Æ!\D B, [ |B| D ( ). A ,3 B 5; C 1 5 ; D 5n . 5 A 1. .H&+O;IQ (1).R 2 ` T(x1, x2) T = (x1 + 1, x2 2 ) T ; (2).R 3 ` T(x1, x2, x3) T = (x1 + x2, x1 − x2, 2x3) T ; (3).R 2×2 ` T(A) = A∗ , A∗ D A Æ?!\ 2. H&*A;^3D8' (1). IQ T V ÆIQJL%aDIQJL%a (2). IQ T V ÆIQFL%aDIQFL%a 3. 4 >L%aYIQHÆM 2
陈建敏整理
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