特征值基础训练 判断题 1.设a,B是属于线性变换φ同一特征值Ao的两个特征向量,且a≠B,则aa+b3 也是φ的特征向量,其中a,b不同时为零.( 2.设A是n阶方阵,a1,…,an分别是A的属于互异特征值入1,……,An的特征向 量,则k1a1+…+knn(k1,…,kn不全为零)为A的全部特征向量.( 3.设φ是数域K上的n维向量空间的线性变换,p的不同特征值为入1,……,A,对 应的特征子空间分别为V1,…,VA,则p可对角化的充要条件是∑1dim1=n.() 4.2阶方阵彼此相似当且仅当它们的极小多项式相同.() 5.数域K中任意数都是K上线性空间V的零变换的特征值.() 6.若|I-A=|I-B,A可对角化,则B也可对角化.() 7.若λ是Ⅴ上线性变换φ的特征值,则入作为特征多项式的重数不超过特征子空间V入 的维数 8.设φ是数域K上的n维线性空间的线性变换,如果V的任意一个一维子空间都 是φ-不变子空间,则φ可对角化.() 9.n阶方阵A为可逆阵的充要条件是A的特征值全不为零.( 10.设A,B是n阶方阵,则AB与BA相似.( 填空题 1.设三阶方阵A的特征值为A1,A2,A3且两两互异,对应的特征向量依次为a1,a2,a3 则A= 000 2.设A=x1y,B=010.则当x= y 1y1 002 时,A与B相似 3.设可道短阵A=(0 a20)∈M2(R),则A在R上可对角化的充要条件是 4.设A为三阶方阵,且|-4|=A3+22-A-2,则A相似于矩阵 5.设|4=0,B+A=21,则矩阵B有一个特征值 6.已知A满足A2+2A+I=0,则A的特征值为
✁✂✄☎✆✝ ✞✟✠✡☛ 1. ☞ α, β ✌✍✎✏✑✒✓ ϕ ✔✞✕✖✗ λ0 ✘✙✚✕✖✛✜✢✣ α 6= β, ✤ aα + bβ ✥ ✌ ϕ ✘✕✖✛✜✢✦✧ a, b ★✔✩✪✫✟ ( ) 2. ☞ A ✌ n ✬✭✮✢ α1, · · · , αn ✯✰✌ A ✘✍✎✱✲✕✖✗ λ1, · · · , λn ✘✕✖ ✛ ✜✢✤ k1α1 + · · · + knαn(k1, · · · , kn ★✳✪✫) ✪ A ✘✳✴✕✖✛✜✟ ( ) 3. ☞ ϕ ✌✵✶ K ✷✘ n ✸✛✜✹✺ V ✘✏✑✒✓✢ ϕ ✘★✔✕✖✗✪ λ1, · · · , λt , ✻ ✼ ✘✕✖✽✹✺✯✰✪ Vλ1 , · · · , Vλt , ✤ ϕ ✾✻✿❀✘❁❂❃❄✌ Pt i=1 dimVλi = n. ( ) 4. 2 ✬✭✮❅❆❇❈❉✣❊❉❋●✘❍■❏❑▲❇✔✟ ( ) 5. ✵✶ K ✧▼◆✵❖✌ K ✷✏✑✹✺ V ✘✫✒✓✘✕✖✗✟ ( ) 6. P |λI − A| = |λI − B|, A ✾✻✿❀✢ ✤ B ✥ ✾✻✿❀✟ ( ) 7. P λ ✌ V ✷✏✑✒✓ ϕ ✘✕✖✗✢ ✤ λ ◗✪✕✖❏❑▲✘❘✵★❙❚✕✖✽✹✺ Vλ ✘✸✵ ( ). 8. ☞ ϕ ✌✵✶ K ✷✘ n ✸✏✑✹✺ V ✘✏✑✒✓✢❯❱ V ✘ ▼◆✞ ✚✞✸✽✹✺❖ ✌ ϕ- ★✒✽✹✺✢✤ ϕ ✾✻✿❀✟ ( ) 9. n ✬✭✮ A ✪✾❲✮✘❁❂❃❄✌ A ✘✕✖✗✳★✪✫✟ ( ) 10. ☞ A, B ✌ n ✬✭✮✢ ✤ AB ❳ BA ❇❈✟ ( ) ❨✟❩✹☛ 1. ☞❬✬✭✮ A ✘✕✖✗✪ λ1, λ2, λ3 ✣ ✙✙✱✲✢ ✻ ✼ ✘✕✖✛✜❭❪✪ α1, α2, α3, ✤ A = . 2. ☞ A = 1 x 1 x 1 y 1 y 1 ,B = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 . ✤❉ x = , y = ✩ ✢ A ❳ B ❇❈✟ 3. ☞✾❲❫✮ A = 0 a1 a2 0 ∈ M2(R), ✤ A ❴ R ✷✾✻✿❀✘❁❂❃❄✌ . 4. ☞ A ✪❬✬✭✮✢✣ |λI − A| = λ 3 + 2λ 2 − λ − 2, ✤ A ❇❈✎❫✮ . 5. ☞ |A| = 0, B + A = 2I, ✤❫✮ B ❵✞ ✚✕✖✗ . 6. ❛ ❜ A ❝❞ A2 + 2A + I = 0, ✤ A ✘✕✖✗✪ . 1
7.已知三阶方阵A的三个特征值为1,2,3,则|4 A的特征值 A-1的特征值 A*的特征值 ,A2+2A+I的 特征值 8.设A是三阶方阵,且|A-=|4+2=|2A+3=0,则2A*-3 设A是n阶幂等矩阵,则|I+A 10.若n阶可逆阵A的每行元素之和均为a(a≠0),则 一定是2A*-3I 的特征值 1l.已知三阶方阵4/32 r-22有一个特征向量B=(1,-2,3),则x y P1对应的特征值为 12.设A是n阶方阵,|4=5,则B=AA*的特征值是 特征向量是 三.选择题 1.设S是对合阵,P是幂等阵,H是非零幂零阵,则_可对角化 (A)S,P,H(B)仅S,P(C)仅S(D)S,P,H都不能 2.下列命题正确的是 (A)若A不是数量阵,则与A相似的方阵只有有限个 (B)若A为实方阵,则A必相似于上三角阵 (C)A,B为任意两个同阶方阵,若A相似于B,则A·相似于B* (D)数域F上的任意方阵A的极小多项式存在,但不唯 3.与矩阵 -104 2611 相似的矩阵是 (A) 30 (D) 4.设A为三阶方阵,其特征值分别为A1=3,A2=2,A3=1,对应的特征向量分别为 a1,a2,a3,记P=(a3,a1,a2).则P-1AP= (C) D
7. ❛ ❜ ❬✬✭✮ A ✘❬✚✕✖✗✪ 1,2,3, ✤ |A| = , AT ✘✕✖✗ , A−1 ✘✕✖✗ , A∗ ✘✕✖✗ , A2 + 2A + I ✘ ✕✖✗ . 8. ☞ A ✌❬✬✭✮✢✣ |A−I| = |A+2I| = |2A+3I| = 0, ✤ |2A∗−3I|= . 9. ☞ A ✌ n ✬❡❢❫✮✢ ✤ |I + A| = . 10. P n ✬✾❲✮ A ✘❣❤✐❥❦❧♠✪ a(a 6= 0), ✤ ✞♥✌ 2A ∗ − 3I ✘✕✖✗✟ 11. ❛ ❜ ❬✬✭✮ A = 3 2 −1 x −2 2 3 y −1 ❵✞ ✚✕✖✛✜ P1 = (1, −2, 3)T , ✤ x = , y = , P1 ✻ ✼ ✘✕✖✗✪ . 12. ☞ A ✌ n ✬✭✮✢ |A| = 5, ✤ B = AA∗ ✘✕✖✗✌ , ✕✖ ✛✜ ✌ . ❬✟♦♣☛ 1. ☞ S ✌✻q✮✢ P ✌❡❢✮✢ H ✌r✫❡✫✮✢ ✤ ✾✻✿❀✟ (A) S, P, H (B) ❊ S, P (C) ❊ S (D) S, P, H ❖★s 2. t✉✈☛✇①✘✌ . (A) P A ★✌✵✜ ✮ ✢ ✤❳ A ❇❈✘✭✮②❵❵③✚✟ (B) P A ✪④✭✮✢ ✤ A ⑤❇❈✎✷❬✿✮✟ (C) A, B ✪ ▼◆ ✙✚✔✬✭✮✢ P A ❇❈✎ B, ✤ A∗ ❇❈✎ B∗ . (D) ✵✶ F ✷✘ ▼◆✭✮ A ✘❍■❏❑▲⑥❴ ✢⑦★⑧✞✟ 3. ❳❫✮ −10 4 26 11 ❇❈✘❫✮✌ . (A) 2 0 0 3 (B) −2 1 0 3 (C) −3 0 1 2 (D) −2 1 1 −3 4. ☞ A ✪❬✬✭✮✢✦✕✖✗✯✰✪ λ1 = 3, λ2 = 2, λ3 = 1, ✻ ✼ ✘✕✖✛✜ ✯✰✪ α1, α2, α3, ⑨ P = (α3, α1, α2). ✤ P −1AP = . (A) 3 2 1 (B) 2 1 3 (C) 1 2 3 (D) 1 3 2 2
5.如果方阵A与对角阵 相似,则A10 (A)I(B)A(C)-I(D)10I 6.与n阶单位阵I相似的矩阵是 (A)数量阵kI(k≠0)(B)对角阵(对角线上元素全不为0)(C)I(D)n阶可逆阵 7.令A cd),则A的特征多项式为 (A)x2-Tr(4)x+|4(B)x2+Tr(4)x+|4 (C)x2-Tr(A)x-|4(D)x2+Tr(4)x-|4 矩阵与对角阵相似 231 010 0-243 0021 0002 45-7 310 (C)568 D)|-4-10 9.设A1,A2是矩阵A的两个不同特征值,a1,a2是A的分别属于A1,A2的特征向量, 则 (A)对任意k1≠0,k2≠0,k1a1+k2a2都是A的特征向量 (B)存在常数k1≠0,k2≠0,使得k101+k2a2是A的特征向量 (C)当k1≠0.k2≠0时,k1a1+k2a2不可能是A的特征向量 (D)存在唯一一组常数k1≠0,k2≠0,使得k1a1+k22是A的特征向量 10.以线性空间V的任意非零向量作为特征向量的线性变换只能是 (A)零变换(B)数乘变换(C)单位变换(D)可逆变换 林增强整理
5. ❯❱✭✮ A ❳✻✿✮ 1 1 −1 ❇❈✢ ✤ A10 = . (A) I (B) A (C) −I (D) 10I 6. ❳ n ✬⑩❶✮ I ❇❈✘❫✮✌ . (A) ✵ ✜ ✮ kI(k 6= 0) (B) ✻✿✮ (✻✿✏✷✐❥✳★✪ 0) (C) I (D) n ✬✾❲✮ 7. ❷ A = a b c d , ✤ A ✘✕✖❏❑▲✪ . (A) x 2 − T r(A)x + |A| (B) x 2 + T r(A)x + |A| (C) x 2 − T r(A)x − |A| (D) x 2 + T r(A)x − |A| 8. ❫✮ ❳✻✿✮❇❈✟ (A) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (B) 1 2 3 1 0 −2 4 3 0 0 2 1 0 0 0 2 (C) 4 5 −7 5 6 8 −7 8 9 (D) 3 1 0 −4 −1 0 4 8 −2 9. ☞ λ1, λ2 ✌❫✮ A ✘✙✚★✔✕✖✗✢ α1, α2 ✌ A ✘✯✰✍✎ λ1, λ2 ✘✕✖✛✜✢ ✤ . (A) ✻ ▼◆ k1 6= 0, k2 6= 0, k1α1 + k2α2 ❖✌ A ✘✕✖✛✜ (B) ⑥❴❸✵ k1 6= 0, k2 6= 0, ❹❺ k1α1 + k2α2 ✌ A ✘✕✖✛✜ (C) ❉ k1 6= 0, k2 6= 0 ✩ ✢ k1α1 + k2α2 ★✾s✌ A ✘✕✖✛✜ (D) ⑥❴⑧✞✞❻❸✵ k1 6= 0, k2 6= 0, ❹❺ k1α1 + k2α2 ✌ A ✘✕✖✛✜ 10. ❼✏✑✹✺ V ✘ ▼◆r✫✛✜ ◗✪✕✖✛✜ ✘✏✑✒✓②s✌ . (A) ✫✒✓ (B) ✵❽✒✓ (C) ⑩❶✒✓ (D) ✾❲✒✓ ❾❿➀➁➂ 3
