国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(二)试题 (线性空间部分) 选择题 设四阶矩阵A=(a)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a4为矩阵A的列向量组.A为A的 伴随矩阵,则方程组Ax=0的通解为().(2020年) (A)x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k1,k2,k3为任意常数 (B)x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (C)x=ka1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (D)x=k1a2+k2a3+k2a4,其中k1,k2k3为任意常数 2.设a1,a2,a3均为三维向量,任意常数k,1,向量组a1+kas3,a2+la3线性无关是向量组a1,a2,a3( (A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件 3.设矩阵A,B,C均为m阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则().(2013年) (4)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 4.设 1,a4=1|,其中a,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量 C2 组线性相关的是()(2012年) (A)a1, a2, alphas (B)a1, 02, alpha4 (C)a1, a3, alphaa 100 5.设AP均为3阶矩阵,且PAP=010,若P=(a202a3)Q=(a1+a2,a2a3,则QTAQ=( (2009年)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£§£K £Ç5òm‹©§ ò. ¿JK 1. o › A = (aij )ÿå_, a12ìÍ{f™A12 6= 0, α1, α2, α3, α4è› Aï˛|. A∗èA äë› , Kêß|A∗x = 0œ)è( ). (2020c) (A) x = k1α1 + k2α2 + k3α3, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (B) x = k1α1 + k2α2 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (C) x = k1α1 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (D) x = k1α2 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í 2. α1, α2, α3˛ènëï˛, ?ø~Ík, l, ï˛|α1 + kα3, α2 + lα3Ç5Ã'¥ï˛|α1, α2, α3 ( ). (2014c) (A) 7áöø©^á (B) ø©ö7á^á (C) ø©7á^á (D) Qöø©qö7á^á 3. › A, B, C˛èn › , eAB = C, ÖBå_, K( ). (2013c) (A) › C1ï˛|Ü› A1ï˛| d (B) › Cï˛|Ü› Aï˛| d (C) › C1ï˛|Ü› B1ï˛| d (D) › Cï˛|Ü› Bï˛| d 4. α1 = 0 0 c1 , α2 = 0 1 c2 , α3 = 1 −1 c3 , α4 = −1 1 c4 , Ÿ•c1, c2, c3, c4è?ø~Í, Keï˛ |Ç5É'¥( ). (2012c) (A) α1, α2, alpha3 (B) α1, α2, alpha4 (C) α1, α3, alpha4 (D) α2, α3, alpha4 5. A, P˛è3 › ßÖP T AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 , eP = (α1, α2, α3), Q = (α1+α2, α2, α3), KQT AQ = ( ). (2009c) 1
(A)110 (B)120 (C)010 020 002 002 002 002 6.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组线性相关的是().(2007年) (A)a1-a2,a2-a3,a3 7.设a1,a2,…,a均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是().(2006年) (A)若a1,a2,a线性相关,则Aa1,Aa2,,Aa线性相关 (B)若a1,a2,,a线性相关,则Aa1,Aa2,,Aa线性无关 (C)若a1,a2,,a线性无关,则Aa1,Aa2,,Aa线性相关 (D)若a1,a2,a线性无关,则Aan1,Aa2,…,Aas线性无关 8.设,A2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关的充 分必要条件是().(2005年) (A)A1≠0 (B)入2≠0 (C)A1=0 (D)入2=0 9.设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有().(2004年) A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 10.设向量组r:a1,a2,……,ar可由向量组r:月1,B2,…,B,线性表示,则().(2003年) (A)当rs时,向量组必线性相关 (C)当rs时,向量组I必线性相关 11.设向量组a1,a2,a3线性无关,向量1可由a1,a2,a3线性表示,则对于任意的常数k,必有().(2002年) (A)a1,a2,a3,kB1+B2线性无关 (B)a1,a2,a3,kB1+B2线性相关 (C)a1,a2,a3,B1+kB2线性无关 (D)a1,a2,a3,月1+kB2线性相关 二.填空题 1.设向量组a1=(1,2,-1,1)a2=(2,0,t,0)a3=(1,-4,5,-2)的秩为2,则t=().(1997年) 三.计算题
(A) 2 1 0 1 1 0 0 0 2 (B) 1 1 0 1 2 0 0 0 2 (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 (D) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 6. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|Ç5É'¥( ). (2007c) (A)α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1 (B)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (C)α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D)α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1 7. α1, α2, . . . , αs˛ènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥( ). (2006c) (A) eα1, α2, . . . , αsÇ5É', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5É'. (B) eα1, α2, . . . , αsÇ5É', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5Ã'. (C) eα1, α2, . . . , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5É'. (D) eα1, α2, . . . , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, . . . , AαsÇ5Ã'. 8. λ1, λ2¥› A¸áÿ”Aä, ÈAAï˛©Oèα1, α2, Kα1, A(α1 + α2)Ç5Ã'ø ©7á^á¥( ). (2005c) (A)λ1 6= 0 (B)λ2 6= 0 (C)λ1 = 0 (D)λ2 = 0 9. A, Bè˜vAB = 0?ø¸áö"› , K7k( ). (2004c) (A)Aï˛|Ç5É', B1ï˛|Ç5É'.(B)Aï˛|Ç5É', Bï˛|Ç5É'. (C)A1ï˛|Ç5É', B1ï˛|Ç5É'.(D)A1ï˛|Ç5É', Bï˛|Ç5É'. 10. ï˛|I : α1, α2, · · · , αrådï˛|I 0 : β1, β2, · · · , βsÇ5L´, K( ). (2003c) (A)r sû, ï˛|I 07Ç5É' (C)r sû, ï˛|I7Ç5É'. 11. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', ï˛β1ådα1, α2, α3 Ç5L´,KÈu?ø~Ík, 7k( ). (2002c) (A)α1, α2, α3, kβ1 + β2Ç5Ã' (B)α1, α2, α3, kβ1 + β2Ç5É' (C)α1, α2, α3, β1 + kβ2Ç5Ã' (D)α1, α2, α3, β1 + kβ2Ç5É'. . WòK 1. ï˛|α1 = (1, 2, −1, 1),α2 = (2, 0, t, 0),α3 = (1, −4, 5, −2)ùè2,Kt = ( ). (1997c) n. OéK 2
1.已知向量组()a1=(1,1,4),a2=(1,0.,4)r,a3=(1,2,a2+3).(Ia1=(1,1,a+3),B2 (0,2,1-a),B3=(1,3,a2+3).若向量组(I)和向量组(I)等价,求a的取值,并将3用a1,a2,a3线性表 出.(2019年) 已知矩阵A=2-30 000 (1)求A9; (2)设三阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA.记B0=(61,B2,B3),将的1,B2,B3分别表示 为a1,a2,a3的线性组合.(2016年) 3.设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1特征值,向量a3满足Aa3=a2+a3 (1)证明a1,a2,as线性无关; (2)令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.(2008年) 4.确定常数a,使向量组a1=(1,1,a)1,a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组1=(1,1,a)y,B2 (-2,a,4),月3=(-2,a,a)线性表示,但向量组1,B2,B3不能由向量组a1,a2,a3线性表示.(2005年) 5.已知向量组=1,=2,=1,与向量组a1=2,a2=0.a3=6具有 相同的秩,且3可由a1,a2,a3线性表示,求a,b的值.(2000年) 6.设向量组a1=(1,1,1,3),a2=(-1,-3,5,1),a3=(3,2,-1,p+2),a4=(-2,-6,10,p) (1)p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量a=(4,1,6,10)用a1,a2,a3,a4线性表出; (2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.(1999) 7.设向量a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,a),B=(3,10.b,4).问: (1)a,b取何值时,B不能由a1,a2,a3线性表示 (2)a,b取何值时,B可由a1,a2,a3线性表示?并写出其表达式.(1998年) (林增强林秋林程潘红林鹭整理)
1. Æï˛|(I) α1 = (1, 1, 4)T , α2 = (1, 0, 4)T , α3 = (1, 2, a2 + 3)T . (II) β1 = (1, 1, a + 3)T , β2 = (0, 2, 1 − a), β3 = (1, 3, a2 + 3). eï˛|(I)⁄ï˛|(II) d, ¶aä, øÚβ3^α1, α2, α3Ç5L —. (2019c) 2. Æ› A = 0 −1 1 2 −3 0 0 0 0 . (1) ¶A99; (2) n › B = (α1, α2, α3) ˜vB2 = BA. PB100 = (β1, β2, β3), Úβ1, β2, β3 ©OL´ èα1, α2, α3Ç5|‹. (2016c) 3. Aè3 › , α1, α2èA©O·uAä−1, 1Aä, ï˛α3˜vAα3 = α2 + α3. (1) y²α1, α2, α3Ç5Ã'; (2) -P = (α1, α2, α3), ¶P −1AP. (2008c) 4. (½~Ía, ¶ï˛|α1 = (1, 1, a) T , α2 = (1, a, 1)T , α3 = (a, 1, 1)Tådï˛|β1 = (1, 1, a) T , β2 = (−2, a, 4)T , β3 = (−2, a, a) TÇ5L´, ï˛|β1, β2, β3ÿUdï˛|α1, α2, α3Ç5L´. (2005c) 5. Æï˛|β1 = 0 1 −1 , β2 = a 2 1 , β3 = b 1 0 , Üï˛|α1 = 1 2 −3 , α2 = 3 0 1 , α3 = 9 6 −7 ‰k É”ù, Öβ3ådα1, α2, α3Ç5L´, ¶a, bä. (2000c) 6. ï˛|α1 = (1, 1, 1, 3)0 , α2 = (−1, −3, 5, 1)0 , α3 = (3, 2, −1, p + 2)0 , α4 = (−2, −6, 10, p) 0 . (1) pè¤äû,Tï˛|Ç5Ã'? ø3dûÚï˛α = (4, 1, 6, 10)0^α1, α2, α3, α4Ç5L—; (2) pè¤äû,Tï˛|Ç5É'?ø3dû¶—ßù⁄òá4åÇ5Ã'|. (1999c) 7. ï˛α1 = (1, 4, 0, 2)0 , α2 = (2, 7, 1, 3)0 , α3 = (0, 1, −1, a) 0 , β = (3, 10, b, 4)0 . Ø: (1) a, b¤äû, βÿUdα1, α2, α3Ç5L´; (2) a, b¤äû, βådα1, α2, α3Ç5L´? ø—ŸLà™. (1998c) (Or ¢ ߢ ˘ n) 3