第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (数学类,2010) 考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分 四五六」七八总分」 满分1015 10 1015201010 100 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 3、如当题空白不够,可写在当页背面,并标明题号. 得分 (本题共10分)设E∈(0,1),x=a,xn1=a+ Sinx 评阅人 (n=0,1,2…)证明5= lim x存在,且为方程x- E x=a 的唯一根 迟出 得分 二、(本题共15分)设B=002010证明x2=B无 评阅人 解,这里X为三阶未知复方阵 第1页(共6页)
专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 10 15 10 10 15 20 10 10 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共 10 分）设ε ∈(0,1) ， 0 x = a ， 1 sin n n x a x ε + = + （ 证 n = 0,1,2 ). " 明 lim n n ξ x →+∞ = 存在，且ξ 为方程 x −ε sin x a = 的唯一根. 二、（本题共 15 分）设 . 证明 0 10 30 0 0 2010 00 0 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 X = B 无 解，这里 X 为三阶未知复方阵. 得 分 评阅人 得 分 评阅人 第 1 页（ 共 6 页）
得分 三、(本题共10分)设DcR2是凸区域,函数f(x,y)是凸函数 评阅人 证明或否定:f(x,y)在D上连续 注:函数f(x,y)为凸函数的定义是va∈(0,1)以及(x,n)(x2y2)∈D,成立 f(ax+(1-a)x2,ay1+(-a)y2)≤af(x1,y1)+(1-a)f(x2,y2) 第2页(共6页)
得 分 评阅人 三、（本题共 10 分）设 是凸区域，函数 2 D ⊂ R f (, ) x y 是凸函数. 证明或否定： f (, ) x y 在 D 上连续. 注：函数 f (, ) x y 为凸函数的定义是 ∀α ∈(0,1) 以 及 11 2 2 ( , ),( , ) x y xy D ∈ 2 ) ， 成 立 1 2 1 ), 1 2 2 ( ( (1 ) ) ( , ( , 1 1 f αx x +− +− ≤ α α y y fx fx α α y ) (1 ) + −α y . 第 2 页（ 共 6 页）
得分 四、(本题共10分)设f(x)在[01上 Riemann可积,在x=1 评阅人 可导,f(1)=0,f()=a.证明: lim n lox(x)=a 迟出 得分 五、(本题共15分)已知二次曲面∑(非退化)过以下九点 评阅人 A(1,0,0),B(1,1,2),C(1,-1,-2),D(3,0,0),E(3,1,2),F(3,-2,-4) G(0,.4,H(3,-1,-2),(5,2√2,8).问∑是哪一类曲面? 第3页(共6页)
专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 四、（本题共 10 分） 设 f ( ) x 在[0,1]上 Riemann 可积，在 x =1 可导， f (1) 0, (1) = f ′ = a . 证明： 1 2 0 lim ( ) n n n x f x dx →+∞ = −a. ∫ 五、（本题共 15 分）已知二次曲面 （非退化）过以下九点 ∑ ： A(1,0,0), B(1,1,2), C(1, 1, 2), − − D(3 ), ,0,0 E(3,1,2), F(3, 2, 4), − − G(0,1,4), H(3, 1, 2), − − I(5,2 2,8). 问∑ 是哪一类曲面？ 得 分 评阅人 得 分 评阅人 第 3 页（ 共 6 页）
得分 六、(本题共20分)设A为nxn实矩阵(未必对称),对任一 n维实向量a=(a1…,.xn),aAa≥0(这里a2表示a的转置) 评阅人 且存在n维实向量β使得BAB=0.同时对任意n维实向量x 和y,当x4y≠0时有xAy1+yx≠0.证明:对任意n维实向量v,都有v4B=0 第4页(共6页)
六、（本题共 20 分） 设 为A n× n实矩阵（未必对称），对任一 n 维实向量 T αα α = (, , 0 1 … αn ), Aα ≥ （这里 T α 表示α 的转置）， 且存在 n 维实向量 β 使得 T β βA = 0 . 同时对任意 维实向量 n x 和 y ，当 xAyT ≠ 0 时有 xA y y T + AxT ≠ 0 . 证明：对任意n 维实向量v ，都有 T vAβ = 0. 得 分 评阅人 第 4 页（ 共 6 页）
得分 七、(本题共10分)设∫在区间[1]上 Riemann 评阅人 可积,0≤f≤1.求证:对任何E>0,存在只取值 为0和1的分段(段数有限)常值函数g(x),使得[a,月≤[0,] ((x)-g(x)dx<a 第5页(共6页)
专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 七、(本题共 10 分) 设 f 在区间[0,1]上 Riemann 可积，0 ≤ f ≤1. 求证：对任何ε > 0 [ ，存在只取值 为 0 和 1 的分段（段数有限）常值函数 g x( ) ，使得 ∀ α β, 0 ] ⊆ [ ,1] ， ( ) f x g x dx () () . β α − < ε ∫ 得 分 评阅人 第 5 页（ 共 6 页）
得分 八、(10分)已知p:(0,+∞)→(0,+∞)是一个严格单调 评阅人 下降的连续函数,满足lim(1)=+∞,且 o()-Jg()-<+,其中q表示q的反函数 求证:∫。[od+「"[o-(od 3 第6页(共6页)
八、(10 分) 已知ϕ : (0, ) (0, ) +∞ → +∞ t 是一个严格单调 下降的连续函数，满 足 0 lim ( ) , ϕ t → + = +∞ 且 1 其中 0 0 ϕ ϕ () () , t dt t dt a +∞ +∞ − = = ∫ ∫ 得 分 评阅人 < +∞ 1 ϕ− 表示ϕ 的反函数. 求证： 3 2 2 1 2 0 0 1 ( ) () . 2 ϕ ϕ t dt t dt a +∞ +∞ − ⎡⎤ ⎡ ⎤ + ≥ ∫ ∫ ⎣⎦ ⎣ ⎦ 第 6 页（ 共 6 页）