国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(二)试题 (特征值与特征向量部分) 选择题 1.设A为4阶3阶矩阵,an1,a2为A属于特征值1的线性无关的特征向量,a3为A的属于特征值A的特征向 量,则满足P-1AP=0-10的可逆矩阵P可为().(20年) 001 (A)(a1+a3,a2,-a3)(B)(a1+a2,a2,-a3)(C)(a1+a3,-a3,-a2)(D)(a1+a2,-a3,-a2) 2.设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于().(2010年) 000 000 1000 0100 0100 (C) 0010 00-10 00-10 0000 0000 0000 0000 3.设A(12\在实数域上与A合同的矩阵是().(20年) 21 (C) 二.填空题 1.设A为3阶矩阵,a1,a2,a3为线性无关的向量组,若Aa1=2a1+a2+a3,Aa2=a2+2a3,Aa3= -a2+a3,则A的实特征值为().(2018年) 2.设矩阵A=12a的一个特征向量为1.则a=().(2017年) 31-1 3.设3阶矩阵4的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵则行列式B=().(2015年) 00 4.设a,B为3维列向量,B为是的转置,若矩阵aB相似于00则a=().(209) 000
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£§£K £AäÜAï˛‹©§ ò. ¿JK 1. Aè4 3 › , α1, α2èA·uAä1Ç5Ã'Aï˛, α3èA·uAäAAï ˛, K˜vP −1AP = 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 å_› Påè( ). (2020c) (A) (α1 + α3, α2, −α3) (B) (α1 + α2, α2, −α3) (C) (α1 + α3, −α3, −α2) (D) (α1 + α2, −α3, −α2) 2. Aè4 È°› , ÖA2 + A = 0, eAùè3, KAÉqu( ). (2010c) (A) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 (B) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 (C) 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 (D) −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 3. A = 1 2 2 1 ! K3¢Íç˛ÜA‹”› ¥( ). (2008c) (A) −2 1 1 −2 ! (B) 2 −1 −1 2 ! (C) 2 1 1 2 ! (D) 1 −2 −2 1 ! . WòK 1. Aè3 › , α1, α2, α3èÇ5Ã'ï˛|, eAα1 = 2α1 + α2 + α3, Aα2 = α2 + 2α3, Aα3 = −α2 + α3, KA¢Aäè( ). (2018c) 2. › A = 4 1 −2 1 2 a 3 1 −1 òáAï˛è 1 1 2 , Ka =( ). (2017c) 3. 3 › AAäè2, −2, 1, B = A2−A+E, Ÿ•Eè3 ¸†› , K1™|B| =( ). (2015c) 4. α, βè3ëï˛, β Tèβ¥=ò, e› αβTÉqu 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Kβ T α = ( ). (2009c) 1
5矩阵22-2的非零特征值是().(202年) 三.计算题 1.设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4)=2 (2)若B=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年) 2.A为3阶是对称矩阵,A的秩为2,且A00 11 (1)求A的特征值与特征向量 (2)矩阵A.(2011年) 3.设A=-13a,正交矩阵Q使得Q4Q为对角阵若Q的第一列是121),求mQ20年 4.设3阶实对称矩阵A的特征值1=1,A2=2,A3=-2,a1=(1,-1,1)是A的属于A1的一个特征向量 记B=A5-443+E,其中E为3阶单位矩阵 (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量 (2)求矩阵B.(2007年) 5.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)是线性方程组Ax 0的两个解 (1)求A的特征值与特征向量 (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得ArAQ=A.(2006年) 12-3 6.设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化(200年 7.若矩阵A=82a相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P-1AP=A.(2003年 006 四.证明题 1.设A为2阶矩阵,P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量 (1)证明P为可逆矩阵; (2)若A2a+Aa-6a=0,求P-1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.(2020年)
5. › 0 −2 −2 2 2 −2 −2 −2 2 ö"Aä¥( ). (2002c) n. OéK 1. 3 › A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2. Aè3 ¥È°› , Aùè2, ÖA 1 1 0 0 −1 1 = −1 1 0 0 1 1 . (1)¶AAäÜAï˛; (2)› A. (2011c) 3. A = 0 −1 4 −1 3 a 4 a 0 , › Q¶QT AQèÈ , eQ1ò¥√ 1 6 (1, 2, 1)T , ¶a, Q. (2010c) 4. 3 ¢È°› AAäλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, α1 = (1, −1, 1)T¥A·uλ1òáAï˛. PB = A5 − 4A3 + E, Ÿ•Eè3 ¸†› . (1) yα1¥› BAï˛, ø¶B ‹AäAï˛; (2) ¶› B. (2007c) 5. 3 ¢È°› Aà1ÉÉ⁄˛è3, ï˛α1 = (−1, 2, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥Ç5êß|Ax = 0¸á). (1) ¶AAäÜAï˛; (2) ¶› Q⁄È› Λ, ¶AT AQ = Λ. (2006c) 6. › A = 1 2 −3 −1 4 −3 1 a 5 Aêßkòáä, ¶aä, ø?ÿA¥ƒåÉqÈz. (2004c) 7. e› A = 2 2 0 8 2 a 0 0 6 ÉquÈ› Λ, £(½~Íaä; ø¶å_› P¶P −1AP = Λ. (2003c) o. y²K 1. Aè2 › , P = (α, Aα), Ÿ•α¥ö"ï˛Öÿ¥AAï˛. (1) y²Pèå_› ; (2) eA2α + Aα − 6α = 0, ¶P −1AP, ø‰A¥ƒÉquÈ› . (2020c) 2
(林增强林秋林程潘红林鹭整理)
(Or ¢ ߢ ˘ n) 3