厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）特恒与特征向量

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 (特征值特征向量部分) 选择题 1.设A为4阶3阶矩阵,a1,a2为A属于特征值1的线性无关的特征向量,a3为A的属于特征值A的特征向 100 量,则满足P-1AP=0-10的可逆矩阵P可为()(2020年) 001 (A)(a1+a3,a2,-a3)(B)(a1+a2,a2,-a3)(C)(a1+a3,-a3,-a2)(D)(a1+a2,-a3,-a2) 2.设A是m阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是4的属于特征值入的特征向量,则(P-1AP) 属于入的特征向量是().(2002年) (A)P-a (B)PTa (C)Pa (D)P-1fo 3.设A,B为n阶矩阵,A与B相似,E为单位矩阵,则().(1999) (A)AE-A=AE-B (B)A与B有相同的特征值和特征向量 (C)A与B都相似与一个对角矩阵 (D)对任意常数t,tE-A与E-B相似 4.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的().(1993年) (4)充分必要条件(B)必要不充分条件C)充分不必要条件(①D)不必要也不充分条件 5.设A为n阶可逆矩阵,λ是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A的特征值之一是().(1991年) (B)A-14 (C)N4 (D)AlAn 填空题 1.设2阶矩阵A有两个不同特征值,a1,a2是A的线性无关的特征向量,且满足A2(a1+a2)=a1+a2 则4|=().(2018年) 2.设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式B=().(2015年)

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êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (AäAï˛‹©) ò. ¿JK 1. Aè43› , α1, α2èA·uAä1Ç5Ã'Aï˛, α3èA·uAäAAï ˛, K˜vP −1AP =   1 0 0 0 −1 0 0 0 1   å_› Påè( ). (2020c) (A) (α1 + α3, α2, −α3) (B) (α1 + α2, α2, −α3) (C) (α1 + α3, −α3, −α2) (D) (α1 + α2, −α3, −α2) 2. A¥n¢È°› , P¥nå_› . Ænëï˛α¥A·uAäλAï˛, K(P −1AP) T ·uλAï˛¥( ). (2002c) (A) P −1α (B) P T α (C) P α (D) P −1T α 3. A, Bèn› , AÜBÉq, E踆› , K( ). (1999c) (A) λE − A = λE − B (B) AÜBkÉ”Aä⁄Aï˛ (C) AÜB—ÉqÜòáÈ› (D) È?ø~Ít, tE − AÜtE − BÉq 4. nê A‰knáÿ”Aä¥AÜÈ Éq( ). (1993c) (A) ø©7á^á (B) 7áÿø©^á (C) ø©ÿ7á^á (D) ÿ7áèÿø©^á 5. Aènå_› , λ¥AòáAä, KAäë› A∗AäÉò¥( ). (1991c) (A) λ −1 |A| n (B) λ −1 |A| (C) λ|A| (D) λ|A| n . WòK 1. 2› Ak¸áÿ”Aä, α1, α2¥AÇ5Ã'Aï˛, Ö˜vA2 (α1 + α2) = α1 + α2, K|A| =( ). (2018c) 2. 3› AAäè2, −2, 1, B = A2−A+E, Ÿ•Eè3¸†› , K1™|B| =( ). (2015c) 1

300 设a=(1,1),=(1,0.,为是的转置,若矩阵a相似于000则k=().(209年 000 计算题 设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4)=2; (2)若β=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年) 2.A为3阶是对称矩阵,A的秩为2,且A00 (1)求A的特征值与特征向量 (2)矩阵A.(2011年) 3.设3阶实对称矩阵A的特征值A1=1,A2=2,A3=-2,a1=(1,-1,1)2是A的属于1的一个特征向量 记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (1)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量 (2)求矩阵B.(2007年) 4.设n阶矩阵A (1)求A的特征值和特征向量 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.(2004年) 5.设A为三阶实对称矩阵,满足A2+2A=0,已知A的秩r(4)=2 (1)求A的全部特征值; (2)当k为何值时,A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.(2002年) 6.设矩阵A 5b3.且4=-1.又设A的伴随矩阵A有特征值o,属于M的特征向量 1-c0 为a=(-1,-1,1)2,求a,b,c和)0的值.(1999年) 7.设向量a=(a1,a2,…,an)1,B=(b1,b2,……,bn)都是非零向量,且满足条件aB=0记A=aB2,求 (1)A2; (2)A的特征值与特征向量.(1998年)

3. α = (1, 1, 1), β = (1, 0, k), β Tèβ¥=ò, e› αβTÉqu   3 0 0 0 0 0 0 0 0  , Kk = ( ). (2009c) n. OéK 1. 3› A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2. Aè3¥È°› , Aùè2, ÖA   1 1 0 0 −1 1   =   −1 1 0 0 1 1  . (1) ¶AAäÜAï˛; (2) › A. (2011c) 3. 3¢È°› AAäλ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2, α1 = (1, −1, 1)T ¥A·uλ1òáAï˛, PB = A5 − 4A3 + E, Ÿ•Eè3¸†› . (1) yα1¥› BAï˛, ø¶B‹AäÜAï˛; (2) ¶› B. (2007c) 4. n› A =   1 b · · · b b 1 · · · b . . . . . . . . . b b · · · 1   . (1) ¶AAä⁄Aï˛; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2004c) 5. Aèn¢È°› , ˜vA2 + 2A = 0, ÆAùr(A) = 2. (1) ¶A‹Aä; (2) kè¤äû, A + kEè½› , Ÿ•Eèn¸†› . (2002c) 6. › A =   a −1 c 5 b 3 1 − c 0 −a  , Ö|A| = −1. qAäë› A∗kAäλ0, ·uλ0Aï˛ èα = (−1, −1, 1)T , ¶a, b, c⁄λ0ä. (1999c) 7. ï˛α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T—¥ö"ï˛, Ö˜v^áα T β = 0.PA = αβT , ¶ (1) A2 ; (2) AAäÜAï˛. (1998c) 2

8.设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于1,2的特征向量分别是a1=(-1,-1,1),a2= (1)求A的属于3的特征向量 (2)求矩阵A.(1997年) 0100 000 00y1 0012 (1)已知4的一个特征值为3,求y (2)求矩阵P,使(AP)(AP)为对角阵.(1996年) 001 10.设A=x1y有三个线性无关的特征向量,求和满足的条件(19年) 100 1.设A为n阶矩阵,A1和A2是A的两个不同的特征值,x1,x2是分别属于1和A2的特征向量.证明x1+x2不 是A的特征向量.(1990年) 122 2-1-2 (1)求矩阵A的特征值 (2)利用(1)的结果,求矩阵E+A-1的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(1989年 3-12 13.求方阵0-14的实特征值与对应的特征向量.(197年) 四.证明题 1.设A为2阶矩阵,P=(a,Aa),其中a是非零向量且不是A的特征向量 (1)证明P为可逆矩阵; (2)若A2a+Aa-6a=0,求P-1AP,并判断A是否相似于对角矩阵.(2020年) (吕洪波方珍程潘红林鹭整理)

8. n¢È°› AAä¥1, 2, 3; › A·u1, 2Aï˛©O¥α1 = (−1, −1, 1)T , α2 = (1, −2, −1)T . (1) ¶A·u3Aï˛; (2) ¶› A. (1997c) 9. A =   0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 y 1 0 0 1 2   . (1) ÆAòáAäè3, ¶y; (2) ¶› P, ¶(AP) T (AP)èÈ . (1996c) 10. A =   0 0 1 x 1 y 1 0 0   knáÇ5Ã'Aï˛, ¶⁄˜v^á. (1994c) 11. Aèn› , λ1⁄λ2¥A¸áÿ”Aä, x1,x2¥©O·uλ1⁄λ2Aï˛. y²x1 +x2ÿ ¥AAï˛. (1990c) 12. A =   −1 2 2 2 −1 −2 2 −2 −1   . (1) ¶› AAä; (2) |^(1)(J, ¶› E + A−1Aä, Ÿ•E¥n¸†› . (1989c) 13. ¶ê   −3 −1 2 0 −1 4 −1 0 1   ¢AäÜÈAAï˛. (1987c) o. y²K 1. Aè2› , P = (α, Aα), Ÿ•α¥ö"ï˛Öÿ¥AAï˛. (1) y²Pèå_› ; (2) eA2α + Aα − 6α = 0, ¶P −1AP, ø‰A¥ƒÉquÈ› . (2020c) (½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 3