课程厦门大学高等代数: gdjpkc. xmu. edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 欧氏空间部分) 填空题 1.在欧氏空间R中,向量a=(1,2,2,3),B=(3,1,5,1)的夹角(a,B) (2011年北京交通大学) 2.在欧氏空间R中,向量a=(1,1,1,2),B=(3,1,-1,0)的夹角{a,B)= (2013年北京交通大 学) 3.设R2×中的内积为aB)=aAB,A (2)(2)(" 在此内积之下的度量矩阵为 2015年北京交通大学 4.设=1,E2,…,En是欧氏空间V的一组标准正交基,u∈V,且(u,=1)2+(u,E2)2+…(u,En)2=4,则‖l‖= (2015年北京交通大 5.n阶对称正交矩阵按照相似分类,共有类.(2015年北京交通大学) 6.设A=(a1)nxn为阶正交矩阵,且a1=-1,则矩阵方程Ax 的解为 (2015年北京 交通大学) 7.设a=(边,0,边,a2=(0,1,0),a3=(0-力,为欧几里得空间R的一个标准正交基,则R中 向量=(2,1,-2)在a1,a2,a3下的坐标为 (2017年北京交通大学) 在实线性空间R3,对于B3中的向量a=(x1,x2,x3),B=(y,y,),定义R3上的二元运算为(a,B)= x1y1+x2y2+x3y3,则R3成为欧氏空间,在此欧氏空间R3中,向量a=(1,2,2)的长度是 underline 向量a=(1,2,2)与向量B=(2,-1,0)之间的夹角是 underline (2015年大连理工大学) 9.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基其度量矩阵为A=01-1|向量=a1-a,则 (2013年湖南师范大学)
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (Óºòm‹©) ò. WòK 1. 3ÓºòmR4•, ï˛α = (1, 2, 2, 3), β = (3, 1, 5, 1)Yhα, βi= . (2011cÆœåÆ) 2. 3ÓºòmR4•, ï˛α = (1, 1, 1, 2), β = (3, 1, −1, 0)Yhα, βi= . (2013cÆœå Æ) 3. R 2×1•S»èα 0 β) = α 0 Aβ, A = 2 1 1 2 ! , K 1 2 ! , 0 1 ! 3dS»Ée›˛› è . (2015cÆœåÆ) 4. ε1, ε2, · · · , εn¥ÓºòmV ò|IOƒ, u ∈ V , Ö(u, ε1) 2 + (u, ε2) 2 +· · ·(u, εn) 2 = 4, Kkuk = . (2015cÆœåÆ) 5. n È°› UÏÉq©a, k a. (2015cÆœåÆ) 6. A = (ai,j )n×nèn › , Öa11 = −1, K› êßAx = 1 0 . . . 0 )è . (2015cÆ œåÆ) 7. α1 = ( √ 1 2 , 0, √ 1 2 ), α2 = (0, 1, 0), α3 = ( √ 1 2 , 0, − √ 1 2 ), èÓApòmR 3òáIOƒ, KR 3• ï˛ξ = (2, 1, −2)3α1, α2, α3 eãIè . (2017 cÆœåÆ) 8. 3¢Ç5òmR 3 , ÈuR 3•ï˛α = (x1, x2, x3), β = (y1, y2, y3), ½¬R 3˛$éè(α, β) = x1y1+x2y2+x3y3,KR 3§èÓºòm, 3dÓºòmR 3•, ï˛α = (1, 2, 2)›¥ underline , ï˛α = (1, 2, 2)Üï˛β = (2, −1, 0)ÉmY¥ underline . (2015cåÎnÛåÆ) 9. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, Ÿ›˛› èA = 3 0 0 0 1 −1 0 −1 2 , ï˛β = α1−α2, K|β| = . (2013c HìâåÆ) 1 厦门大学《高等代数》
10.设W=L(a1,a2)是欧氏空间R4中由向量a1=(1,1,0,0),a2=(0,1,1,0)生成的子空间,则W的正交 补空间W的一个标准正交基为 (2015年湖南师范大学 11i设3维欧氏空间v的一组基a1,a2.3的度量矩阵为-120.则向量2a1+302-a3的长 003 度为 2.设3维欧氏空间一组基a1a2,a3的度量矩阵为030,则向量2a1+3a2-a3的长度 为 13.设V为3维欧氏空间,E1,e2,e3为V的标准正交基,如果基a1=E1+e2+E3,a2=E1+E2,a3=E1 则基a1,a2,a3的度量矩阵为 14设三阶实对称矩阵A的特征值分别为a,a,b(a≠b),如果(1,1,1),(1,0,1)为A的对应于特征值a的 特征向量,则矩阵A对应于特征值b的特征向量为 15.设A∈cnxn.若A是酉矩阵,则 二.选择题 设A,B均为π阶实对称矩阵,且均可逆,Δ表示某对角矩阵,则下列命题中不正确的是().(2016年北 京交通大学) (A)存在可逆矩阵P,使P-1(A+B)P=A (B)存在正交矩阵Q,使Q-1(4-1+B-1)Q (C)存在正交矩阵Q,使Q(A*+B)Q=A (D)存在可逆矩阵P,使P-14)P=A 2.().(2016年北京交通大学) 2 (B)-(ad-bc)2 (C)a2d2-b222 (D)b2c2-a2d2 3.设V为n维欧氏空间,则( A.A中存在非零正交向量组a1,a2,…,an+1 B.V的任意一个基的度量矩阵是正定矩阵; C.如果W是V的子空间,则W的正交补W不唯 D.V中标准正交基的过渡矩阵是正交阵 三计算题
10. W = L(α1, α2)¥ÓºòmR 4•dï˛α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (0, 1, 1, 0) )§fòm, KW ÷òmW⊥òáIOƒè . (2015c HìâåÆ) 11. 3 ëÓºòm V ò|ƒ α1, α2, α3 ›˛› è 1 −1 0 −1 2 0 0 0 3 . Kï˛ 2α1 + 3α2 − α3 ›è . 12. 3 ëÓºòmò|ƒ α1, α2, α3 ›˛› è 1 0 −1 0 3 0 −1 0 1 , Kï˛ 2α1 + 3α2 − α3 › è . 13. V è3 ëÓºòm, ε1, ε2, ε3 è V IOƒ, XJƒ α1 = ε1 +ε2 +ε3, α2 = ε1 +ε2, α3 = ε1 Kƒ α1, α2, α3 ›˛› è . 14. n ¢È°› A Aä©Oè a, a, b(a 6= b), XJ(1,1,1),(1,0,1) è A ÈAuAä a Aï˛, K› A ÈAuAä b Aï˛è: . 15. A ∈ C n×n . e A ¥j› , K . . ¿JK 1. A, B˛èn ¢È°› , Ö˛å_, ΛL´,È› , Ke·K•ÿ(¥( ). (2016c ÆœåÆ) (A)3å_› P, ¶P −1 (A + B)P = Λ (B)3› Q, ¶Q−1 (A−1 + B−1 )Q = Λ (C)3› Q, ¶QT (A? + B? )Q = Λ (D)3å_› P, ¶P −1A)P = Λ 2. ( ). (2016cÆœåÆ) (A) (ad − bc) 2 (B) −(ad − bc) 2 (C) a 2d 2 − b 2 c 2 (D) b 2 c 2 − a 2d 2 3. V è n ëÓºòm, K( ) A. A •3ö"ï˛| α1, α2, · · · , αn+1 ; B. V ?øòმ˛› ¥½› ; C. XJ W ¥ V fòm, K W ÷ W⊥ ÿçò; D. V •IOƒLfi› ¥ . n.OéK 2 厦门大学《高等代数》
1.令]3的内积为(f,g)=/21f(x)9(x)d,3的基为=1,f1=x,=x2试应用施密特正交化方 法求R[z]3的一组标准正交基.(2009年北京交通大学) 2.设1,e2,E3,4,E5是欧氏空间V的一组标准正交基,V=L(a1,a2,a3),其中a1=1+εs,a2=c E2+E4,a3=21+E2+E3,求V的一组标准正交基.(2012年北京交通大学) 3.在欧氏空间Rn中,设W为 2x1+x2+3x3-x4=0, 0 的解空间,求W址=?(2013年北京交通大学 4.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基,这组基的度量矩阵是A 120,求V的一组标准正 交基.(2015年北京交通大学) 011 20 5.设A=101,求正交矩阵Q,使得Q1AQ=0-10(201年大连理工大学 6.设q1,g,g3是三个四元实列向量,并记Q=(q1q,q3),若q1,q2g3两两正交且长度相等,则 (1)求齐次线性方程组Qx=0的解空间的维数: (2)求Qx=q1+2g+4g3的最小二乘解 (3)设是q1,g,g3生成的线性空间之外的一个四元列向量,通过对q,g,93,U进行施密特正交化,写出 第四个正交列向量q4-(2013年大连理工大学 7.设A=201,求一个正交矩阵Q,使得Q1AQ为对角矩阵.(2013年大连理工大学 002 s.试确定正交矩阵T,使得TAT为对角矩阵,其中A=-11-1.(201年湖南大学) 9求正交矩阵Q,使得QAQ为对角矩阵,并写出此对角矩阵,其中A 1200 0001·(2015年湖南大学) 0010 10.设a1,a2,a3是3维欧氏空间v的一组基,度量矩阵为 1-12 12-1
1. -R[x]3S»è(f, g) = R 1 −1 f(x)g(x)dx, R[x]3ƒèf0 = 1, f1 = x, f2 = x 2 ,£A^ñóAzê {¶R[x]3ò|IOƒ. (2009 cÆœåÆ) 2. ε1, ε2, ε3, ε4, ε5¥ÓºòmV ò|IOƒ, V1 = L(α1, α2, α3), Ÿ•α1 = ε1 + ε5, α2 = ε1 − ε2 + ε4, α3 = 2ε1 + ε2 + ε3, ¶V1ò|IOƒ. (2012cÆœåÆ) 3. 3ÓºòmR n•, Wè 2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0, 3x1 + 2x2 − 2x4 = 0, 3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0. )òm, ¶W⊥ =? (2013cÆœåÆ) 4. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, ˘|ƒ›˛› ¥A = 1 −1 1 −1 2 0 1 0 4 , ¶V ò|IO ƒ. (2015cÆœåÆ) 5. A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 , ¶› Q, ¶Q−1AQ = 2 0 0 0 −1 0 0 0 −1 . (2011cåÎnÛåÆ) 6. q1, q2, q3¥náo¢ï˛, øPQ = (q1, q2, q3), eq1, q2, q3¸¸Ö›É , K (1)¶‡gÇ5êß|Qx = 0)òmëÍ; (2)¶Qx = q1 + 2q2 + 4q3Ŷ); (3)v¥q1, q2, q3)§Ç5òmÉ òáoï˛, œLÈq1, q2, q3, v?1ñóAz, — 1oáï˛q4. (2013cåÎnÛåÆ) 7. A = 3 2 1 2 0 1 0 0 2 , ¶òá› Q, ¶Q−1AQèÈ› . (2013cåÎnÛåÆ) 8. £(½› T, ¶T 0 ATèÈ› , Ÿ•A = 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 . (2011c HåÆ) 9. ¶› Q, ¶QT AQèÈ› , ø—dÈ› , Ÿ•A = 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 . (2015c HåÆ) 10. α1, α2, α3¥3ëÓºòmV ò|ƒ, ›˛› è A = 1 −1 2 −1 2 −1 2 −1 6 3 厦门大学《高等代数》
(1)求B=a1+a2的长度 (2)求参数A的值,使得γ=a1+a2+Aa3与B正交.(2012年湖南大学) 11.设3阶实对称矩阵A的特征值为h=-1,A2=A3=1,且入对应的特征向量为a1=(0,1,1),试计算 (1)求矩阵A对应于特征值1的特征向量; (2)求矩阵A (3)求正交矩阵T,使得TAT为对角矩阵(2014年湖南大学 12.设A∈Rmxn是m×n阶实矩阵,b∈R是实m维向量,A表示矩阵A的转置.证明 (1)线性方程组Ax=b有解的充要条件是b与齐次线性方程组Ax=0的解空间正交 (2)若线性方程组Ax=b无解,则存在∈Rn,使得对vx∈Rn,有 AB-b≤Ax-b 其屮l|=√,为R中内积.(2017年湖南大学) 13.设矩阵A 求一个正交矩阵T,使TAT为对角阵.(2015年华东师范大学) 14.已知矩阵A= 求正交矩阵Q,使得Q-1AQ为对角矩阵,并写出得到的对角矩阵 2016年华东师范大学 15.已知实对称矩阵A=141|,求一个正交矩阵r,使rAT为对角阵(2017年华东师范大学) 2-12 16.设矩阵A 122.求一个正交矩阵P,使PAP为对角阵,并写出该对角阵.(2018年华东师 221 范大学) 17.设1,E2,3是欧氏空间V上的一组标准正交基,设 a1=E1+E2-E3,a2=E1-E2-E3, W=L(a1,a2) (1)求W的一组标准正交基 (2)求W的一组标准正交基 (3)求a=E2+2=3在W中的内射影(即求B∈W,使a=B+7,7∈W-),并求a到W距离.(2009年华南 理工大学
(1)¶β = α1 + α2›. (2)¶ÎÍλä, ¶γ = α1 + α2 + λα3Üβ. (2012c HåÆ) 11. 3 ¢È°› AAäèλ1 = −1, λ2 = λ3 = 1, Öλ1ÈAAï˛èα1 = (0, 1, 1)0 , £Oé: (1)¶› AÈAuAä1Aï˛; (2)¶› A; (3)¶› T, ¶T 0 ATèÈ› . (2014c HåÆ) 12. A ∈ R m×n¥m × n ¢› , b ∈ R m¥¢mëï˛, ATL´› A=ò. y²: (1)Ç5êß|Ax = bk)øá^á¥b܇gÇ5êß|Ax = 0)òm; (2)eÇ5êß|Ax = bÃ), K3xb ∈ R n, ¶È∀x ∈ R n, k k Axb − b k≤k Ax − b k, Ÿ•k x k= √ , èR n•S». (2017c HåÆ) 13. › A = 1 −2 −2 −2 −2 1 −2 −2 −2 −2 1 −2 −2 −2 −2 1 ¶òá› T, ¶T 0 ATèÈ . (2015 cu¿ìâåÆ) 14. Æ› A = 3 1 0 −1 1 3 −1 0 0 −1 3 1 −1 0 1 3 ¶› Q, ¶Q−1AQèÈ› , ø—È› . (2016cu¿ìâåÆ) 15. ƢȰ› A = 4 1 1 1 4 1 1 1 4 , ¶òá› T, ¶T 0 ATèÈ . (2017cu¿ìâåÆ) 16. › A = 1 3 2 −1 2 −1 2 2 2 2 1 , ¶òá› P, ¶P T APèÈ , ø—TÈ . (2018cu¿ì âåÆ) 17. ε1, ε2, ε3¥ÓºòmV ˛ò|IOƒ, α1 = ε1 + ε2 − ε3, α2 = ε1 − ε2 − ε3, W = L(α1, α2). (1)¶Wò|IOƒ; (2)¶W⊥ò|IOƒ; (3)¶α = ε2 + 2ε33W•SK(=¶β ∈ W, ¶α = β + γ, γ ∈ W⊥), ø¶αWÂl. (2009cuH nÛåÆ) 4 厦门大学《高等代数》
18.设V为4维欧氏空间,E1,E2,3,E4为V的一组标准正交基,令 a1=E2+E3+E4,a2=E1+E3+E4:03=E1+E2+E4:a4=E1+E2+E (1)将a1,a2,a3a4化为单位正交的向量组1,B2,B3,月4 (2)求由基1,E2,E3,E4到基1,B2,B3,B4的过渡矩阵 (3)令W1=L(a1,a2),U1=W;W2=L(a2,a4) W2.试用基向量=1,E2,E3,E4表示子空 间U1+U2,并确定其维数.(2013年华南理工大学) 19.已知a1,a2,a3是三维欧氏空间v的一组基,且这组基的度量矩阵为 120 求V的一组标准正交基(用a1,a2,a3表示出来).(2017年华南理工大学) 20.在Pn空间中,已知线性变换在任一基c下的坐标均为(1,1,…,1)y,其中e1为单位矩阵 的第i列的列向量 (1)求T得特征值 (2)求Rn的一组标准正交基,使得T在这一组基下的矩阵为对角阵(2010年华中科技大学 1.设a,B,7是欧氏空间Rn的向量,并且 a+B+y=0. (1)如果(a,B)>0,证明(a,)>0,(8,)>0,并且|h|>max{a,} (2)如果(a,B)max{(a,B),(B,)},并且||>max{lal,|} (3)试说明(1)与(2)的几何含义.(2013年华中科技大学) 22.实质为 求正交阵使其对角化(2015年华中科技大学) 23.设实对称矩阵 2-22 -2-1a 的特征值之和等于0,特征值之积等于54.求a,b的值,并求正交矩阵T使得TAT为对角矩阵
18. V è4ëÓºòm, ε1, ε2, ε3, ε4 èV ò|IOƒ, - α1 = ε2 + ε3 + ε4, α2 = ε1 + ε3 + ε4, α3 = ε1 + ε2 + ε4, α4 = ε1 + ε2 + ε3, (1)Úα1, α2, α3, α4z踆ï˛|β1, β2, β3, β4; (2)¶dƒε1, ε2, ε3, ε4 ƒβ1, β2, β3, β4Lfi› ; (3)-W1 = L(α1, α2), U1 = W⊥ 1 ; W2 = L(α2, α4), U2 = W⊥ 2 . £^ƒï˛ε1, ε2, ε3, ε4 L´fò mU1 + U2, ø(½ŸëÍ. (2013cuHnÛåÆ) 19. Æα1, α2, α3¥nëÓºòmV ò|ƒ, Ö˘|ƒ›˛› è A = 1 −1 1 −1 2 0 1 0 4 , ¶V ò|IOƒ(^α1, α2, α3L´—5). (2017cuHnÛåÆ) 20. 3 Rn òm•, ÆÇ5CÜ A 3?òƒ ei eãI˛è (1, 1, · · · , 1)0 , Ÿ• ei 踆› 1 i ï˛. (1) ¶ T Aä. (2) ¶ Rn ò|IOƒ, ¶ T 3˘ò|ƒe› èÈ .(2010cu•âEåÆ) 21. α, β, γ ¥Óºòm R n ï˛, øÖ α + β + γ = 0. (1) XJ (α, β) > 0 , y² (α, γ) > 0,(β, γ) > 0 , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (2) XJ (α, β) max{(α, β),(β, γ)} , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (3) £`²(1) Ü(2) A¤¹¬.(2013cu•âEåÆ) 22. ¢üè 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ¶ ¶ŸÈz.(2015cu•âEåÆ) 23. ¢È°› A = 2 −2 2 −2 −1 a 2 a b AäÉ⁄ u0, AäÉ» u-54. ¶ a, b ä, ø¶› T ¶ T 0AT èÈ› . 5 厦门大学《高等代数》
0 6 24.设实对称矩阵A=020(b>0,已知A的全部特征值之和为1,积为-12 b0-2 (1)求a,b的值: (2)求一个正交矩阵T,使得T"T是对角矩阵 25.设3级实对称矩阵A的秩为2,A1=A2=6是A的二重特征值,a1=(1,1,0)′,a2=(2,1,1)’都是 A的属于特征值6的特征向量. 1.求A的另一特征值及其全部特征向量 2.求矩阵A 22-2 6.设A=25-4.试求一个正交矩阵T使得TAT=D为对角矩阵,并写出此对角矩阵D 27.设A 0-11 试求一正交矩阵T,使TAT成对角形 101 2-10 已知三维欧几里得空间v中一组基a12a3,其度量矩阵为4=-121|,求向量B 2a1-a3的长度 3-1-1 1-1-3,求A的若尔当标准型J,并求可逆矩阵T使得T-1AT=J 002 0.设实矩阵 1211 1001 0111 0001 试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积 31设V为一个欧氏空间.T为V到V的一个映射满足条件:l=a,v∈V试问T是否 定是V上的正交变换?说明理由 32.判断下列论断是否正确,并说明理由 设a,为n维实线性空间V上的两个线性变换,,日a=s,又已知,都存在特征 向量,则,必存在公共的特征向量 33(20分)已知矩阵A=230|,求正交矩阵Q和上三角矩阵T,使得A=QT
24. ¢È°› A = a 0 b 0 2 0 b 0 −2 (b > 0), Æ A ‹AäÉ⁄è 1, »è −12. (1) ¶ a, b ä; (2) ¶òá› T, ¶ T 0AT ¥È› . 25. 3?¢È°› A ùè2, λ1 = λ2 = 6 ¥ A Aä, α1 = (1, 1, 0)0 , α2 = (2, 1, 1)0 —¥ A ·uAä6 Aï˛. 1. ¶ A ,òAä9Ÿ ‹Aï˛. 2. ¶› A . 26. A = 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 . £¶òá› T ¶T 0AT = D èÈ› , ø—dÈ› D . 27. A = 0 1 1 −1 1 0 −1 1 1 −1 0 1 −1 1 1 0 , £¶ò› T , ¶ T 0AT §È/. 28. ÆnëÓApòm V •ò|ƒ α1, α2, α3, Ÿ›˛› è A = 2 −1 0 −1 2 1 0 1 1 , ¶ï˛ β = 2α1 − α3 ›. 29. A = −3 −1 −1 1 −1 −3 0 0 2 , ¶ A eIO. J, ø¶å_› T ¶ T −1AT = J. 30. ¢› A = 1 2 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 . £Ú A §òá› Q Üòá˛n› T ¶». 31. V èòáÓºòm. T è V V òáN. ˜v^á: |T α| = |α|, ∀α ∈ V. £Ø T ¥ƒ ò½¥ V ˛CÜ? `²nd. 32. ‰eÿ‰¥ƒ(, ø`²nd. A , B è n ë¢Ç5òm V ˛¸áÇ5CÜ, , F A B = BA , qÆ A , B —3A ï˛, K A , B 73˙Aï˛. 33. (20 ©) Æ› A = 1 2 −3 2 3 0 −2 −2 0 , ¶› Q ⁄˛n› T, ¶A = QT. 6 厦门大学《高等代数》
4.(15分)设A是3阶实对称矩阵,而且dt(4)=4,特征值为11如果-1.0为A特 征向量,求A 35.(x1,x2,x3)=x1+2x2-x3,求线性变换a在一组标准正交基下的矩阵 36.求酉矩阵P,使PAP为对角矩阵其中A=-0 37.一矩阵P称为酉阵,若PP*=E,P*为P的共轭转置,求酉阵P,使PAP为对角阵,其中 A 004 38.(20分)(1)在R2中内积定义为 x,y)=4x1y1+x2y2 其中x=(x1,x2),y=(v,v)'∈R2.令S={x:‖c=1},Ⅲ表示向量的长度,说明S是什么形 状的图形,并画出草图 (2)令 证明W关于矩阵的加法和数乘成为R上的线性空间,并求出W的维数,给出W的一组基 39.设V是实数域上所有n阶对称矩阵所构成的线性空间,对于任意A,B∈V,定义(A,B)=tr(AB 其中tr(AB)表示矩阵AB的主对角线上数的和 (1)证明V构成一欧氏空间; (2)求子空间S={4tr(4)=0}的维数和一组基; (3)求S的正交补的一组基和维数 40.把3维单位向量 (1,1,1) 扩充为3维欧氏空间R3的标准正交基 41.(15分)设V=R4是实数域R上通常的4维欧氏空间,1=(,是,,)和e2=(,号,是,号),求V 中向量e3,E4使得E1,E2,e3,E4为V的一组标准正交基. 7
34. (15 ©) A ¥3 ¢È°› , Ö det(A) = 4, Aäè 1, 1, λ, XJ 1 −1 0 , 1 0 −1 è A A ï˛, ¶ A . 35. A (x1, x2, x3) = 2x1 + x2 + x3 x1 + 2x2 − x3 x3 , ¶Ç5CÜ A 3ò|IOƒe› . 36. ¶j› P, ¶ P ∗AP èÈ› , Ÿ• A = −1 i 0 −i 0 −i 0 i −1 . 37. ò› P °èj , e P P∗ = E, P∗ è P ›=ò, ¶j P, ¶ P ∗AP èÈ , Ÿ• A = 0 0 3 0 0 4 −3 −4 0 38. (20 ©) (1)3 R2 •S»½¬è hx, yi = 4x1y1 + x2y2 Ÿ• x = (x1, x2), y = (y1, y2) 0 ∈ R2 . - S = {x : kxk = 1}, kk L´ï˛›, `² S ¥üo/ G„/, øx—˙„. (2) - W = (" a b c d # : 2a − b + 3c + d = 0, a, b, c, d ∈ R ) y² W 'u› \{⁄Ͷ§è R ˛Ç5òm, ø¶— W ëÍ, â— W ò|ƒ. 39. V ¥¢Í粧k n È°› §§Ç5òm, Èu?ø A, B ∈ V, ½¬ (A, B) = tr(AB) Ÿ• tr(AB) L´› AB ÃÈDzÍ⁄. (1) y² V §òÓºòm; (2) ¶fòm S = {A|tr(A) = 0} ëÍ⁄ò|ƒ; (3) ¶ S ÷ò|ƒ⁄ëÍ. 40. r3ë¸†ï˛ γ1 = 1 √ 3 (1, 1, 1) *øè3 ëÓºòm R 3 IOƒ. 41. (15 ©) V = R 4 ¥¢ÍçR ˛œ~4 ëÓºòm, ε1 = 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ⁄ε2 = 1 2 , −1 2 , 1 2 , −1 2 , ¶V •ï˛ ε3, ε4 ¶ ε1, ε2, ε3, ε4 è V ò|IOƒ. 7 厦门大学《高等代数》
42.在3维实向量空间中,定义x=(x1,x2,x3)2与y=(yn,y,3)的内积如下 y/3 这样定义了一个欧氏空间,求这个欧氏空间中的包含e1=(x1,x2,x3)在内的一组标准正交基 {e1,e2,e3} 43.设3阶正定对称实方阵A的特征值为0,3,3,而(1,1,1)是特征值6的特征向量,求A 44.三维欧氏空间V=R3到自身的一个映射φ:V→V称为运动,如果它是一个正交变换与一个平移 的合成,即存在一个正交变换a:V→V及一个向量v∈V使得对任意v∈V有 (v) 给出一个运动φ,使得如(0)≠0且φ=id(这里0∈V为零向量,φ5为5个φ的合成,idn 为V到自身的单位映射) 45.求齐次线性方程组 +x2-x3-T5=0 的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基 46.设a,B,y为三维欧氏空间V的一组标准正交基,求V的一个正交变换,使得 a/()=3a-3B+37 47.设a1=(-1,1),a2=(-1,-1)为欧氏空间R2的一组基(通常意义内积下),求这组基的度量矩阵 (2014年云南大学) 48.用 Gram-Schmidt正交化方法将R3(标准内积)的基{(1,1,1)x,(-1,0,-1)x,(-1,2,3)7}化为标准正 交基.(2010年中科大) 49.考虑2×2实方阵全体M2(F),对于任给的两个二阶方阵A,B,我们定义=tr(AB)这 里t表示迹,t表示矩阵转置. (1)试证明:是M2(R)上的一个内积 (2)在该内积下,试计算向量组 001/10 的Gram- Schmidt标准正交化 01/(00/(11)(0-1 (2016年中科大) 50.设x=(1,2,2,3),y=(3,1,5,1),求x与y的夹角.(2010年中山大学)
42. 33 ë¢ï˛òm•, ½¬ x = (x1, x2, x3) T Ü y = (y1, y2, y3) S»Xe: (x, y) = (x1, x2, x3) 1 1 1 1 2 1 1 1 4 y1 y2 y3 ˘½¬ òáÓºòm, ¶˘áÓºòm•ù¹ e1 = (x1, x2, x3) T 3Sò|IOƒ {e1, e2, e3} . 43. 3 ½È°¢ê A Aäè 0, 3, 3, (1, 1, 1)T ¥Aä6 Aï˛, ¶ A . 44. nëÓºòm V = R 3 g òáN φ : V → V °è$ƒ, XJߥòáCÜÜòá²£ ‹§, =3òáCÜ A : V → V 9òáï˛ v0 ∈ V ¶È?ø v ∈ V k φ(v) = A v + v0 â—òá$ƒ φ, ¶ φ(0) 6= 0 Ö φ 5 = idv ( ˘p 0 ∈ V è"ï˛, φ 5 è5 á φ ‹§, idv è V g ¸†N.) 45. ¶‡gÇ5êß| ( 2x1 + x2 − x3 + x4 − 3x5 = 0 x1 + x2 − x3 − x5 = 0 )òm(äè R5 fòm) ò|IOƒ. 46. α, β, γ ènëÓºòm V ò|IOƒ, ¶ V òáCÜ A , ¶ ( A (α) = 2 3 α + 2 3 β − 1 3 γ A (β) = 2 3 α − 1 3 β + 2 3 γ 47. α1 = (−1, 1), α2 = (−1, −1) èÓºòmR2 ò|ƒ£œ~ø¬S»e§ß¶˘|ƒ›˛› . (2014c HåÆ) 48. ^Gram-Schmidtzê{ÚR3 £IOS»§ƒ{(1, 1, 1)T ,(−1, 0, −1)T ,(−1, 2, 3)T } zèIO ƒ. (2010c•âå) 49. ƒ2 × 2 ¢ê NM2(R) ßÈu?â¸á ê A, B ߷ǽ¬= tr(ABt ) .˘ ptrL´,ßtL´› =ò. £1§£y²µ ¥M2(R) ˛òáS». £2§3TS»eߣOéï˛| 1 0 0 1! , 1 1 0 0! , 0 0 1 1! , 1 0 0 −1 ! Gram-SchmidtIOz. (2016c•âå) 50. x = (1, 2, 2, 3), y = (3, 1, 5, 1) ,¶xÜyY. (2010c•ÏåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
51.设W={(x,y,2):x+y-2z=0}sR3,求W的正交补空间.(2010年中山大学) 52.给定4维标准欧氏空间R4的一个基(1,e2,e3,e4),以此作为向量组的矩阵记为A.其中e1=(1,1,1,0),e2 (1,0,1,0),e3=(-1,0,0,1),e4=(1,-1,-1,1) (1)用正交化方法求R4的一个标准正交基; (2)求正交矩阵Q及主对角元大于零的上三角矩阵T使得A=AT.(2014年中山大学) 四证明题 1.设R为实数域,a1,a2,…,a,是n维欧氏空间n中的一线性无关向量组,其中Rn中的内积为标准内 积(a,B)=a·B,这里的向量a和都看成是1×n矩阵,用B表示(j)元为(a,a),1≤ij≤s 的s×s矩阵,对向量组a1,a2,…,a施行施密特( Schmidt)正交化过程后得到向量组,B2,…,B 证明:B=Ⅱ2其中表示向量B的长度.(2009年北京大学) i=1 2.线性变换A是对称变换,且A是正交变换,证明A是某个对合(即满足A2=E,E是单位变换).(2010年 北京大学 3.V是内积空间,,n是V中两个长度相等的向量,证明必存在某个正交变换,将变到n。(2010年北京大 学) 4.在n维欧氏空间中,证明两两夹角为钝角的向量个数最大值为n+1.(2012年北京大学) 5.在欧氏空间V中,对称变换称为”正的”,若对任意a∈V,都有(a,A(a)≤0成立当且仅当a=0时等 号成立.证明 (1)若线性变换A是正的,则A可逆 (2)若线性变换B是正的且A-B也是正的,则B-1-4-1也是正的 (3)对于任意正的线性变换A,总存在正的线性变换B,满足A+B2.(2014年北京大学) 6.用 Euclidean空间向量的夹角给出n阶正交矩阵的一般形式,给出证明.(2018年北京大学) 7.设n是欧氏空间中的一单位向量,定义(a)=a-2(n,a)n.证明: (1)是正交变换.这样的正交变换称为镜面反射; (2)如果n维欧氏空间中正交变换a以作为特征值,且属于特征值1的特征子空间v的维数为n-1, 则a一定是镜面反射.(2014年北京工业大学) 8.设y是欧氏空间V的线性变换,证明:y是正交变换的充分必要条件是对于任意a∈V,|(a)=|al (2010年北京交通大学) 9.设A,B为同阶正交矩阵,证明:若4+|B=0,则A+B=0.(2011年北京交通大学)
51. W = {(x, y, z) : x + y − 2z = 0} ⊆ R3 ,¶W÷òm. (2010c•ÏåÆ) 52. â½4ëIOÓºòmR4 òáƒ(e1, e2, e3, e4) ,±däèï˛|› PèA,Ÿ•e1 = (1, 1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1, 0), e3 = (−1, 0, 0, 1), e4 = (1, −1, −1, 1) . (1)^zê{¶R4 òáIOƒ; (2)¶› Q9ÃÈåu"˛n› T¶A = AT. (2014c•ÏåÆ) o.y²K 1. Rè¢Íç, α1, α2, · · · , αs¥nëÓºòmR n•òÇ5Ã'ï˛|, Ÿ•R n•S»èIOS »(α, β) = α · β 0 , ˘pï˛α⁄β—w§¥1 × n› , ^BL´(i, j)è(αi , αj ), 1 ≤ i, j ≤ s s × s › , Èï˛|α1, α2, · · · , αsñ1ñóA(Schmidt)zLßï˛|β1, β2, · · · , βs, y²: |B| = Qs i=1 kβik 2 .Ÿ•kβikL´ï˛βi›. (2009cÆåÆ) 2. Ç5CÜA¥È°CÜ, ÖA¥CÜ, y²A¥,áÈ‹(=˜vA2 = E, E¥¸†CÜ). (2010c ÆåÆ) 3. V ¥S»òm, ξ, η¥V •¸á›É ï˛, y²73,áCÜ, ÚξCη. (2010cÆå Æ) 4. 3nëÓºòm•, y²¸¸Yèðï˛áÍÅåäèn + 1. (2012cÆåÆ) 5. 3ÓºòmV •, È°CÜ°è””, eÈ?øα ∈ V , —k(α, A(α)) ≤ 0§·Ö=α = 0û “§·. y²: (1)eÇ5CÜA¥, KAå_. (2)eÇ5CÜB¥ÖA − Bè¥, KB−1 − A−1è¥. (3)Èu?øÇ5CÜA, o3Ç5CÜB, ˜vA + B2 . (2014 cÆåÆ) 6. ^Euclideanòmï˛Yâ—n › òÑ/™, â—y². (2018cÆåÆ) 7. η¥Óºòm•ò¸†ï˛, ½¬A (α) = α − 2(η, α)η. y²: (1)A ¥CÜ. ˘Cܰ躰á; (2)XJnëÓºòm•CÜA ±1äèAä, Ö·uAä1AfòmV1ëÍèn − 1, KA ò½¥º°á. (2014cÆÛíåÆ) 8. ϕ¥ÓºòmV Ç5CÜ, y²: ϕ¥CÜø©7á^á¥Èu?øα ∈ V , |ϕ(α)| = |α|. (2010cÆœåÆ) 9. A, Bè” › , y²: e|A| + |B| = 0, K|A + B| = 0. (2011cÆœåÆ) 9 厦门大学《高等代数》
10.设T是欧氏空间v的一个线性变换,如果对任意的a,B∈V都有(r(a),B)=(a,T(B),则称T为V的 个线性变换.证明:欧氏空间V的一个线性变换T是对称变换的充分必要条件是T在V的任意一组标 准正交基下的矩阵是对称矩阵.(2012年北京交通大学) 11.证明:若是正交方阵A的特征根,则入也是4的特征根.(2013年北京交通大学) 12.设V为欧氏空间,记+为向量的长度,证明:对任意向量a,B∈v,|(a,S‖al·,而且,当且仅 当a,B线性相关时,等号才成立.(2014年北京交通大学) 3.设向量空间R2按照某种(不一定是通常的)内积方式构成欧氏空间,记为V2.已知V2的两组基为 且a和的内积为(a1,B1)=1,(a1,B2)=15,(a2,B1)=-1,(a2,B2)=3 (1)求基(1)的度量矩阵A (2)求基(I)的度量矩阵B (3)求欧氏空间v的一个标准正交基.(2014年北京交通大学) 14.设V是n维欧氏空间,a是V的正交变换,v1={a|(a)=aa∈V,V={别=a()-,∈V.求证 V2=Ⅵ.求中Ⅵ表示V的正交补.(2017年北京交通大学 5.已知V是n维欧氏空间,a∈V,()==).证明: (1)为线性变换 (2)为正交变换 (3)2=ε(ε为恒等变换 (4)在一组标准正交基下,对应的矩阵为A=diag-1,1,1,…,1.(2016年北京科技大学) 16.已知A是正定矩阵,且A2=E,证明:E-A是奇异的.(2017年北京科技大学) 17.V1,V为欧氏空间v的子空间,证明:dimv1+dimV2=dim(v1+V)+dm(Vi∩v).(2013年北京师 范大学) 18.设实数域R中所有2阶对称阵构成的子空间v,在V中定义内积(A,B)=tr(AB) (1)证明V关于内积(A,B)=tr(AB)是一个欧氏空间 (2)求V的一组标准正交基 (3)在V中求向量A 和B 的夹角y; (0-(00),求子空间M=B∈V(BC)=0的维数(201年连理工大学) 9.设是欧几里得空间v上的一个正交线性变换,证明:若W是a的不变子空间,则正交补W士也是a的 不变子空间.(2012年大连理工大学)
10. T¥ÓºòmV òáÇ5CÜ, XJÈ?øα, β ∈ V —k(T(α), β) = (α, T(β)), K°TèV ò áÇ5CÜ. y²: ÓºòmV òáÇ5CÜT ¥È°CÜø©7á^á¥T3V ?øò|I Oƒe› ¥È°› . (2012cÆœåÆ) 11. y²: eλ0¥ê AAä, Kλ −1 0 è¥AAä. (2013cÆœåÆ) 12. V èÓºòm, Pk ? kèï˛›, y²: È?øï˛α, β ∈ V , |(α, β)| ≤k αk · kβk, Ö, Ö= α, β Ç5É'û, “‚§·. (2014cÆœåÆ) 13. ï˛òmR 2UÏ,´(ÿò½¥œ~)S»ê™§Óºòm, PèV 2 . ÆV 2¸|ƒè: (I)α1 = (1, 1), α2 = (1, −1); (II)β1 = (0, 2), β2 = (6, 12). Öαi⁄βiS»è(α1, β1) = 1, (α1, β2) = 15, (α2, β1) = −1, (α2, β2) = 3. (1)¶ƒ(I)›˛› A; (2)¶ƒ(II)›˛› B; (3)¶ÓºòmV 2òáIOƒ. (2014cÆœåÆ) 14. V ¥nëÓºòm, σ¥V CÜ, V1 = {α|σ(α) = α, α ∈ V , V2 = {β|β = σ(γ) − γ, γ ∈ V . ¶y: V2 = V ⊥ 1 . ¶•V ⊥ 1 L´V1 ÷. (2017cÆœåÆ) 15. ÆV ¥nëÓºòm, α ∈ V , A (ξ) = ξ = 2(ξ,α) (α,α) . y²: (1)A èÇ5CÜ; (2)A èCÜ; (3)A 2 = ε(εèð CÜ); (4)3ò|IOƒe, A ÈA› èA = diag−1, 1, 1, · · · , 1. (2016 cÆâEåÆ) 16. ÆA¥½› , ÖA2 = E, y²: E − A¥¤…. (2017cÆâEåÆ) 17. V1, V2èÓºòmV fòm, y²: dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2). (2013 cÆì âåÆ) 18. ¢ÍçR•§k2 È° §fòmV , 3V •½¬S»(A, B) = tr(AB). (1)y²V 'uS»(A, B) = tr(AB)¥òáÓºòm; (2)¶V ò|IOƒ; (3)3V •¶ï˛A = 1 1 1 1 ! ⁄B = −1 0 0 −1 ! Yϕ; (4)C = 1 0 0 0 ! , ¶fòmM = B ∈ V |(B, C) = 0ëÍ. (2011cåÎnÛåÆ) 19. A ¥ÓApòmV ˛òáÇ5CÜ, y²: eW¥A ÿCfòm, K÷W⊥è¥A ÿCfòm. (2012cåÎnÛåÆ) 10 厦门大学《高等代数》
