首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (数学类,2010) 填空题 xx2 1)设B>a>0,则 (2)若关于x的方程k+2=1(k>0)在区间(0,+∞)内有惟一实数解,则常数 k (3)设函数f(x)在区间ab上连续由积分中值公式有()=(x-a)f(5) (a≤5≤x0 证明:函数序列{f(x+n)n=1,2,…}在[O,上一致收敛于0 四、设D={(x,y):x2+y2+; (2)在D中∫与g有二阶偏导数, g+9 证明:f(x,y)≥g(x,y)在D内处处成立 五、设R={(x,y):0≤x≤10≤y≤1} R={(x,y):0≤x≤1-E:0≤y≤1-E 考虑积分=dxd dxy定 义 /= lim I
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010） 一、 填空题 (1) 设 β > > α 0 ，则 2 2 2 0 x x dx e e x −α −β +∞ − ∫ =_____________. (2) 若关于 x 的方程 2 1 kx k 1( 0) x += > 在区间 (0, ) +∞ 内有惟一实数解，则常数 k = _____________. (3) 设函数 f ( ) x 在区间 [,] a b 上连续 . 由积分中值公式有 () ( ) ( ) x a f t dt x a f = − ξ ∫ ( ) a xb ≤≤< ξ .若导数 f ( ) a + ′ 存在且非零，则 lim x a a x a ξ → + − − 的值等于_____________. (4) 设()6 a bc × = G GGi ，则( ) ( )( )( ) ab bc ac +×+ + GG GG GG i =_____________. 二 、 设 f ( ) x 在 ( 1,1) − 内有定义，在 x = 0 处可导，且 f (0) 0 = . 证 明 : 2 1 (0) lim 2 n n k k f f →∞ = n ⎛ ⎞ ′ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∑ . 三、设 f ( ) x 在 [0, ) ∞ 上一致连续，且对于固定的 x∈[0, ) ∞ , 当自然数 n → ∞ 时 fx n ( )0 + → . 证明: 函数序列{ ( ) 1,2, } fx n n + = ： " 在[0,1] 上一致收敛于 0. 四、设 2 2 D xy x y = +< {( , ) : 1}， f (, ) x y 在 D 内连续， gxy (, ) 在 D 内连续有界，且满足 条件： (1) 当 2 2 x y + →1时， f xy (, ) → +∞ ； (2) 在 D 中 f 与 g 有二阶偏导数， 2 2 2 2 f f f e x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ , 2 2 2 2 g g g e x y ∂ ∂ + ≥ ∂ ∂ . 证明： f (, ) (, ) xy gxy ≥ 在 D 内处处成立. 五、设 R xy x y = ≤≤ ≤≤ {( , ) : 0 1;0 1} R xy x y {( , ) : 0 1 ;0 1 } ε = ≤ ≤− ≤ ≤− ε ε . 考虑积分 R 1 dxdy I xy = − ∫∫ ， R 1 dxdy I ε xy ε = − ∫∫ ， 定义 0 I lim I ε ε → + =
(1)证明=∑ =(x+y) (2)利用变量替换: 计算积分的值,并由此推出=∑ v=-(-x 六、已知两直线的方程:L:x=y=-,:=2=2-b (1)问:参数a,b满足什么条 件时,L与L是异面直线? (2)当L与L不重合时,求L绕L旋转所生成的旋转面丌的方程,并指出曲面r的类 型 七、设A,B均为n阶半正定实对称矩阵,且满足n-1≤ rank A≤n.证明:存在实可逆矩 阵C使得CAC和CBC均为对角阵 八、设V是复数域C上的n维线性空间,J:→C(j=1,2)是非零的线性函数,且线 性无关 证明:任意的a∈V都可表为a=a1+a2,使得 f(a)=f1(ax2),f2(a)=f2(a1)
（1） 证明 2 1 1 n I n ∞ = = ∑ ； （2）利用变量替换： 1 ( ) 2 1 ( ) 2 u xy v yx ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ 计算积分 I 的值，并由此推出 2 2 1 1 6 n n π ∞ = = ∑ . 六、已知两直线的方程： Lx y z : = = ， : 1 1 x y zb L a − ′ = = .（1）问：参数 a b, 满足什么条 件时， L 与 L′ 是异面直线？ （2）当 L 与 L′ 不重合时，求 L′ 绕 L 旋转所生成的旋转面π 的方程，并指出曲面π 的类 型. 七、设 A B, 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足 n An −≤ ≤ 1 rank . 证明: 存在实可逆矩 阵C 使得 T T C AC C BC 和 均为对角阵. 八、设V 是复数域C 上的 n 维线性空间， : j f V → C ( j =1,2 ) 是非零的线性函数, 且线 性无关. 证明: 任意的α ∈V 都可表为α = + α α 1 2 ,使得 1 12 f f () ( ) α = α ， 2 21 f f () ( ) α = α