2008年湖南省大学生数学竞赛试题(数学专业类) 1.计算极 果1mxh x arctan2-y2atmn3,y≠0 2,设f(x) 当习y=0时,求f(xy) 3.计算三重积分∫(x2-xy+对+y2)b, 4.计算第一型曲线积分yd,其中为下列方程组确定的曲线 x2+y2+z2=a x+2=a. (a>0) 5.设函数f(x)在x=0附近可微。f(O0)=0,f(0)=a定 义数列 ()+(++(#) 证明{x}有极限并求其值 6,设f(x)是实系数多项式, (1)证明:x是f(x)的一个重根当且仅当f(x。)=f(x)=0 (2)若2x2+3x2-12x+a=0有重根,试确定常数a。 (3)设p(x)()均为多项式,证明;:若习有极值,则存在常数元使得p(x)-1(x)有 4)上述递命题是否成立?若成立,给出证明:若不成立,举出反例 7.证明函数x,sinx,e在任意区间上是线性无关的 8.(1)假设连续可微函数f(x)满足微分不等式m≤f(x)+f(x)≤M,x∈,其中 时常数,I是区间。证明:存在常数C,C2,使得m+Ce≤∫(x)≤M+C2e,x∈ (2)如果二次连续可微函数f(x)满足微分不等式m≤厂"(x)+2f(x)+f(x)5M,x∈1
其中mM时常数,I是区间。试对f(x)给出类似结论1的估计式(不需要证明过程 9.设是数域Ω上向量空间,u1,u2…,u,是V中一组线性无关的向量, =0.a∈5 证明T是P的子空间,且dmT=n-1 10.设A是半正定矩阵,证明存在惟一一个半正定矩阵B使得A=B2
