电力系统潮流计算中结点阻抗矩阵的分块公式 1问题的提出 在一个有n+1个结点,b条线的电力网中,各结点上给定电功率Sk=Pk+jQk,k= 1,2,…,n(发电厂为输入功率,负荷点为输出功率),要求各结点k上的电压Ⅴ,使得在各 结点上的电压Ⅴ与结点电流的公轭Ⅰk的乘积Vk就等于Sk.这里线路上的阻抗Z(或 导纳ve=1/Z)都是给定的 在电工理论中,按结点分析的方法,结点电流与结点电压之间的关系是 Ⅰ=YVV=Y-1=Z1 这里I是结点电流向量,V是结点电压向量,Y与Z都是n阶矩阵,Y称为结点导 纳矩阵矩阵,Z称为结点阻抗矩阵. 设Y=(km)n,Z=(xkm)mn,于是问题就成为求方程组 Sk-v∑ ykm vm=0(k=1,2 或 Sk-k∑kmLm=0(k=1,2,…,n) 的解.利用Y的,叫做结点导纳矩阵的方法:利用Z的,叫做结点阻抗矩阵的方法,这 里主要是结点阻抗矩阵的方法 2结点导纳矩阵与结点阻抗矩阵的求法 在电工理论中,求结点导纳矩阵的方法是比较简单的,如果有向网络的衔接矩阵是 A(它是n×b的矩阵),各线路上的导纳是m1,y2,……,3,则结点导纳矩阵就是 Y=Adiag(1, 32, .. yb)A 例如,如图所示的一个简单的有向网络,O点是参考点
✁✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑✒✓ 1 ✔✕✖✗✘ ✙✚✛✜ n+1 ✛✢✣✤b ✥✦✧★✩✪✫✤✬✢✣✭✮✯★ ✰✱ Sk = Pk +jQk, k = 1, 2, · · · , n(✲★✳✴✵✶✰✱✤✷✸✣✴✵✹✰✱), ✺✻✬✢✣ k ✭ ✧★✼ Vk, ✽✾✙✬ ✢✣✭✧★✼ Vk ✿ ✢✣★ ❀ ✧❁❂ ˙Ik ✧❃❄ Vk ˙Ik ❅❆❇ Sk. ❈❉✦❊✭ ✧❋● Ze(❍ ■❏ ye = 1/Ze) ❑▲✮✯✧▼ ✙ ★ ◆❖P✫✤◗✢✣❘❙✧❚❯✤✢✣★ ❀ ✿ ✢✣★ ✼❱❲✧❳❨▲ ˙I = Y V, V = Y −1 ˙I = Z ˙I, ❈❉ ˙I ▲ ✢✣★ ❀❩❬✤ V ▲ ✢✣★ ✼❩❬✤ Y ✿ Z ❑▲ n ❭❪❫✤ Y ❴ ✴✢✣■ ❏ ❪❫❪❫✤ Z ❴ ✴✢✣❋●❪❫▼ ❵ Y = (ykm)nn, Z = (zkm)nn, ❇▲❛❜ ❅❝✴ ✻❚❞❡ Sk − Vk Xn m=1 ykmV˙m = 0 (k = 1, 2, · · · , n) ❍ Sk − ˙Ik Xn m=1 zkmIm = 0 (k = 1, 2, · · · , n) ✧❢▼❣❤ Y ✧ ✤✐❥✢✣■❏❪❫✧❚❯❦❣❤ Z ✧ ✤✐❥✢✣❋●❪❫✧❚❯✤ ❈ ❉❧✺▲✢✣❋●❪❫✧❚❯▼ 2 ♠♥♦♣qrs♠♥t✉qr✖✈✇ ✙ ★ ◆❖P✫✤ ✻ ✢✣■❏❪❫✧❚❯▲①②③④✧ ✤⑤⑥✜❩✪⑦ ✧⑧⑨❪❫▲ A(⑩▲ n × b ✧❪❫), ✬ ✦❊✭ ✧ ■❏▲ y1, y2, · · · , yb, ❶ ✢✣■❏❪❫❅▲ Y = Adiag(y1, y2, · · · , yb)A 0 . ❷⑤✤⑤❸❹❺✧ ✚✛③④✧ ✜❩✪⑦✤ O ✣ ▲❻❼✣✤ 1
衔接矩阵是 11000 A 0 101 1001-1 其中i行表示第讠个端点,j列表示导纳y(如下的矩阵同) 则结点导纳矩阵是 V1+ y2 Adiag(y1, y2, 3, y4, y5 6)A y2y+33+y -35 y1+y4+y5 这是一个很简单的形成办法:矩阵Y中yk就是与结点k相接的各线的导纳之和,yk 就是结点k与结点l之间联线的导纳的负数(若结点k与l结点之间没有联线,则导纳 为零) 结点阻抗矩阵Z是导纳矩阵Y的逆矩阵,所以要求结点阻抗矩阵就要求一n阶逆 矩阵,在η比较大的情况下,求解逆矩阵z就比较困难,就是使用电子计算机,当η很 大的时候,譬如有四,五百个结点,由于计算机的內存有限,也算不出Z来.近些年来, 国外有用所谓分块的方法来计算,Kron利用分块方法求结点阻抗矩阵的公式,利用所 谓正交网络的概念给了证明,但证明很复杂,我们这里给出一个简单的代数证明 3分块结点阻抗矩阵的公式 设把网络G分成S块G1,G2,…,Gs;块与块之间有若干联线称为切断线,共t条,切 断线的端点设为a1,a2,a3,…;b1,b2 d1,d2,…如图所示.G;的结点导纳 矩阵为Y,结点阻抗矩阵为Z1=Y2-1,又设切断线上的导纳各为,y2,…,vi;z=1/y, 结点与切断线之间的衔接矩阵为C,C是n×t矩阵,例如如图所示的衔接 矩阵C是
⑧⑨❪❫▲ A = −1 1 0 0 0 0 −1 1 0 1 1 0 0 1 −1 ❽✫ i ❾❿❺➀ i ✛➁✣✤ j ➂❿❺■❏ yj .(⑤➃✧❪❫➄) ❶ ✢✣■❏❪❫▲ Adiag(y1, y2, y3, y4, y5y6)A 0 = y1 + y2 −y2 −y1 −y2 y2 + y3 + y5 −y5 −y1 −y5 y1 + y4 + y5 ❈▲✚✛➅③④✧➆❝➇❯❦❪❫ Y ✫ ykk ❅▲✿ ✢✣ k ➈⑨✧✬ ✦✧■❏❱➉✤ ykl ❅▲ ✢✣ k ✿ ✢✣ l ❱❲➊ ✦✧■❏✧ ✷➋ ( ➌ ✢✣ k ✿ l ✢✣❱❲➍✜➊✦ ✤ ❶ ■❏ ✴➎). ✢✣❋●❪❫ Z ▲ ■❏❪❫ Y ✧➏❪❫✤❹➐✺✻✢✣❋●❪❫❅✺✻✚ n ❭➏ ❪❫✤✙ n ① ②➑✧➒➓➃✤✻❢➏❪❫ Z ❅① ②➔→✤❅▲✽❤ ★ ➣↔↕➙✤➛ n ➅ ➑ ✧➜➝✤➞⑤✜➟✤➠➡✛✢✣✤➢ ❇ ↔↕➙✧➤➥✜➦✤➧↕➨✹ Z ➩▼➫➭➯➩ ✤ ➲➳✜❤❹➵❘➸✧❚❯➩↔↕✤ Kron ❣❤❘➸❚❯✻✢✣❋●❪❫✧❁➺✤❣❤❹ ➵➻➼✪⑦ ✧➽➾✮➚➪➶✤➹➪➶➅➘➴✤➷➬❈❉✮✹✚✛③④✧➮➋➪➶▼ 3 ➱✃♠♥t✉qr✖❐❒ ❵❮✪⑦ G ❘ ❝ S ➸ G1, G2, · · · , GS; ➸ ✿ ➸❱❲✜ ➌❰➊ ✦❴✴ÏÐ✦ ✤Ñ t ✥ ✤Ï Ð ✦✧➁✣❵✴ a1, a2, a3, · · · ; b1, b2, · · · ; c1, c2, · · · ; d1, d2, · · · . ⑤❸❹❺▼ Gi ✧ ✢✣■❏ ❪❫✴ Yi , ✢✣❋●❪❫✴ Zi = Y −1 i , Ò ❵ÏÐ✦ ✭ ✧ ■❏✬✴ y1, y2, · · · , yt ; zi = 1/yi , ✢✣✿ ÏÐ✦ ❱❲✧⑧⑨❪❫✴ C, C ▲ n × t ❪❫✤❷⑤⑤❸❹❺✧⑧⑨ ❪❫ C ▲ 2
又设 g(21, 22 gy1, y 显然y1=Z,令 CtZC diag( 其中diag(21,2,…,z)=L,则 CtZC+Z=Z 于是整体网络的结点阻抗矩阵L的公式是 Z==Z-ZCZ-ICiZ( 这个公式的好处,就在于要求出阻抗矩阵Z,只要求出分块的阻抗矩阵Z1,…,Zr,以 及一个r阶矩阵Z的逆矩阵,然后利用公式(1)就可以得出Z,特别在使用计算机时, 存储量可以大大减少 4公式(1)的证明 按照2中所说的方法做结点导纳矩阵Y 这里X显然是这样一个矩阵:若结点a是切断线的端点,而与a相接的切断线有P条, 它们的导纳各为犰,,…,v,则X中第a行第a列的元素为1+y2+…+孙;若切断
C = 1 1 · · · 1 1 −1 · · · −1 1 1 −1 · · · −1 · · · · · · · · · · · · −1 · · · −1 Ò ❵ Z = diag(z1, z2, · · · , zt), Y = diag(y1, y2, · · · , yt), ÓÔ Y −1 = Z, Õ CtZC + diag(z1, z2, · · · , zr) = Z, e ❽✫ diag(z1, z2, · · · , zr) = L, ❶ CtZCe + Z = Z, e ❇▲Ö×✪⑦ ✧ ✢✣❋●❪❫ L ✧❁➺▲ Z = Z − ZCZe−1CtZ (1) ❈ ✛ ❁➺✧ØÙ✤ ❅ ✙ ❇✺✻✹ ❋●❪❫ Z, Ú✺✻✹❘➸✧❋●❪❫ Z1, · · · , Zr, ➐ Û✚✛ r ❭❪❫ Ze ✧➏❪❫✤ÔÜ❣❤❁➺ (1) ❅Ý➐ ✾ ✹ Z, Þß✙ ✽ ❤↔↕➙➜ ✤ ➥à❬ Ý ➐➑➑áâ▼ 4 ❐❒ (1) ✖ãä ◗å 2 ✫❹æ✧❚❯❥✢✣■❏❪❫ Y , Y = diag(Y1, Y2, · · · , Yr) + X = Y + X ❈❉ X ÓÔ▲❈ç✚✛❪❫❦➌ ✢✣ a ▲ ÏÐ✦✧➁✣✤è ✿ a ➈⑨✧ÏÐ✦ ✜ p ✥ ✤ ⑩ ➬ ✧ ■❏✬✴ y1, y2, · · · , yp, ❶ X ✫➀ a ❾ ➀ a ➂✧éê✴ y1 + y2 + · · · + yp; ➌ ÏÐ 3
线犰与结点b相联,则ⅹ中第α行第b列和第b行第a列的元素都是-9;其余类推 其它元素都是零.如上面中的那个例子,相应的X就是 y1+y2 y1-y2 yr y3+3 y4 很容易直接算出 x= Cdiag,w2…,b)C1= Cdiag((.1…,1)=C-Cn 由于Y=Y+X,所以 (Y+X)-1=[( 2(+XF)-1=z(+zXz 其中I为单位矩阵,又因为 (I+XZ(-CZ-CIZ I+(X-CZ-Ct-XZCZ-C)Z I+(X-C+XZC)Z-Ct)Z I+(CL-Ct-(C+CL-CIZC)Z-C)Z I+(CL-CI-CL-(L+CtZC)Z-Ct)Z I+(CL-CI-CL-ZZ-Ct)Z 所以(I+XZ)1=I-CzCZ.因此Z=z(I-Cz-Cz),即Z=z-zCz-Cz 摘录于庄瓦金编著《高等代数教程》(国际华文出版社,2002年)第49-52页 (陈健敏录入)
✦ y1 ✿ ✢✣ b ➈ ➊✤❶ X ✫➀ a ❾ ➀ b ➂ ➉➀ b ❾ ➀ a ➂✧éê❑▲ −y1; ❽ëìíî ❽ ⑩éê❑▲➎ ▼ ⑤✭ï✫ ✧ð✛❷➣✤ ➈ñ✧ X ❅▲ y1 + y2 −y1 −y2 yr −yr yr−1 −yr−1 −y1 y1 −y2 y3 + y3 −y3 y4 −y4 −y3 −yr −y4 y4 −yr−1 . ➅òóô⑨ ↕✹ X = Cdiag(y1, y2, · · · , yr), Ct = Cdiag( 1 z1 , 1 z2 , · · · , 1 zr )Ct = CL−1Ct , ➢ ❇ Y = Y + X, ❹➐ Z = Y −1 = (Y + X) −1 = [(I + XY −1 )Y ] −1 = Y −1 (I + XY ) −1 = Z(I + ZXZ) −1 . ❽✫ I ✴④õ❪❫✤ Òö✴ (I + XZ)(I − CZe−1CtZ) = I + (X − CZe−1Ct − XZCZe−1Ct)Z = I + (X − (C + XZC)Ze−1Ct)Z = I + (CL−1Ct − (C + CL−1CtZC)Ze−1Ct)Z = I + (CL−1Ct − CL−1 (L + CtZC)Ze−1Ct)Z = I + (CL−1Ct − CL−1ZeZe−1Ct)Z = I ❹➐ (I + XZ) −1 = I − CZe−1CtZ. ö ÷ Z = Z(I − CZe−1CtZ), ø Z = Z − ZCZe−1CtZ. ùú❇ûüýþÿ ✁ ❆➮ ➋✂ ❞✄ ☎ ➲✆✝✞✹✟✠✤ 2002 ➯ ✡➀ 49-52 ☛ (☞✌✍ú✶ ) 4