第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 (非数学类,2011) 、(本题共4小题,每题6分,共24分)计算题 (1+x)x-e2(1-ln(1 1. lim 解:因为 (1+x)x-e(-ln(1+x 2(1-1n(1+x) lim In(1+x) ………………………………………3分 2 n(1+x) in(1+x)-2 n(1+x)-2 lim e2 lim =e lim In(1+x)-x 2e limI+x ……5分 所以 lim (1+x)x-e2(l-ln(1+x) 6分 2.设an=cos-cos 求 lim a 解:若O=0,则 lim a=1 1分 若≠0,则当n充分大,使得2”>kl时, 6.61 a = cOs-.COS cOS coS-·Sin sin 2 ……………4分 sIn sIn coS=·cos SIn SIn sin 6 sin e 这时 lim a lim ……6分 Sin
3.求gn(x-1)d,其中D={(x,y)0≤x≤20≤y≤2 解:设D={(x,y)|0sxs,0≤y≤2} 2 D2={(xy)1=≤x≤2,055 D3={(x,y)|≤x≤2,-≤y≤2} 分 dxdy=1+-=1+2In 2, dxdy=3-2ln 2 ………………………………4 D,UD ∫sgn(x-n)hdy=』dth-』ddy=2-4lm2 分 4.求幂级数y2n-12的和函数,并求级数∑—的和 解:令S(x)=∑xm2,则其的定义区间为(-√2,2Yx∈(√2,v2) S(r)dt ∑ tdt ……2分 2 2 于是,S(x) ……………………4分 2 ,x∈(-√2,√2). ∑2-22()=)号 …6分 二、(本题2两问,每问8分,共16分)设{an}=0为数列,a,为有限数,求证: +…+ 1.如果 lim a=a,则lim = n→)① n→)00 如果存在正整数D,使得m(a-a.)=2,则ima=2 证明:1.由lman=a,彐M>0使得 la k0,三N1∈N,当n>N1时, E la -ak 4分 因为三N2>N1,当n>N,时,M(M+aDE 于是, N(M+laDe (n-NE <E
所以,im4+a++an=a ………8分 2对于i=0,1,…,P-1,令A0=am1p-amH,易知(A)为{an+-an}的子列 A 由lim(ann-an)=2,知imA0=,从而lm 而A+A0+…+A0=am1)p-a.所以,m+p=A 由im2=0.知imm= 12分 从而lim n+1)p+ =lim n→(n+1)P+im→(n+1)p+in Vm∈N,丑n,pP,i∈N,(O≤i≤p-1),使得m=mp+i,且当m→∞时,n→>∞ 所以,lim-= ………………………16分 P 、(15分)设函数f(x)在闭区间[-1,1上具有连续的三阶导数,且f(-1)=0,f()=1,f(0)=0 求证:在开区间(-1,1)内至少存在一点x,使得f"(x)=3 证.由马克劳林公式,得 f(3)=f(0)+2f0)+3f",n个于0与x之间,xe[,1]-3分 在上式中分别取x=1和x=-1,得 1=f(1)=f(0)+f"(0)+f"(n),0<n1<1 ………5分 3 0=f(-1)=f(0)+n,f"0)-,f"(n2),-1<n2<0 …………………7分 两式相减,得 f"(m)+f"(72)=6 ………………………10分 由于∫"(x)在闭区间[-1,1连续,因此f"(x)在闭区间[n2,n]上有最大值M最小值m,从而 m≤(f"(m)+f"(nh2)≤M 分 再由连续函数的介值定理,至少存在一点x∈[2,nh1lc(-1,1),使得 f"(x)=(f"()+f"(n2)=3 ……15分
四、(15分)在平面上,有一条从点(a0)向右的射线线密度为p.在点(O,h)处(其中h>0)有一质 量为m的质点.求射线对该质点的引力 解:在x轴的x处取一小段dx,其质量是pdtr,到质点的距离为√h2+x2,这一小段与质点的引力是 dF、Gmpd2(其中G为引力常数) 5分 h- 这个引力在水平方向的分量为dF Jmpxdx G 从而 (h2+x2) gmpxdx Gmp d(x) -Gmp(h +x) Gmp h2+a2 …10分 而dF在竖直方向的分量为、 gmhd.故 gmphdr-[ mph"sec dt_gmp 2、3/2 cos tdt GmP1- sin arctan° hsec t h h arctan 所求引力向量为F=(F,F) 15分 五、(15分)设z=z(xy是由方程F(x+-,2--)=0确定的隐函数,且具有连续的二阶偏导数求 ty 0和 +xy(x+ y) 0 ax a 解:对方程两边求导 )F+F2=0,F+(+2)F2=0 分 由此解得 x(F+F2)Oy y(F+F2) 所以 10分 将上式再求导,x 2x 相加得到,x3+x(x+)x30=0 5分
六、(15分)设函数f(x)连续,a,b,c为常数,Σ是单位球面x2+y2+z2=1.记第一型曲面积分 =「f(ax+by+cx)dS.求证:I=2zf(a2+b2+c2u)de 解:由Σ的面积为4可见:当a,b,c都为零时,等式成立 2分 当它们不全为零时,可知:原点到平面ax+by+cx+d=0的距离是 ldl …5分 va+b-+c 设平面h:=+by+c-,其中固定,则a是原点到平面P的距离,从而 va+b+c 1≤l≤1 …………………8分 两平面P和Pd截单位球Σ的截下的部分上,被积函数取值为 la +b+cu 10分 这部分摊开可以看成一个细长条.这个细长条的长是2x1-2,宽是、du-,它的面积是2mm,故 lI 我们得证 …15分
