数学宽賽 陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题 1(15分).计算I SIn.7 (x-2.x) 2(15分).设g(x)在(一∞,0]可导,且函数 0 f 在点x=0可导,求g(0)g(0),并讨论f(x)的存在性 3(15分).已知函数f(x)与g(x)满足f(x)=g(x),g(x)=2e-f(x),且f(0)=0,求 4(15分).设y1和y是方程y"+p(x)y+2ey=0的两个线性无关解,而且y2=(y1)2.若 有p(0)>0,求p(x)及此方程的通解 5(15分).设f(x)在[1…>0)上非负可积,且xf(x)dx=0,求证: f(x)dx≤f(x)dx 6(15分).设在点x=0的某邻域U内,f(x)可展成泰勒级数,且对任意正整数n,皆有 1)=1 证明:在U内,恒有f(x)=x 7(10分).设函数f(x,y)在闭圆域D={(x,y)|x2+y2≤R2,R>0}上有连续偏导数,而 且f(,0)=f(0,5)证明:在D的内部至少存在两点(x1,y)和(x…y2),使 ref(r, vi)-yi,f 8(10分).设 证明:limy(x)和limy(x)都存在 9(10分).设在[a,b上,f"(x)≠0,f(a)=f(b)=0,且有x0∈(a,b),使y=f(x0)>0, f(x0)=0.证明 (1)存在x1∈(a,x)及x∈(x0,b),使f(x1)=f(x2)=2; (2)f(x)dx<y(x2-x1) 10(10分)求幂级数∑(1+2+3+…+n2)x的收敛域与和函数 1410,求极限m∑[(n+117+(n+7+2 (n+i+i) 12(10分).求函数f(x,y)=max1x-y1,x+y1,|x-21}的最小值
陕 西 省 第七 次 大 学 生 高等数 学 竞 赛 复赛试 题 l ( 1 5 分 ) ． 计 算 』 = = = ，!? 。 ． ≯_再 S i r l ~ ' ‘ ；一 [I．z 2 ( 1 5 分 ) ． 设 妒 ( _『 ) 在 ( ～ ～ 。 ． ()：] 可 导 ． ¨ 函 数 ／( 、 f ) z 0 ， 求 p ( z ) 及 此 方 程 的 通 解． 5 ( 1 5 分 ) ． 设 _厂( z ) 在 [ ～ 一 1 州 ] ( “ > ， 0 ) 上 非 负可 积 ， 且 I x f ( x ) d x 一 0 ． 求 证 ： L ‘ √ i ， ‘f I z 。 f - ( 一 ) (b ≤ l -厂( 工 ) d x ． 6 ( 1 5 分 ) ． 设 在 点 z 一 0 的 某 邻域 ( ，内 ． ，( 一 ) 可 展 成 泰勒 级 数 ， 且 对 任 意 正 整 数 ¨ 皆有 ／( j 一 ) — 、 1 ． 证 明 ：在 U 内 ， 恒 钉 ／( r ) 一 r ! ． 7 ( 1 0 分 ) ． 设 函 数 。 ，( n _v ) 在 闭 圆 域 f ) 一 } ( 。 ’ ， y ) I ． r 。 + y 。 ≤ R 。 ， R > 0 } 上 有 连 续 偏 导 数 ， 而 且 ，(譬， o ) 一 ／( () ， 譬) ． 证 叫 ：存 D 的 内部 至 少 存 在 两 点 ( 工 。 ， y ． ) 和 ( z 。 ， y ： ) ， 使 _tf _ l ／ ’ 、 ( J ’ ， ， y ， ) 一 y i ． ， ’ ， ( 』 ， ， √， ) = = = 0 ， i — l ， 2 ． 8 ( 1 0 分 ) ． ／叹,~ 忑 d y 一 ___点 ． ¨ 明 ： 。 l — i ra y ( _ ) 和 ， ’ !n1． Y ( --r ) 都存 在 ． 9 ( 1 0 分 ) ． 设 在 [ … 6 ] L ． ／ “ ( ． r ) 一 声 0 ． ／( r ，j 一 ／( 厶) 一 0 ， 且 有 z 。， ∈ ( “ ， 6 ) ， 使 Y 。， 一 厂( j ’ 。 ) > o ， ． ， 。 ( ． r 。 ) 一 0 ． 汪 I『J】： ( 1 ) 存 在 _ 。 ∈ ( ( 』 ．“ ) 及 ． r 、 if - ( ^ ， 厶) ， 使 ，( Lr 。 ) 一 f ( x ： ) 一 娑； r n ( 2 ) I ， ’ ( 。 ) (h 。 ’ ’ ． 、， ( r ． 一 “ ) ． 1 0 ( 1 0 分 ) ． 求 幂 级 数 ＼? ( 1 ÷ j 一 __ j 一 … 一Ⅲ 』 ) i ， “ 的 收敛 域 与 和 函 数． 一 一 1 J ，f 1 1 ( 1 0 分 ) ． 求极 限 ! i， - 皇i _ - 一 ≠_ T j 一 ’ _ _盎 + … 十 万蠢 1 2 ( 1 0 分 ) ． 求 函 数 ，( - ， y ) 一 呲 l x i r ～ -v ． I r +。 y I ， j ’ 一 2 l } 的 最 小 值 百 一z 灿一+ ?