厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（应用与实验）行列式应用——三角形面积的行列式公式

角形面积的行列式公式 下面从熟知的行列式公式入手,阐述三角形面积的几种行列式公式 1.已知三个顶点的情形 取定一直角坐标系,设△A1A2A3的顶点坐标为Ak(xk,yk),k=1,2,3,则其面 积S△AA4=当z21的绝对值 (1) 将坐标平面看作复平面,△A1A2A3的顶点用复数xk=xk+iyk表示,k=1,2,3 T1+iy1 y1 1 21-7y1 由于x2v1|=x2+ivv1=ia-iy2 3+333 23-t3 1x1+y1 222+y2 + 则由行列式的性质得到 其中买是zk的共轭复数.因此,当三角形顶点用复数表示时,其面积 △A24=21的模 由(1)(2)两式容易推得 设在直角坐标系下四边形A1A2A344四个顶点的坐标为(xk,vk),k=1,2,3,4 则它的面积 S4142434=n201的绝对值 11 用复数表示,命2k=xk+纵ik,k=1,2,3,4,则

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠✟ ✡☛☞✌✍✎✏✑✒✓✒✔✕✖✗✘✙✚✛☛✜✎✢✣✏✑✒✓✒✤ 1. ✥✦✧★✩✪✫✬✭ ✮✯✰✱✚✲✳✴✖✵ 4A1A2A3 ✎✶✷✲✳✸ Ak(xk, yk), k = 1, 2, 3, ✹✺☛ ✜ S4A1A2A3 = 1 2        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        ✎✻✼✽✾ · · · · · · · · · · · ·(1) ✿✲✳❀☛❁❂❃❀☛✖4A1A2A3 ✎✶✷❄❃❅ zk = xk+iyk ❆❇✖ k=1,2,3. ❈❉        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        =        x1 + iy1 y1 1 x2 + iy2 y2 1 x3 + iy3 y3 1        = i        z1 −iy1 1 z2 −iy2 1 z3 −iy3 1        ,        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        = −i        x1 x1 + y1 1 x2 x2 + y2 1 x3 x3 + y3 1        = i        z1 x1 1 z2 x2 1 z3 x3 1        , ✹ ❈✏✑✒✎❊❋●❍        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1        = i 2        z1 z1 1 z2 z2 1 z3 z3 1        , ✺■ zk ❏ zk ✎❑▲❃❅✾▼◆✖❖✙✚✛✶✷❄❃❅❆❇P✖ ✺ ☛✜ 4A1A2A3 = i 4        z1 z1 1 z2 z2 1 z3 z3 1        ✎◗✾ · · · · · · · · · · · ·(2) ❈ (1),(2) ❘ ✒❙❚❯●❱ ✵❲✱✚✲✳✴✡❳❨✛ A1A2A3A4 ❳❩✶✷✎✲✳✸ (xk, yk), k = 1, 2, 3, 4, ✹❬✎☛✜ S♦A1A2A3A4 = 1 2          x1 y1 1 1 x2 y2 0 1 x3 y3 1 1 x4 y4 0 1          ✎✻✼✽✾ ❄❃❅❆❇✖❭ zk = xk + iyk, k = 1, 2, 3, 4, ✹ 1

S41A434=#/201 23z11 的模 2.已知三边的情形 设在直角坐标系下△A1A2A3三边的方程为 x+bky+ck=0,k=1,2,3 应用 Cramer法则,把交点坐标用系数表示出来,代入(1),易得 a2 b2 3C3 Cl b1 △A149A b1 Cl C b1 的绝对值 b2 C2 a2 b2 3b3 记|A|=a2b a1 C1 b1 A AAA A23 b3 31 b1 c1 a1 b1 C2 b 其中Ak是|A4中第k行第j列元素的代数余子式 A11412A1 由行列式的乘法规则AnA2A234 A11+b141 14113 0 0 a2A22+b2A22+c1423 a3A31+b3A32+(3A33 A11412413 于是,若A≠0,则421A2423=142……(3) 31 因此S△A2A3=a1b1a1b b2 e4∥Qb2Ta2h2的绝对值 b3 对于|A|=0的情形,由矩阵的知识可以证明(3)成立,因此(4)式对于三线 共点的退化情形也成立 2

S♦A1A2A3A4 = i 4          z1 z1 1 1 z2 z2 0 1 z3 z3 1 1 z4 z4 0 1          ✎◗✾ 2. ✥✦✧❪✫✬✭ ✵❲✱✚✲✳✴✡ 4A1A2A3 ✙❨✎❫❴✸ akx + ❵ b ❄ ky + ck = 0, k = 1, 2, 3. Cramer ❛✹✖❜❝✷✲✳❄✴❅ ❆❇❞❡✖❢✔ (1), ❚● S4A1A2A3 = 1 2      a1 b1 a2 b2           a1 b1 a3 b3           a2 b2 a3 b3                          b2 c2 b3 c3      −      a2 c2 a3 c3           a2 b2 a3 b3      −      b1 c1 b3 c3           a1 c1 a3 c3      −      a1 b1 a3 b3           b1 c1 b2 c2      −      a1 c1 a2 c2           a1 b1 a2 b2                     ✎✻✼✽✾ ❣ |A| =        a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3        ,                     b2 c2 b3 c3      −      a2 c2 a3 c3           a2 b2 a3 b3      −      b1 c1 b3 c3           a1 c1 a3 c3      −      a1 b1 a3 b3           b1 c1 b2 c2      −      a1 c1 a2 c2           a1 b1 a2 b2                     =        A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33        , ✺■ Akj ❏ |A| ■ ❤ k ✏❤ j ✑✐❥✎❢❅❦❧✒✾ ❈✏✑✒✎♠❛♥✹        A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33        |A| =        a1A11 + b1A12 + c1A13 0 0 0 a2A22 + b2A22 + c1A23 0 0 0 a3A31 + b3A32 + c3A33        = |A| 3 . ❉ ❏ ✖♦ |A| 6= 0, ✹        A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33        = |A| 2 . · · · · · · · · · · · ·(3) ▼◆ S4A1A2A3 = 1 2      a1 b1 a2 b2           a1 b1 a3 b3           a2 b2 a3 b3             a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3        2 ✎✻✼✽✾· · · · · · · · · · · ·(4) ✼❉ |A| = 0 ✎♣✛✖❈qr✎✍st✉✈ ✇ (3) ①②✖▼◆ (4) ✒✼❉✙③ ❑✷✎④⑤♣✛⑥①②✾ 2

再考虑用三边长表示的三角形面积的行列式表示,仍设三顶点为Ak(xk,yk),ak 表示点Ak与A的距离,并让(ax,ay) ,k,=1,2,3,则 k, ak)+(aj,ai)-2(ak,ai) 于是 1 y 121 22 (a1,a1)+1(a1,a2)+1(a1,a3)+1 送AA2A=n21m2|=(a2,a1)+1(a2a2)+1(a23)+1 1111 (a1,a1)(a1,a2)(a1,a3) ((a2,a1)(a2,a2)(a2,a3)+(a2,a1)(a2a2)1|+(a2a1)1(a2,a3)+ (a3,a1)(a3,a2)(a3,a)(a3,a1)(a3a2)1|(a3,a1)1(a3,a3) 0 1(a2a2)(a2,a3)) 1(a1,an)(a1,a2)(a1,a3) 1(a2,a1)(a2,a2)(a2,a3 1(a3,a1)(a3,a2)(a3,a3) 0111 1-2(a1,a1)-2(a1,a2)-2(a1,a3) 10a2a3 2(2,a1)-2(a2,a2)-2( a210a2 1-2(a3,a1)-2(a3,a2)-2(a3,a3) 1a31a320 故用边长表示的三角形面积 ID(A1 这里 10 210a23 叫做点集{A1,A2,A3}的 Cayley- Menger行列式 (本文摘自庄瓦金编著的《高等代数教程>,国际华文出版社)

⑦⑧⑨❄✙❨⑩❆❇✎✙✚✛☛✜✎✏✑✒❆❇✾❶✵✙✶✷✸ Ak(xk, yk), αkj ❆❇✷ Ak ❷ Aj ✎❸❹✖❺❻ (αk, αj ) = xkxj + ykyj , k, i = 1, 2, 3, ✹ α 2 kj = (αk, αk) + (αj , αj ) − 2(αk, αj ). ❉ ❏ S 2 4A1A2A3 = 1 4        x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1               x1 x2 x3 y1 y2 y3 1 1 1        = 1 4        (α1, α1) + 1 (α1, α2) + 1 (α1, α3) + 1 (α2, α1) + 1 (α2, α2) + 1 (α2, α3) + 1 (α3, α1) + 1 (α3, α2) + 1 (α3, α3) + 1        = 1 4 (        (α1, α1) (α1, α2) (α1, α3) (α2, α1) (α2, α2) (α2, α3) (α3, α1) (α3, α2) (α3, α3)        +        (α1, α1) (α1, α2) 1 (α2, α1) (α2, α2) 1 (α3, α1) (α3, α2) 1        +        (α1, α1) 1 (α1, α3) (α2, α1) 1 (α2, α3) (α3, α1) 1 (α3, α3)        +        1 (α1, α2) (α1, α3) 1 (α2, α2) (α2, α3) 1 (α3, α2) (α3, α3)        ) = − 1 4          0 1 1 1 1 (α1, α1) (α1, α2) (α1, α3) 1 (α2, α1) (α2, α2) (α2, α3) 1 (α3, α1) (α3, α2) (α3, α3)          = 1 32          0 −2 −2 −2 1 −2(α1, α1) −2(α1, α2) −2(α1, α3) 1 −2(α2, α1) −2(α2, α2) −2(α2, α3) 1 −2(α3, α1) −2(α3, α2) −2(α3, α3)          = − 1 16          0 1 1 1 1 0 a 2 12 a 2 13 1 a 2 21 0 a 2 23 1 a 2 31 a 2 32 0          . ❼❄❨⑩❆❇✎✙✚✛☛✜ S 2 4A1A2A3 = − 1 16D(A1, A2, A3), · · · · · · · · · · · ·(5) ❽❾ D(A1, A2, A3) =          0 1 1 1 1 0 a 2 12 a 2 13 1 a 2 21 0 a 2 23 1 a 2 31 a 2 32 0          , ❿➀✷➁ {A1, A2, A3} ✎ Cayley-Menger ✏✑✒✾ (➂➃➄ ➅ ➆➇➈➉➊✎  ➋➌❢❅➍❴ , ➎ ➏➐➃❞ ➑➒) 3