高等数学研究 Vol 9. No 6 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Nov.2006 竞赛之窗 陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题 一、填空题:(6×4′=24) (x2+y)sin x2+y2≠0 1.设[x]表示不超过x的最大整数,则 11.设f(x,y) x 0 m/ sinx 0 li 则f(x,y)在点(0,0)处 (C) A.两个一阶偏导数不存在 dx B.不可微,但两个一阶偏导数存在; 3.设函数f(x,y)可微f(0,0)=0J(0,0)=m, C.可微但两个一阶偏导数不连续; f(0,0)=n,q(t)=ft(t,t)],则φ'(0)=_m+mn D.两个一阶偏导数连续 十 12.设f(x)在(a,b)内有二阶连续导数,且f(x) 4设(2)=4(x>0,则x ≠0,则 (D) A.若limf(x)=+∞,则limf(x)=+∞ B.若lmf(x) 则imf(x) 5.设f(x)在区间[-丌,丌]上连续,且满足f(x C.若lmf(x)=+∞,则limf(x)=+∞ 丌)=-f(x),则f(x)的傅立叶系数a2n=0 D.若lmf(x)=+∞,则limf(x)=+∞ 6.设质点在变力F=(3x+4y)i+(7x-y)j的作 用下,沿椭圆ax2+y2=4的逆时针方向运动一周所作 13.设f(t)=中(x+1)2dyd+(y+)dx+(z 的功等于6丌,则a=4 +t)2dxdy,其中积分曲面Σ,x2+y2+z2=t2,t>0,取 选择题(8×4′=32) 外侧,则f(t)= (D) 7.当x→0时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量 A.0;B.8m23;C.16m;D.32m 是 (D) 14.已知函数f(x)具有三阶导数,且f(0)≠0,又 AL In(1+2")dt; B tanx -sinx f(0)=-2是f(x)极小值函数y=y(x)是微分方程y 2y=f(x)的满足初始条件y(0)=1的解,则(C) C. sin((2)dt DL (sint)dt A1是y(x)的极小值;B.1是y(x)的极大值; C.(0,1)是曲线y=y(x)的拐点; 8设h-J: sint dx,l2= I sInu l tanx D.1不是y(x)的极值,(0,1)也不是曲线y 则 =y(x)的拐点 三、解答题 A.l2<l3<h1; B.l2<l1<l3; 15.(12分)设f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值点 C.l1<l2<l3; DI,< 13<12 9.下列级数中条件收敛的是 B点(小、。(D/=1和x=21(0)=-2,曲线=八)的拐点 为(T,-1).求此曲线过(T,-1)点的切线方程 2n-1 9 c In7 16.(12分)求[ arcsingarccosxdx(-m+2) 10.设x-0时,ex2-e~kx,则 (C) 17.(12分)已知f(x)的一个原函数为1n2x,求 An=4,k=-;B.n=4,ks丿 f"(2x)dx.( 2-41n(2x) C.n=5,k=-1;D.n=5,k=1 18.(10分)就实数a的取值,讨论方程e=ax-e2 的实根个数及其所在区间(a=0时无实根a<0时有
58 高等数学研究 Sr1JDIE SIN COLLEGE MATHEMATICS Vof.9，NO .6 Nov.，2(X拓 陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题 一、坡空题:《6x4’ 二24，) 1.设 【x] 表示不超 过 x的最 大整数，则 1 :，+尹 州箫 一“[x])二上 · 2.乡洛)二= 。二 · ，扩+尹尹。 二2+尹=0 .1 犷 + 尹 、e s . 荡 y 一︸ 设 f ( (C) 3.设函数f(x，力 可微J(0，0) =0工(0，0)二二， 再(0，0)=n冲(t)二j[‘J(‘ ，t)]，则甲，(0)二 +矿 刀1+ 刀艺n 4.嵘少:)*二掀·>0)，则扭·)dx=一分3 则f(x汀)在点(0，0)处 A.两个一阶偏导数不存在; B.不可微，但两个一阶偏导数存在; C.可微，但两个一阶偏导数不连续; D.两个一阶偏导数连续. 12.设f(劝在(a，b)内有二阶连续导数， 笋0，则 = 十 国 二 十 成! 5.设f(劝 在区间〔一二，犷1上连续，且满足f(x- 7T)=一f(x)，则f(劝 的傅立叶系数气。 =一旦一. 6.设质点在变力F=(3x十4y)1十(7x 一y)j的作 用下，沿椭圆。2+尹二4的逆时针方向运动一周所作 的功等于6，，则a=一生一. 二‘选择题(8x4，二32，) 7.当二砷0时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量 是 (D) A.若 名 l一im a十 f(x) B.若 名 1一11 b 1以一 ，(x) C.若 名 l一im a+ f(x) D.若lin1f(:) ，则liI1lf( 二) ，则 ‘l一il 山 nf(一 x) ，则lilllj，(x) ，则limj，(:) 且f’(x) (D) + 0 ; + 0 ; + ao ; + 以 。 13.设f(，)二 ‘莽工t (x+，)Zdyds+(，+，)’赫 +(: A·f，n(‘+。3忍)*; C·f’一in(‘2)*; 8·设11二厂:茹款山，、 B.tanx 一sinx; n.f一(9*·‘)’”d‘· 二 J厂一_I其SllL兀 山，。二 J广户1蠢dx， (A) A.12 0，取 外侧，则f(力 二 (D) A.0; B.8介t3; C.16仍3; D.32们3. 14.已知函数f(x)具有三阶导数，且厂(0) 尹0，又 f(0) =一2是f(:)极小值.函数y=y(劝是微分方程犷 一Zy二f(劝的满足初始条件y(0) 二1的解，则 (C) 人1是y(劝的极小值;B.1是以x)的极大值; C.(0，1)是曲线y二拭x) 的拐点; D.1不是袱x) 的极值，(0，1)也不是曲线y 二以劝 的拐点. 三、解答题 15.(12分)设f(x)二ax，+乙xZ+cx+d有极值点 x二一1和二二2，且f(0) 二一2，曲线y二f(x)的拐点 为(二，一1).求此曲线过行，一1) 点的切线方程. B.艺(一1)“一，Zn一1’ 9 气y =一万 峙 ， (一1)”一， ~一一二丁--- ; (一1)” Inn 10.设:一0时，e二。，一e二一低· ，则 (C) A.n=4，k= C.n二5，在= l 2 ’ l 2 ’ B一 4，k=合; D.“=’，k二参 16·(12分)求f一1邢arC。。。、.(一晋+2) 17.(12分)已知f(劝 的一个原函数为 1矿x，求 (， _ 、， ，2一4In(Zx) lx严(Zx、dx.(一 +c、 丁，、一产一’‘ 8戈 18.(10分)就实数a的取值，讨论方程矿二ax一。2 的实根个数及其所在区间.(a=0时无实根a<0时有
第9卷第6期 陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题 59 唯一负根a>0时有两实根,分别在(0,2)与(2,+ 21.(10分)计算二重积分Ⅰ=(ax2+by2)do, ∞)内) 0(10分)设曲面S的方程为x=√4+x+4y,其中D是圆域x+y2≤2y(4(a+5m) 平面的方程为x+2y+2z-2=0.试在曲面S上求 点,使该点与平面丌的距离为最近,并求此最近距 22.(9分)求幂级数 4n 的收敛域及和函数 离、(-,-2,2),2(2-1) ((-∞,+∞),y=(e2+e-+2cosx)) 20.(10分)设(yef(x) 23.(9分)陨石高速坠落时,与大气摩擦而产生极 tie f(r)- 高温度,致使其质量不断挥发由试验知挥发速度与陨 是函数u(x,y)的全微分,其中∫(x)连续且∫(1)=,石的表面积成正比假设某陨石为质量分布均匀的球 u(1,1)=0.求u(x,y)并计算积分 体,刚进入大气层时的质量为mo,在T时刻落到地面, Am(x(2)-+()- 其质量为mr试求此陨石的质量m关于时间t的函数 (以(x,y)=x+2+4-7,) m()=[m+(m-m)] (上接第36页) 例3求不定积分∫ao+2in 解 n(x+ cosx+2sinx 5sin(x +a) 其中 Ina cosa sin(x +g) sin[(x +a)+( 原式= sin (x +a) sin(x + a) cos(x t a sin (g-a)] sina+cosq,cos(x+α sin(x t a sin(x +a) ·x+ In sin(x+a) √5 D cos sinx I +D==x +=In I cosx + 2sinx i +c √5 (其中C=D 例4求不定积分3+ sinx -/cos% 解由公式(3)可得: 3snx+5cd=3×1+5×(-7)+5×1-3×( SInx cost 12+(-7) 12+(-7)2In I sinx-7cosxI+C 25+ In I sinx -7cosx I+C 参考文献 [1展丙军,李兆兴两类不定积分的巧解高等数学研究,2005,8(6):20-24
第9卷第 6期 陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题 59 唯一负根班 >0时有两实根，分别在(0，2)与(2，+ ao)内) 19·(10分)设曲面5的方程为:二再下飞爪百尹几 平面二的方程为x十Zy+趾一2二0.试在曲面5上求 一点，使该点与平面 ，的距离为最近，并求此最近距 21.(10分)计算二重积分1二几(”’+“尹)d‘ ， 其中D是圆域扩+尹二:笋(今 日寸 (。+5。)二) . 4n 2·(9分)求幂级数艺(4n)! 的收敛域及和函数. ， ，， 二 万 。。 两 、、一丫‘ ，一了 ， ‘丫‘ ，_鱼(万_1、、 ，3 、 ’ ((一二，十ao)，y二令 (e，+e一1+Zcosx)) 是函数 u(1，1) (·410-分” 、)设、。11件化，f(一幻、一二2升、!山，十l1e_，介，幻、一 4毛.、!击， 、 汤 x ， 、 y ， u(x，力 的全微分，其中f(劝连续且f(l) = 。， =0.求u(x，刃并计算积分 灭:1:’(争·卜景)“·(一城· ， 一贵)你 23.(9分)陨石高速坠落时，与大气摩擦而产生极 高温度，致使其质量不断挥发.由试验知挥发速度与陨 石的表面积成正比.假设某陨石为质量分布均匀的球 体，刚进人大气层时的质量为mo，在T时刻落到地面， 其质量为。1.试求此陨石的质量m关于时间t的函数. 2— + 4 y (m(t)二 (u(x，少)二叮 + 一7，1) [扔可. +(杯二一拓可)幸]’) (上接第36 页) 例 3 解 丫 求不定积分工 cosx =sin(x+ COS劣 dx . COSX +Zsinx 令) co鱿 +25111另 =汤 in(x+a)， 兰 其中 Sln已 l -一 万 =云’“osa 原式 = ， . 口介 、 [ 丫馨〕81 一 1军气万早 + a 牛) dx [(x+a)+(晋一a)〕 sin(x+a) 山 cos(x+。) sin(二+a) ·sin(冬 乙 一a)]山二毛「「 尸 ‘“ 811住 + COS住 注孕兰华毕卫李〕、二缨 . “InLx+a)一 JS =筒〔 ·‘芳‘ co。(晋一a)十 nl。in(x+a)1+ 。 1 2， L，=尹 +了，n’ co鱿 +25111不!+D 1 2， = 吮罗戈 + -二-In ! 勺 勺 cosx +Zsillxl+C (其中C二D 万 一 气 2 尸 ， 几n 寸厉 J 、 J 勺 例 4 解 求不定积分j 35111尤+scosx sillx一7co鱿 山 . 由公式(3) 可得: J f架Sl 鱼 l婴l劣 竺一 李IC 卫 O 旦 S 竺 劣 dx 3xl+sx(一7) 12+(一7)2 16 13， 一了 +君” . Sln另 sxl一3x(一7)， +一一二万一，二尸一二二了~一，Inl 1一+ 气一 1)- 一7cosx l+C- 8111另 一7c0邓 1+C = 参考文献 【1]展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解.高等数学研究，20()5，8(6):20 一24