首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 (非数学类,2009) 考试形式:闭卷_考试时间:120分钟满分:100分 题号 四 五六七|八总分 满分205 15 15 1010|15|10100 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 得分 填空题(每小题5分,共20分) 评阅人 (x+y)In 1+ (1)计算 其中 区域D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域 迟出 (2)设f(x)是连续函数,且满足 ∫(x)dx-2 (3)曲面z=x+y2-2平行平面x+2y-=0的切平面方程是 (4)设函数y=y(x)由方程xe=e"ln29确定,其中f具有二阶导数 d 且f"≠1,则,2 第1页(共6页
第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 （非数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 20 5 15 15 10 10 15 10 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一、 填空题（每小题 5 分，共 20 分） （1）计算 ( )ln 1 d d 1 D y x y x x y x y ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ∫∫ =_____________，其中 区域 D 由直线 x + y = 1与两坐标轴所围三角形区域. （2）设 f ( ) x 是连续函数，且满足 2 2 0 fx x fx x ( ) 3 ( )d 2 = − − ∫ ， 则 f ( ) x =___________________. （ 3 ） 曲 面 2 2 2 2 x z y = +− 平行平面 22 0 x yz + − = 的切平面方程是 ________________________. （4）设函数 y = y x( )由方程 ( ) ln 29 fy y xe e = 确定，其中 f 具有二阶导数， 且 f ′ ≠ 1，则 2 2 d d y x =____________________. 得 分 评阅人
得分 二、(5分)求极限lim( e+e+…+e ),其中n是给定的 x→0 评阅人 正整数 得分 三、(15分)设函数f(x)连续,g(x)=f(x),且 评阅人 lim f(x) =A,A为常数,求g(x)并讨论g(x)在x=0处的连 续性 第2页(共6页)
第 2 页（ 共 6 页） 二、（5 分）求极限 2 0 lim( ) x x nx e x x ee e → n + ++ " ，其中 n 是给定的 正整数. 三 、（ 15 分）设函数 () f x 连 续 , 1 0 g x f xt t ( ) ( )d = ∫ ， 且 0 ( ) limx f x A → x = ， A为常数，求 g x ′( )并讨论 g x ′( )在 x = 0 处的连 续性. 得 分 评阅人 得 分 评阅人
得分 四、(15分)已知平面区域D={(x,y)10≤x≤x,0≤y≤r}, 评阅人 L为D的正向边界,试证 (1)中 xen d -stn (2)∮ xe dy-ye-mdx≥22 迟出 得分 五、(10分)已知 y,=xe +er, y2=xe+e, y3=xe+e-e 评阅人 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分 方程 第3页(共6页)
第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 四、（15 分）已知平面区域 D xy x y = {( , ) | 0 ,0 } ≤≤ ≤≤ π π ， L 为 D 的正向边界，试证： （1） sin sin sin sin d d dd y x yx L L xe y ye x xe y ye x − − −= − v v ∫ ∫ ； （2） sin sin 2 5 d d 2 y x L xe y ye x π − − ≥ v∫ . 五、（10 分）已知 2 1 x x y = xe e + ， 2 x x y xe e− = + ， 2 3 x x x y xe e e− = +− 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分 方程. 得 分 评阅人 得 分 评阅人
得分 六、(10分)设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点,当0≤x≤1 评阅人 时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面 积为.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小」 第4页(共6页)
第 4 页（ 共 6 页） 六、（10 分）设抛物线 2 y = ++ ax bx c 2ln 过原点，当 0 1 ≤ ≤x 时， y ≥ 0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x =1所围图形的面 积为 1 3 . 试确定abc ,,, 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小. 得 分 评阅人
得分 七、(15分)已知Ln(x)满足 评阅人 u,(x)=u,(x)+xe(n=1,2 且(1)=,求函数项级数∑l(x)之和 第5页(共6页)
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 七、（15 分）已知 ( ) n u x 满足 1 () () n x n n u x ux xe − ′ = + （n =1, 2,"）， 且 (1) n e u n = ，求函数项级数 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ 之和. 得 分 评阅人
得分 八、(10分)求x→1时,与∑x等价的无穷大量 评阅人 第6页(共6页)
第 6 页（ 共 6 页） 八、（10 分）求 x 1 → − 时，与 2 0 n n x ∞ = ∑ 等价的无穷大量. 得 分 评阅人