2001年天津市大学数学竞赛试题(理工类 填空:(每小题3分) 1.设im(+a)-1=1,则a 2.设函数y=y(x)由方程e”-c8(y)=0所确定,则d= 3,由曲线y=-x2+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A= E为区间Q切上使数有定义的的合四小如一 5.设L是顺时针方向的椭园x+y2=1,其周长为1,则(可y+x2+4y)d= 二、选择题:(每小题3分) 1.若Iimg(x)=0且imf(n)=A,则() (A)limf(x)]存在 (B)Iim几p(x)=A: (C) lim flp(x)不存在 (D)A,B,C均不正确 2.设f(x)=厂sinx2d,g(x)=x2+x2,则当x→0时,() (A)f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小:(B)f(x)与g(x)为等价无穷小 (C)f(x)是比g(x)更高价的无穷小:(D)f(x)是比g(x)更低价的无穷小 3.设函数f(x)对于任意x都满足f(x+1)=qf(x)且f(0)=b,其中a,b均为非零常数,则f(x)在 (A)不可导:(B)可导,且f()=a (C)可导且f(0)=b:(D)可导且f()=ab 4.设f(x)为连续函数且f(x)不恒为零,1=[(a)d其中s>0,1>0则I的值() (A)与S和t有关 (B)与S、【及x有关 (C)与$无关,与t有关:(D)与8有关,与t无关 5.设(x,y)在有界闭区域D上具有二阶连续偏导数且满足0.及+=0.则() (A)u(xy)的最大值点和最小值点都在区域D的内部 (B)a(x,y)的最大值点和最小值点都在区域D的边界上 (C)a(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上 (D)u(xy)的最小值点在区域D的内部最大值点在区域D的边界上 三、(6分)求极限x2x+1n-2x) 四、(6分)计算 +e)
五、(6分)设函数(xy)的所有二阶偏导数都连续,⊙-=°且u(x,2x)=x,n(x2x)=x2,求 Mn(x, 2x) 六、(7分)在具有已知周长2P的三角形中,怎样的三角形的面积最大? 七、(8分)计算 人、(7分)计算曲面积分=(x2+2)+(3+a)+(2+)dad 其中∑为上半球面:=ya2-x2-y2的上侧 九、③分)已00>0定义+-13求证,厘x存在并积其值 十、(7分)证明不等式1+xln(x++x)≥+x2,xe(∞+o) 十、《7分)设函数f(x)在区间0,】上连续在开区间(01)内可导,且4f(x=f(o,来证:开区 间(01)内至少存在一点5,使得f(5)=0 十二、(8分)设函数f(x)在区间[a+∞)上有二阶导数,且f(x)M。0<f(x)≤M1,(a≤x<+ 证明f(x)≤2、MM2
