课程厦门大学高等代数: dpko. xmu. edu. cn 国家精品资源共享课高等代数:www.Courses.cn/sCourse/course3077html 中国大学MOOC:《高等代数(上)》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(下)》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 国内部分重点高校硕士研究生入学考试高等代数试题 (双线性型部分) 一.填空题 1.设f(a,B)是数域P上三维线性空间V上的一个双线性函数,E1,E2,E3是V的一组基,矩阵 A 021 210 是f(a,B)在1,E2,E3下的度量矩阵,设a=2=1+E2-3,B=E1-2,则f(a 015年大 连理工大学) 二.选择题 三计算题 1.形如/ab 的R上的矩阵形成一个线性空间V,定义V×V→R上的映射为 (A, B)=,(det(A+B)-det(A)-det(B)) (1)证明这是一个双线性映射 (2)求其在基 下的度量矩阵M (3)对于上述M求f(X)=的最大值与最小值(注:用数学分析方法不给分).(2013年北京大学) 四证明题 设f(a,B)=91(a)92(6)是数域P上的欧氏空间v上的对称双线性线性函数,且其中g1,9是线性函数 证明存在线性函数h(x),以及k≠0∈P使得f(a,B)=kh(a)h(B).(2012年北京大学 2.设f(X,Y)为定义在数域P上的n维线性空间v上的一个双线性函数,证明 f(X,Y)=XAY=∑∑
I[°¨ëßfÄåÆp ìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨] êëp ìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5p ìÍ£˛§6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5p ìÍ£e§6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 IS‹©:pa¨Ôƒ)\Æ£p ìÍ£K (VÇ5.‹©) ò. WòK 1. f(α, β)¥ÍçP˛nëÇ5òmV ˛òáVÇ5ºÍ, ε1, ε2, ε3¥V ò|ƒ, › A = 1 0 1 0 2 1 2 1 0 ¥f(α, β)3ε1, ε2, ε3e›˛› , α = 2ε1 + ε2 − ε3, β = ε1 − ε2, Kf(α, β) = . (2015cå ÎnÛåÆ) . ¿JK n.OéK 1. /X a b b c ! R˛› /§òáÇ5òmV , ½¬V × V → R˛Nè (A, B) = 1 2 (det(A + B) − det(A) − det(B)). (1)y²˘¥òáVÇ5N. (2)¶Ÿ3ƒ 1 0 ! , 0 1 ! , 1 1 ! e›˛› M. (3)Èu˛„M,¶f(X) = X0MX X0X ÅåäÜÅä(5µ^ÍÆ©¤ê{ÿâ©). (2013cÆåÆ) o.y²K 1. f(α, β) = g1(α)g2(β)¥ÍçP ˛ÓºòmV ˛È°VÇ5Ç5ºÍ, ÖŸ•g1, g2¥Ç5ºÍ. y²3Ç5ºÍh(x), ±9k 6= 0 ∈ P¶f(α, β) = kh(α)h(β). (2012cÆåÆ) 2. f(X, Y )转3ÍçP˛nëÇ5òmV ˛òáVÇ5ºÍ, y²µ f(X, Y ) = X0AY = Pn i=1 Pn j=1 aijxiyj 1 厦门大学《高等代数》
可以表示为两个线性函数 f1(X)=∑bx1,f2(Y)=∑ 之积的充分必要条件是f(X,Y)的度量矩阵A的秩r(A)≤1.(2009年华南理工大学) 设f(x,y)为线性空间v上的非退化双线性函数证明:对于任何g∈V,存在唯一的a∈V使得g(B) f(a,B),vB∈V 4.设函数f:Rn×R→→R为:f(X,Y)=XAY,X,Y∈Rn证明:f不是零函数当且仅当存在x∈ R"使得f(X0,X0)≠0.(2010年四川大学) 5.设Mn(R)是所有n阶实方阵组成的线性空间,设(-,-)是Mn(R)上的双线性型,其定义为:对任 意X,Y∈Mn(R),(X,Y)=tr(XY),其中tr表示方阵的迹 (1)任取Mn(R)的一组基:A1,A2,……,An2证明:存在Mn(R)的唯一的一组基:B1,B2,…,Bn2使 (A1,B1)=6 1=了 0.i≠ 称B1,B2…,Bn2是A1,A2,…,An2的对偶基 (2)对于Mn1(R)的基A1,A2,…,An2和基A1,A2,…,A2,设它们的由给出的对偶基分别为B1,B2,…,B 和B1,B,…,B2,证明:∑AB1=∑4B1.(2013年四川大学) 6.设f:V×V→F是数域F上的线性空间V上的对称双线性型,dimV=n (1)证明:存在V的一组基a1,a2,…,an使得当i≠j时有f(a;ay)=0 (2)设非退化,即对任意0≠a∈V都存在B∈V使得f(a,B)≠0.设A是V上的线性变换,满足:对 任意a,B∈V都有f(Aa,AB)=f(a,B)证明:A是可逆的,并求出A在V的基下的矩阵的行列式 (2014年四川大学) 7.设V是数域F上的n维线性空间,()是Ⅴ上的一个非退化双线性型,V*是V的对偶空间 (1)V的子集W={a∈V(a,a)=0}是否是V的子空间?说明理由 (2)证明:对任意f∈v,都存在唯一的a∈V,使得f(B)=(a,B)对任意B∈V都成立.(2016年四 川大学) 8.设f(a,B)为Ⅴ上的非退化双线性函数,对vg(x)∈V*,存在唯一的a∈V,使得f(a,)=9(B),vB∈V (2014年武汉大学) 9.定义所有n阶实方阵构成的实线性空间Ⅴ上的对称双线性函数为f(XY)=tr(XY),X,Y∈V 次型Q(X)=f(X,X)求Q(X)的正负惯性指数.(2010年中科大
å±L´è¸áÇ5ºÍ f1(X) = Pn i=1 bixi , f2(Y ) = Pn i=1 ciyi É»ø©7á^á¥f(X, Y )›˛› Aùr(A) ≤ 1. (2009cuHnÛåÆ) 3. f(x, y)èÇ5òmV ˛öÚzVÇ5ºÍ. y²: Èu?¤g ∈ V ∗ , 3çòα ∈ V ¶g(β) = f(α, β), ∀β ∈ V . 4. ºÍf : Rn × Rn −→ R èµf(X, Y ) = X0AY, X, Y ∈ Rn.y²µf ÿ¥"ºÍÖ=3X0 ∈ Rn¶f(X0, X0) 6= 0.(2010coAåÆ) 5. Mn(R) ¥§kn ¢ê |§Ç5òmß(−, −) ¥Mn(R) ˛VÇ5.ߟ½¬èµÈ? øX, Y ∈ Mn(R),(X, Y ) = tr(XY ) ߟ•trL´ê ,. £1§?Mn(R) ò|ƒµA1, A2, · · · , An2 .y²µ3Mn(R) çòò|ƒµB1, B2, · · · , Bn2 ¶ (Ai , Bj ) = δij = 1, i = j 0, i 6= j, °B1, B2, · · · , Bn2 ¥A1, A2, · · · , An2 ÈÛƒ. £2§ÈuMn(R) ƒA1, A2, · · · , An2 ⁄ƒA0 1 , A0 2 , · · · , A0 n2 ßßÇd1â—ÈÛƒ©OèB1, B2, · · · , Bn2 ⁄B0 1 , B0 2 , · · · , B0 n2 ßy²µ nP2 i=1 AiBi = nP2 i=1 A0 iB0 i .(2013coAåÆ) 6. f : V × V → F ¥ÍçF˛Ç5òmV˛È°VÇ5.ßdimV = n . £1§y²µ3Vò|ƒα1, α2, · · · , αn ¶i 6= j ûkf(αi , αj ) = 0 . £2§öÚzß=È?ø0 6= α ∈ V —3β ∈ V ¶f(α, β) 6= 0 .A ¥V˛Ç5CÜߘvµÈ ?øα, β ∈ V —kf(Aα, Aβ) = f(α, β) .y²µA ¥å_ßø¶—A 3Vƒe› 1™. (2014coAåÆ) 7. V¥ÍçF˛nëÇ5òmß(,) ¥V˛òáöÚzVÇ5.ßV ∗ ¥VÈÛòm. £1§Vf8W = {α ∈ V |(α, α) = 0} ¥ƒ¥Vfòmº`²nd. £2§y²µÈ?øf ∈ V ∗ ß—3çòα ∈ V ߶f(β) = (α, β) È?øβ ∈ V —§·. (2016co AåÆ) 8. f(α, β) èV˛öÚzVÇ5ºÍßÈ∀g(x) ∈ V ∗ ß3çòα ∈ V ߶f(α, β) = g(β), ∀β ∈ V .(2014c…«åÆ) 9. ½¬§kn ¢ê §¢Ç5òmV˛È°VÇ5ºÍèf(X, Y ) = tr(XT Y ), X, Y ∈ V ß g.Q(X) = f(X, X) .¶Q(X) K.5çÍ. (2010c•âå) 2 厦门大学《高等代数》
10.设V是n维复向量空间(-,-):V×V→C是反对称的非退化双线性型,y:V→V是一个线性变 换,满足((u),y()=(u,)u,U∈V.证明 (1)V的维数是偶数 (2)y2是可逆的线性变换 (3)若A是φ的特征值,则也是φ的特征值.(2015年国科大) 11.设V是实数域上的n阶方阵全体所构成的线性空间,f是V上的实值非零线性函数满足 A,B∈V,f(AB)=f(BA) 证明g(A,B)=f(AB)是Ⅴ上的非退化双线性函数.(2013年中南大学) 2.设V是数域F上一个n维线性空间f是V上的一个双线性函数令 V1={x∈v:f(x,y)=0.vy∈W}; V={x∈V:f(x,y)=0,wx∈V}; 证明v,v都是ⅴ的子空间,且维数相等.(2014年中山大学) 13.记R5为次数小于5的实多项式全体构成的向量空间在R5上定义双线性函数如下 (f(x),g(x) f(a)g(r)d r. (1)证明:上式定义了R5上一个正定的对称双线性函数 (2)用 Gram-Schmidt方法由1,x,x2,x3求R5的一个正交向量组; (3)求一个形如f(x)=a+bx2-x4的多项式使得它与所有次数低于4的实多项式正交.(2015年中山 大学) (林秋林林鹭整理
10. V¥nëEï˛òm,(−, −) : V × V → C ¥áÈ°öÚzVÇ5.,ϕ : V → V ¥òáÇ5C Ü,˜v(ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v), ∀u, v ∈ V .y² (1)VëÍ¥ÛÍ. (2)ϕ ¥å_Ç5CÜ. (3)eλ ¥ϕ Aä,K 1 λ è¥ϕ Aä. (2015cIâå) 11. V¥¢Íç˛n ê N§§Ç5òm,f ¥V˛¢äö"Ç5ºÍ,˜v ∀A, B ∈ V, f(AB) = f(BA). y²:g(A, B) = f(AB) ¥V˛öÚzVÇ5ºÍ. (2013c•HåÆ) 12. V¥ÍçF˛òánëÇ5òm,f ¥V˛òáVÇ5ºÍ,- V1 = {x ∈ V : f(x, y) = 0, ∀y ∈ V }; ; V2 = {x ∈ V : f(x, y) = 0, ∀x ∈ V }; . y²:V1, V2 —¥Vfòm,ÖëÍÉ . (2014c•ÏåÆ) 13. PR5 ègÍu5¢ıë™ N§ï˛òm,3R5 ˛½¬VÇ5ºÍXe (f(x), g(x)) = Z 1 −1 f(x)g(x)dx. (1)y²:˛™½¬ R5 ˛òá½È°VÇ5ºÍ; (2)^Gram-Schmidtê{d1, x, x2 , x3 ¶R5 òáï˛|; (3)¶òá/Xf(x) = a + bx2 − x 4 ıë™,¶ßܧkgÍ$u4¢ıë™. (2015c•Ï åÆ) ( ¢ ˘ n) 3 厦门大学《高等代数》