厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）矩阵

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(二)试题 (矩阵部分) 选择题 1.下列矩阵中,与矩阵011相似的为().(2018年 001 (A)011 (B)01 (C)|010 (D)|010 001 001 001 001 2.设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则().(2018年) (A)r(A,AB)=r(4) (B)r(A, BA)=r(A) (C)r(A, B)=maxr(A), r(B)) (D)r(A, B)=r(AT, B) 000 3.设A为3阶矩阵,P=(a1,a23)为可逆矩阵,使得P1AP=010,则Aa1+a2+a3)=() 002 (A)a1+a2 (B)a2+2a3 (C)a2+a3 (D)a1+2a2 200 210 100 4.设矩阵A=021,B=020,C=020,则().(2017年) 001 001 002 (A)A与C相似,B与C相似 (B)A与C相似,B与C不相似 (C)A与C不相似,B与C相似 (D)A与C不相似,B与C不相似 5.设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是().(2016年) (A)A与BT相似 (B)4-1与B-1相似 (C)A+4与B+B1相似 (D)A+A-1与B+B-1相似

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£§£K £› ‹©§ ò. ¿JK 1. e› •, Ü›   1 1 0 0 1 1 0 0 1   Éqè( ). (2018c) (A)   1 1 −1 0 1 1 0 0 1   (B)   1 0 −1 0 1 1 0 0 1   (C)   1 1 −1 0 1 0 0 0 1   (D)   1 0 −1 0 1 0 0 0 1   2. A, Bèn› , Pr(X)è› Xù, (X, Y )L´©¨› , K( ). (2018c) (A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A) (C) r(A, B) = max{r(A), r(B)} (D) r(A, B) = r(AT , BT ) 3. Aè3› , P = (α1, α2, α3)èå_› , ¶P −1AP =   0 0 0 0 1 0 0 0 2  , KA(α1 + α2 + α3) =( ). (2017c) (A) α1 + α2 (B) α2 + 2α3 (C) α2 + α3 (D) α1 + 2α2 4. › A =   2 0 0 0 2 1 0 0 1  , B =   2 1 0 0 2 0 0 0 1  , C =   1 0 0 0 2 0 0 0 2  , K( ). (2017c) (A) AÜCÉq, BÜCÉq (B) AÜCÉq, BÜCÿÉq (C) AÜCÿÉq, BÜCÉq (D) AÜCÿÉq, BÜCÿÉq 5. A, B¥å_› , ÖAÜBÉq, Ke(ÿÜÿ¥( ). (2016c) (A) ATÜBTÉq (B) A−1ÜB−1Éq (C) A + ATÜB + BTÉq (D) A + A−1ÜB + B−1Éq 1

a 6矩阵A=aba与0b0相似的充分必要条件为().(203年 1 a 1 000 (B)a=0,b为任意常数 (D)a=2,b为任意常数 7.设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP 1,P=(a1,a2,a3),Q=(a1+a2,a2,a3) 则 年 (C)1 2 8.设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得到矩阵B,再将矩阵B的第2行与第1行互换得到单位矩阵 100 00 记B=110,P2=001则A=().(2011年 001 010 (A)PiP2 (B)P1 P2 (C)P2PI (D)P2 9.设向量组(1)a1,a1,…,ar,向量组(2)1,B2,…,B,线性表示,则下面命题正确的是().(2010年) (A)若向量组(1)线性无关,则r≤s (B)若向量组(1)线性相关,则r>s (C)若向量组(2)线性无关,则r≤s (D)若向量组(2)线性无关,则r>s 10.设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若4=2,|B=3,则分块矩阵 0 A B0/的伴随 矩阵为().(2009年) 03B* 02B 03A* (C) D)/024 2A*0 3A*0 2B*0 3B·0 11.设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵若A3=0,则().(2008年) (A)E-4不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 100 2.设矩阵A=|-12-1,B=|010,则4与B(),(D0年 1-12 000 (A)合同,且相似(B)合同但不相似C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似

6. › A =   1 a 1 a b a 1 a 1   Ü   2 0 0 0 b 0 0 0 0   Éqø©7á^áè( ). (2013c) (A) a = 0, b = 2 (B) a = 0, bè?ø~Í (C) a = 2, b = 0 (D) a = 2, bè?ø~Í 7. Aè3› , Pè3å_› , ÖP −1AP =   1 1 2  , P = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = ( ). (2012c) (A)   1 2 1   (B)   1 1 2   (C)   2 1 2   (D)   2 2 1   8. Aè3› , ÚA12\11› B, 2Ú› B121Ü111pܸ†› , PP1 =   1 0 0 1 1 0 0 0 1  , P2 =   1 0 0 0 0 1 0 1 0   KA = ( ). (2011c) (A) P1P2 (B) P −1 1 P2 (C) P2P1 (D) P −1 2 P1 9. ï˛|(1)α1, α1, · · · , αr, ï˛|(2)β1, β2, · · · , βsÇ5L´, Ke°·K(¥( ). (2010c) (A) eï˛|(1)Ç5Ã', Kr ≤ s (B) eï˛|(1)Ç5É', Kr > s (C) eï˛|(2)Ç5Ã', Kr ≤ s (D) eï˛|(2)Ç5Ã', Kr > s 10. A, B˛è2› , A∗ , B∗©OèA, Bäë› , e|A| = 2, |B| = 3, K©¨› 0 A B 0 ! äë › è( ). (2009c) (A) 0 3B∗ 2A∗ 0 ! (B) 0 2B∗ 3A∗ 0 ! (C) 0 3A∗ 2B∗ 0 ! (D) 0 2A∗ 3B∗ 0 ! 11. Aènö"› , Eèn¸†› . eA3 = 0, K( ). (2008c) (A) E − Aÿå_ßE + Aÿå_ (B) E − Aÿå_ßE + Aå_ (C) E − Aå_ßE + Aå_ (D) E − Aå_ßE + Aÿå_ 12. › A =   2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2  , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 0  , KAÜB( ). (2007c) (A) ‹”, ÖÉq (B) ‹”,ÿÉq (C) ÿ‹”, Éq (D) Qÿ‹”, èÿÉq 2

13.设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P=010 001 (A)C=P-lAP (B)C=PAP- (C)C=P AP 4.设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A·,B*分别为A,B的伴随矩阵,则( (2005 (A)交换A+的第1列与第2列得B (B)交换A+的第1行与第2行得B (C)交换A的第1列与第2列得-B (D)交换A*的第1行与第2行得-B 15.设A是3阶矩阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆 矩阵Q为().(2004年) 010 010 010 (A)A=|100 (B)A=101 (C)A=|100 (D)A=100 101 001 0 6.设m(≥3)阶矩阵A=aa1…a,若矩阵A秩为n-1,则a必为().(1999) (A)1 (B)12 (C)-1 (D)nII 17.设n(n≥3阶方阵A的伴随阵为A*,常数k≠0,±1,则(k4)*=().(1998年) C)knA' 填空题 已知矩阵A 3-22-1/.4表示4中(,元的代数余子式则A1-A12 ).(2019年) 0034 设矩阵 等价,则a=().(2016年)

13. Aè3› , ÚA121\111B, 2ÚB11−1\12C, PP =   1 1 0 0 1 0 0 0 1  , K( ). (2006c) (A) C = P −1AP (B) C = P AP −1 (C) C = P T AP (D) C = P AP T 14. Aèn(n ≥ 2)å_› , ÜA111Ü121› B, A∗ , B∗©OèA, Bäë› , K( ). (2005c) (A) ÜA∗11Ü12B∗ (B) ÜA∗111Ü121B∗ (C) ÜA∗11Ü12−B∗ (D) ÜA∗111Ü121−B∗ 15. A¥3› ,ÚA11Ü12ÜBß2rB12\13CßK˜vAQ = Cå_ › Qè( ). (2004c) (A) A =   0 1 0 1 0 0 1 0 1   (B) A =   0 1 0 1 0 1 0 0 1   (C) A =   0 1 0 1 0 0 0 1 1   (D) A =   0 1 1 1 0 0 0 0 1   16. n(n ≥ 3)› A =   1 a a · · · a a 1 a · · · a a a 1 · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1   , e› Aùèn − 1, Ka7è( ). (1998c) (A) 1 (B) 1 1−n (C) −1 (D) 1 n−1 17. n(n ≥ 3)ê Aäë èA∗ ,~Ík 6= 0, ±1,K(kA) ∗ = ( ). (1998c) (A) kA∗ (B) k n−1A∗ (C) k nA∗ (D) k −1A∗ . WòK 1. Æ› A =   1 −1 0 0 −2 1 −1 1 3 −2 2 −1 0 0 3 4   , AijL´|A|•(i, j)ìÍ{f™, KA11 − A12 = ( ). (2019c) 2. ›   a −1 −1 −1 a −1 −1 −1 a   Ü   1 1 0 0 −1 1 1 0 1   d, Ka =( ). (2016c) 3

0100 3.设矩阵A 0010 则A3的秩=().(2007年) 0001 0000 4.设a为3维列向量,a是a的转置,若aa 11-1|.则a7a=().(2009年) 5.设矩阵A满足A2+A-4E=0,其中E为单位矩阵,则(A-E)-1=().(2001年 1000 6.设4=0-450E为阶单位矩阵且B=(E+4)(B-小.则(E+B1=(2m0年 00-67 101 7.设A=020,而n≥2为正整数,则A-24-1=().(1999) 101 12-2 8.设A=4t3,B为三阶非零矩阵且AB=0,则t=().(1997年5) 3 100 9.设A=220,A是A的伴随矩阵,则(A)-2=().(95年 34 10.设A=aB其中a=(1,2,3,B=(,,3),则An=().(199年) 三.计算题 2-21 已知矩阵A=2x-2与B=0-10相似 00-2 (2)求可逆矩阵P使得P-1AP=B.(2019年) 2.已知a是常数,且矩阵A=130可经过初等变换化为矩阵B=011 (2)求满足AP=B的可逆矩阵P.(2018年) 0-11 3.已知矩阵A=2-30 000

3. › A =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   , KA3ù=( ). (2007c) 4. αè3ëï˛, α T¥α=ò, eααT =   1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1  , Kα T α = ( ). (2003c) 5. › A˜vA2 + A − 4E = 0, Ÿ•E踆› , K(A − E) −1 = ( ). (2001c) 6. A =   1 0 0 0 −2 3 0 0 0 −4 5 0 0 0 −6 7   , Eè4¸†› ,ÖB = (E + A) −1 (E − A),K(E + B) −1 = ( ). (2000c) 7. A =   1 0 1 0 2 0 1 0 1  , n ≥ 2èÍ, KAn − 2An−1 = ( ). (1999c) 8. A =   1 2 −2 4 t 3 3 −1 1  , Bènö"› ÖAB = 0, Kt = ( ). (1997c) 9. A =   1 0 0 2 2 0 3 4 5  , A∗¥Aäë› , K(A∗ ) −1=( ). (1995c) 10. A = α 0 β,Ÿ•α = (1, 2, 3), β = (1, 1 2 , 1 3 ),KAn = ( ). (1994c) n. OéK 1. Æ› A =   −2 −2 1 2 x −2 0 0 −2   ÜB =   2 1 0 0 −1 0 0 0 y   Éq. (1) ¶x, y; (2) ¶å_› P, ¶P −1AP = B. (2019c) 2. Æa¥~Í, Ö› A =   1 2 a 1 3 0 2 7 −a   å²L–CÜzè› B =   1 a 2 0 1 1 −1 1 1  . (1) ¶a; (2) ¶˜vAP = Bå_› P. (2018c) 3. Æ› A =   0 −1 1 2 −3 0 0 0 0  . 4

(1)求A9; (2)设三阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA.记B0=(1,B2,月3),将1,B2,B3分别表示 为a1,a2,a3的线性组合.(2016年) 4.设矩阵A=1a-1,且A3=0. 01a (1)求a的值; (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为三阶单位矩阵,求X.(2015年) 5.设矩阵A 13-3相似于矩阵B0b0 (1)求a,b的值 (2)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.(2015年) 6.设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 (1)求Ax=0的一个基础解系; (2)求满足AB=E的所有矩阵B.(2014年) 当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C. 10 (2013年) 20 8.若矩阵A=82a相似于对角矩阵A试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.(200年) 006 9.已知A,B为3阶矩阵且满足2A-1B=B-4E,其中E是3阶单位矩阵 (1)证明矩阵A-2E可逆; 1-20 (2)若B=120,求矩阵A.(2002年) 002 10.已知矩阵A=110,B=101,且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其 110 中E是3阶单位矩阵,求X.(2001年) 1.设矩阵A=-111|,矩阵X满足AX=A-1+2x,其中A是A的伴随矩阵,求矩阵x.(1999)

(1) ¶A99; (2) n› B = (α1, α2, α3) ˜vB2 = BA. PB100 = (β1, β2, β3), Úβ1, β2, β3 ©OL´ èα1, α2, α3Ç5|‹. (2016c) 4. › A =   a 1 0 1 a −1 0 1 a  , ÖA3 = 0. (1) ¶aä; (2) e› X˜vX − XA2 − AX + AXA2 = E, Ÿ•Eèn¸†› , ¶X. (2015c) 5. › A =   0 2 −3 −1 3 −3 1 −2 a   Équ› B   1 −2 0 0 b 0 0 3 1  . (1) ¶a, bä; (2) ¶å_› P, ¶P −1APèÈ› . (2015c) 6. › A =   1 −2 3 −4 0 1 −1 1 1 2 0 −3  , Eèn¸†› . (1) ¶Ax = 0òáƒ:)X; (2) ¶˜vAB = E§k› B. (2014c) 7. A = 1 a 1 0 ! , B = 0 1 1 b ! . a, bè¤äû, 3› C¶AC − CA = B, ø¶§k› C. (2013c) 8. e› A =   2 2 0 8 2 a 0 0 6   ÉquÈ› Λ, £(½~Íaä; ø¶å_› P, ¶P −1AP = Λ. (2003c) 9. ÆA, Bè3› Ö˜v2A−1B = B − 4E, Ÿ•E¥3¸†› . (1)y²› A − 2Eå_; (2)eB =   1 −2 0 1 2 0 0 0 2  , ¶› A. (2002c) 10. Æ› A =   1 0 0 1 1 0 1 1 1  , B =   0 1 1 1 0 1 1 1 0  , Ö› X˜vAXA + BXB = AXB + BXA + E, Ÿ •E¥3¸†› , ¶X. (2001c) 11. › A =   1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1  , › X˜vA∗X = A−1+2X, Ÿ•A∗¥Aäë› , ¶› X. (1999c) 5

1201 12.设A为阶矩阵,B=012-3 0120.(2r-c1B=C-1,求A(19s0 0012 0012 0001 0001 3.设A2-AB=I且A=011,求矩阵B.(199年) 00-1 四.证明题 00.2 证明n阶矩阵 相似.(2014年) 00 (林增强林秋林程潘红林鹭整理)

12. Aè4› , B =   1 2 −3 −2 0 1 2 −3 0 0 1 2 0 0 0 1   , C =   1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1   , (2I − C −1B)Aτ = C −1 , ¶A. (1998c) 13. A2 − AB = IÖA =   1 1 −1 0 1 1 0 0 −1  , ¶› B. (1997c) o. y²K 1. y²n›   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   Ü   0 0 · · · 1 0 0 · · · 2 . . . . . . . . . 0 0 · · · n   Éq. (2014c) (Or ¢ ߢ ˘ n) 6