厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）线性方程组

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(一)试题 线性方程组部分 选择题 1.设4矩阵A=(a1)不可逆,a12的代数余子式12≠0,a1,a2,a3,a3为矩阵4的列向量组,A为A的伴 随矩阵,则A·x=0的通解为().(2020年) (A)x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k,k2,k3为任意常数 (B)x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (C)x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (D)x=k1a2+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k为任意常数 2.设A=12a,b=d.若集合?={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件 14a2 为().(2015年 (A)aEn, d gQ (B)agg,d∈ (C)a∈!.,dg (D)a∈g,d∈9 3.设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若(1,0,1,0)7是方程组Ax=0的一个基础解系, 则Ax=0的基础解系可为().(2011年) (C) 4.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若51,E2,53,54是非齐次线性方程组Ax=B的互不相等的解,则对应 的齐次线性方程组Ax=0的基础解系().(2004年) (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量 5.设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题:(2003年)

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£ò§£K (Ç5êß|‹©) ò. ¿JK 1. 4› A = (aij )ÿå_, a12ìÍ{f™A12 6= 0, α1, α2, α3, α3è› Aï˛|, A∗èAä ë› , KA∗x = 0œ)è( ). (2020c) (A) x = k1α1 + k2α2 + k3α3, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (B) x = k1α1 + k2α2 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (C) x = k1α1 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (D) x = k1α2 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í 2. A =   1 1 1 1 2 a 1 4 a 2  , b =   1 d d 2  . e8‹Ω = {1, 2}, KÇ5êß|Ax = bkðı)ø©7á^á è( ). (2015c) (A) a 6∈ Ω, d 6∈ Ω (B) a 6∈ Ω, d ∈ Ω (C) a ∈ Ω, d 6∈ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω 3. A = (α1, α2, α3, α4)¥4› ßA∗¥Aäë› ße(1, 0, 1, 0)T¥êß|Ax = 0òáƒ:)Xß KA∗x = 0ƒ:)Xåè( ). (2011c) (A) α1, α3 (B) α1, α2 (C) α1, α2, α3 (D) α2, α3, α4. 4. n› Aäë› A∗ 6= 0, eξ1, ξ2, ξ3, ξ4¥ö‡gÇ5êß|Ax = BpÿÉ), KÈA ‡gÇ5êß|Ax = 0ƒ:)X( ). (2004c) (A) ÿ3 (B) =¹òáö")ï˛ (C)¹k¸áÇ5Ã')ï˛ (D) ¹knáÇ5Ã')ï˛ 5. k‡gÇ5êß|Ax = 0⁄Bx = 0,Ÿ•A, B˛èm × n› , yk4á·K: (2003c) 1

(1)若Ax=0的解都是Bx=0的解,则秩(4)≥秩(B) (2)若秩(4)≥秩(B),则Ax=0的解都是Bx=0的解 (3)若Ax=0和Br=0同解,则秩(A)=秩(B)秩 (4)若秩(4)=秩(B),则Ax=0和Bx=0同解 以上命题正确的是() (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(2)(4) (D)(3)(4 6.设A,B是m×n和n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0().(2002年) (A)当n>m时仅有零解 (B)当n>m时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解 (D)当m>n时必有非零解 7.当A=()时,a1=(1,0,2),a2=(0,1,-1)都是线性方程组AX=0的解.(1992年) 102 (A)(-2,1,1) (C) 011 01-1 011 8.设线性方程组AX=6的两个不同解为1,B2,其导出组的一个基础解系为a1,a2,则线性方程组AX b的通解X=(),(k1,k2为任意常数,.(199年) (A)k1a1+k2(a1+a2)+是(1-B2) (B)k1a1+k2(a1-a2)+(1+2) (C)ka1+k2(1+B2)+与(1-B2) (D)k1a1+k2(61-B2)+是(61+B2) 二.填空题 设A=(a1,a2,a3)为阶矩阵,若a1,a2线性无关,且a3=-a1+2a2,则线性方程组Ax=0的通解为 ().(2019年) 2.设方程1a1x2 1|有无穷多个解,则a=().(2001年) 11a 3.设m阶方阵A的各行元素之和均为零且r(A)=n-1,则线性方程组AX=0的通解=().(199年) 三.计算题 1.设阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4)=2; (2)若β=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年)

(1)eAx = 0)—¥Bx = 0), Kù(A) ≥ù(B) (2)eù(A) ≥ù(B), KAx = 0)—¥Bx = 0) (3)eAx = 0⁄Bx = 0”), Kù(A) =ù(B)ù (4)eù(A) =ù(B), KAx = 0⁄Bx = 0”). ±˛·K(¥( ). (A) (1)(2) (B) (1)(3) (C) (2)(4) (D) (3)(4). 6. A, B¥m × n⁄n × m› , KÇ5êß|(AB)x = 0( ). (2002c) (A) n > mû=k") (B) n > m û7kö") (C) m > nû=k") (D)m > n û7kö") 7. A = ( )û, α1 = (1, 0, 2)0 , α2 = (0, 1, −1)0—¥Ç5êß|AX = 0). (1992c) (A) (−2, 1, 1), (B) 2 0 −1 0 1 1 ! (C) −1 0 2 0 1 −1 ! (D)   0 1 −1 4 −2 −2 0 1 1   8. Ç5êß|AX = b¸áÿ”)èβ1, β2,Ÿ—|òáƒ:)Xèα1, α2, KÇ5êß|AX = bœ)X = ( ),(k1, k2è?ø~Í). (1990c) (A) k1α1 + k2(α1 + α2) + 1 2 (β1 − β2) (B) k1α1 + k2(α1 − α2) + 1 2 (β1 + β2) (C) k1α1 + k2(β1 + β2) + 1 2 (β1 − β2) (D) k1α1 + k2(β1 − β2) + 1 2 (β1 + β2) . WòK 1. A = (α1, α2, α3)è3› , eα1, α2Ç5Ã', Öα3 = −α1 + 2α2, KÇ5êß|Ax = 0œ)è ( ). (2019c) 2. êß   a 1 1 1 a 1 1 1 a     x1 x2 x3   =   1 1 −2   kðıá), Ka =( ). (2001c) 3. nê Aà1ÉÉ⁄˛è"Ör(A) = n − 1, KÇ5êß|AX = 0œ)=( ). (1993c) n. OéK 1. 3› A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2

2.设矩阵A 2a1,B 1a.当a为何值时,方程AX=B无解,有解,有无穷多 解?在有解时,求解此方程.(2016年) 3.设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 120-3 求Ax=0的一个基础解系 (2)求满足AB=E的所有矩阵B(2014年) 4.设A= 01a0 001a a001 0 (2)已知线性方程组AX=B有无穷多解,求a,并求AX=β的通解.(2012年) 5.设向量组a1=(1,0,1)2,a2=(0,1,1),a3=(1,3,5),不能由向量组1=(1,1,1),B2=(1,2,3),B3= (3,4,a)2线性表示 (1)求a的值 (2)将B1,B2,B3用a1,a2,a3线性表示.(2011年) 6.设A=0x-10b=(a1,1)x.已知线性方程组Ax=6存在两个不同的解 11入 (1)求入,a, (2)求方程组Ax=b的通解.(2010年) 设 1|,51=( (1)求满足A2=51,A253=51的所有向量2,3 (2)对(1)中的任一向量2,5,证明:51,2,53线性无关.(2009年) 8.设n元线性方程组Ax=b,其中矩阵A 其中A为n阶方阵,x=(x1,x2,…,xn)T, T

2. › A =   1 −1 −1 2 a 1 −1 1 a  , B =   2 2 1 a −a − 1 −2  . aè¤äû, êßAX = BÃ), k), kðı )? 3k)û, ¶)dêß. (2016c) 3. › A =   1 −2 3 −4 0 1 −1 1 1 2 0 −3  , Eèn¸†› . (1) ¶Ax = 0òáƒ:)X (2) ¶˜vAB = E§k› B (2014c) 4. A =   1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1   , β =   1 −1 0 0   . (1) ¶|A|; (2) ÆÇ5êß|AX = βkðı), ¶a, ø¶AX = βœ). (2012c) 5. ï˛|α1 = (1, 0, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (1, 3, 5)T , ÿUdï˛|β1 = (1, 1, 1)T , β2 = (1, 2, 3)T , β3 = (3, 4, a) TÇ5L´. (1)¶aä (2)Úβ1, β2, β3^α1, α2, α3Ç5L´. (2011c) 6. A =   λ 1 1 0 λ − 1 0 1 1 λ  ,b = (a, 1, 1)T . ÆÇ5êß|Ax = b3¸áÿ”). (1)¶λ, a, (2)¶êß|Ax = bœ). (2010c) 7. A =   1 −1 −1 −1 1 1 0 −4 −2  , ξ1 = (−1.1. − 2)T . (1)¶˜vAξ2 = ξ1, A2 ξ3 = ξ1§kï˛ξ2, ξ3; (2)È(1)•?òï˛ξ2, ξ3, y²: ξ1, ξ2, ξ3Ç5Ã'. (2009c) 8. nÇ5êß|Ax = b, Ÿ•› A =   2a 1 · · · 0 0 a 2 2a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 2a 1 0 0 · · · a 2 2a   , Ÿ•Aènê , x = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (1, 0, · · · , 0)T . 3

(1)证明行列式4=(n+1)a (2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1 (3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.(2008年) 9.设线性方程组{x1+2x2+an3=0与方程x1+2m2+x3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解 x1+4x2+a2r3=0 (2007年) +x4=-1 0.已知非齐次线性方程组{4x1+3x+5x3-x4=-1有3个线性无关的解 (I)证明方程组系数矩阵A的秩r(4)=2 (I)求a,b的值及方程组的通解.(2006年) 1.已知3阶矩阵A的第一行是(nb,,a,c不全为零矩阵B=246(为常数),且AB=0,求线性 36k 方程组Ax=0的通解.(2005年) (1+a)x1+x2+…+xn=0 12.设有齐次线性方程组 2x1+(2+a)x2+…+2xn=0 (n≥2) nx1+nx2+…+(m+a)xn=0 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(2004年) 3.已知平面上三条不同直线的方程分别为 ar+ l3:cr+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.(2003年) 14.已知4阶方阵A=(a1,a2,a3,a4)a1,a2,a3,a4均为4维列向量,其中a2,a3,a4线性无关a1=2a2-a3, 如果B=a1+a2+a3+a4,求线性方程组AX=B的通解.(2002年) 5.设a1,a2,…,a,为线性方程组Ax=0的一个基础解系,B1=t1a1+t2a2,B2=t1a2+t2a3,…, B=t1as+ta1,其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,B1,B2,…,B。也为AX=0的一个基 础解系.(2001年) 0|A=aB,B=Ba,其中B是B的转置,求解方程2B2A2x A4x+B4x+.(2000年)

(1) y²1™|A| = (n + 1)a n; (2) aè¤äû, Têß|kçò), ø¶x1¶ (3) aè¤äû, Têß|kðı), ø¶œ). (2008c) 9. Ç5êß|    x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 Üêßx1 + 2x2 + x3 = a − 1k˙
), ¶aä9§k˙
). (2007c) 10. Æö‡gÇ5êß|    x1 + x2 + x3 + x4 = −1 4x1 + 3x2 + 5x3 − x4 = −1 ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = 1 k3áÇ5Ã'). (I) y²êß|XÍ› Aùr(A) = 2; (II) ¶a, bä9êß|œ). (2006c) 11. Æ3› A1ò1¥(a, b, c), a, b, cÿè", › B =   1 2 3 2 4 6 3 6 k   (kè~Í), ÖAB = 0, ¶Ç5 êß|Ax = 0œ). (2005c) 12. k‡gÇ5êß|    (1 + a)x1 + x2 + · · · + xn = 0 2x1 + (2 + a)x2 + · · · + 2xn = 0 · · · nx1 + nx2 + · · · + (n + a)xn = 0 (n ≥ 2) £Øa¤äû, Têß|kö"), ø¶—Ÿœ). (2004c) 13. Ʋ°˛n^ÿ”ÜÇêß©Oè: l1 : ax + 2by + 3c = 0, l2 : bx + 2cy + 3a = 0, l3 : cx + 2ay + 3b = 0. £y˘n^ÜÇuò:ø©7á^áèa + b + c = 0. (2003c) 14. Æ4ê A = (α1, α2, α3, α4),α1, α2, α3, α4 ˛è4ëï˛, Ÿ•α2, α3, α4Ç5Ã'α1 = 2α2 − α3, XJβ = α1 + α2 + α3 + α4, ¶Ç5êß|AX = βœ). (2002c) 15. α1, α2, · · · , αsèÇ5êß|AX = 0òáƒ:)X, β1 = t1α1 + t2α2, β2 = t1α2 + t2α3,· · · , βs = t1αs + t2α1, Ÿ•t1, t2è¢~Í, £Øt1, t2˜vüo'Xû, β1, β2, · · · , βsèèAX = 0òრ:)X. (2001c) 16. α =     1 2 1     , β =     1 1 2 0     , γ =     0 0 8     ,A = αβ0 , B = β 0 α, Ÿ•β 0¥β=ò, ¶)êß2B2A2x = A4x + B4x + γ. (2000c) 4

17设方程组(1)a1x+a22+…+a22=0的一个基础解系为 a1=(b1,b2,…,b12n),a2=(b21,b2,…,b22n),an=(bn1,bn2 b1y+b12y+…+b1 0 写出方程组2)1b+b2+…+b2nmn=0的通解并说明理由.(199) 18.设B是秩为2的5×4矩阵,向量a1=(1,1,2,3),a2=(-1,-,4,-1),a3=(5,-1,-8.,9),是齐次线性 方程组BX=0的解向量,求BX=0的解空间的一个标准正交基.(1997年) 0 19.设四元线性方程组(1) 且某其次线性方程组(2)的通解为k1(O,1,1,0)+k2(-1,2,2,1) 求:(a)方程组(1)的基础解系;(b)方程组(1)与(2)是否有非零公共解?若有,则求出所有非零公共解 若没有,则说明理由.(1994年) T1+a 20何值时线性方程组x-1+2+23=A+2有解?并求其全部解,(19s9年) 6x1+x2+4x3=2A+3 21.问a,b为何值时,线性方程组 2+23+24=1无解,有唯一解有无穷多解?并求有无穷 x1+2x2+x3+a4=-1 多解时的通解.(1987年) 四.证明题 1.设向量组a1,a2,a3为R3的一个基,B1=2a1+2ka3,B2=2a2,B3=a1+(k+1)a3 (1)证明向量组61,B2,B3为R的一个基 (2)当k为何值时,存在非零向量在基a1a2,a3与基1,B2,B3下的坐标相同,并求所有的.(2015年) 2.设A为n阶方阵k为正整数,线性方程组AkX=0有解向量a且Ak-a≠0.求证:向量组a,Aa, Ak-1a是线性无关的.(1998年) 王忠梅吕洪波林秋林程潘红林鹭整理)

17. êß|(1)    a11x1 + a12x2 + · · · + a12nx2n = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a22nx2n = 0 an1x1 + an2x2 + · · · + an2nx2n = 0 òáƒ:)Xè α1 = (b11, b12, · · · , b12n) 0 , α2 = (b21, b22, · · · , b22n) 0 , αn = (bn1, bn2, · · · , bn2n) 0 , —êß|(2)    b11y1 + b12y2 + · · · + b12ny2n = 0 b21y1 + b22y2 + · · · + b22ny2n = 0 bn1y1 + bn2y2 + · · · + bn2ny2n = 0 œ), ø`²nd. (1998c) 18. B¥ùè25 × 4› , ï˛α1 = (1, 1, 2, 3)0 , α2 = (−1, −, 4, −1)0 , α3 = (5, −1, −8, 9)0 , ¥‡gÇ5 êß|BX = 0)ï˛, ¶BX = 0)òmòáIOƒ. (1997c) 19. oÇ5êß|(1)è ( x1 + x2 = 0 x2 − x4 = 0 Ö,ŸgÇ5êß|(2)œ)èk1(0, 1, 1, 0) + k2(−1, 2, 2, 1). ¶: (a)êß|(1)ƒ:)X; (b)êß|(1)Ü(2)¥ƒkö"˙
)? ek, K¶—§kö"˙
), evk, K`²nd. (1994c) 20. λè¤äû,Ç5êß|    x1 + x3 = λ 4x − 1 + x2 + 2x3 = λ + 2 6x1 + x2 + 4x3 = 2λ + 3 k)? ø¶Ÿ‹). (1989c) 21. Øa, bè¤äû, Ç5êß|    x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 = 1 −x2 + (a − 3)x3 − 2x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + ax4 = −1 Ã), kçò), kðı)? ø¶kð ı)ûœ). (1987c) o. y²K 1. ï˛|α1, α2, α3èR 3òáƒ, β1 = 2α1 + 2kα3, β2 = 2α2, β3 = α1 + (k + 1)α3. (1) y²ï˛|β1, β2, β3èR 3òრ(2) kè¤äû, 3ö"ï˛ξ3ƒα1, α2, α3܃β1, β2, β3eãIÉ”, ø¶§kξ. (2015c) 2. Aènê ,kèÍ, Ç5êß|AkX = 0k)ï˛αÖAk−1α 6= 0. ¶y: ï˛|α, Aα, · · · , Ak−1α¥Ç5Ã'. (1998c) £ßr ½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n§ 5