厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（基础训练）线性空间（练习）.pdf_大学文库

1 单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1 分，共 10 分 1．非齐次线性方程组 AZ = b（A 为 m×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是 ____________。 2． n+1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。 3．设向量组 1 2 3 a ,a ,a 线性无关，则常数 l, m 满足____________时，向量组 2 1 3 2 1 3 l a -a ,m a -a ,a -a 线性无关。 4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A) = n－1 则 Ax = 0 的通解为________。 5．若向量组 1 2 3 a ,a ,a 线性无关，则向量组 2 1 3 2 1 3 a +a ,a +a ,a +a ____________。 6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b，r (A) = 3， 1 2 3 h ,h ,h 是它的三个解向量，其中 T T (1, 2, 0, 2) , (1, 0, 1, 3) h1 +h 2 = h 2 + h3 = ，则齐次线性方程组的通解为 ____________________________________。 7．设向量组 1 2 3 b , b , b 由向量组 1 2 3 a ,a ,a 的线性表示式为 Ô Ó Ô Ì Ï = - + + = + - = - + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 b a a a b a a a b a a a ，则向量组 1 2 3 a ,a ,a 由向量组 1 2 3 b , b , b 的线性表示式为____________。 8．设秩(A) = r, 秩(B) = s，则秩 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê B A 0 0 ____________，秩 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê B A ____________ 9．设 A 是 n 阶方阵，秩 (A) = n－2，则秩 * A ____________。二、单项选择题每题 2 分，共 26 分 1．设 A、B 为 n 阶矩阵，则秩 ( A + B ) ____________。 A) > 秩 (A) + 秩（B） B) ≤ 秩 (A) + 秩（B） C) > max (秩 (A), 秩（B）) D) < min ( 秩 (A), 秩（B）) 2．设 A 为 n 阶矩阵， Er 为 r 阶单位矩阵，则秩 A Er ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê 0 0 0 ____________。 A) = r 或 = 秩 (A) B) = max ( 秩 (A)，r ) C) < min (秩 (A)，r) D) 以上都不对 3．已知向量组α1,α2, …,αm 线性相关，则命题____________成立。 A) α1,α2, …,αm 中至少有一个含有零向量 B) 对任意一组不全为零的常数 k1, k2, …, km，有 k1α1 + k2α2 + … + kmαm=0 C) α1,α2, …,αm 中任意一个向量均可由其余 m－1 个向量线性表示 D) 秩（α1,α2, …,αm）< m

2 4．方程组 Ó Ì Ï + = + = 0 0 1 2 1 2 x x x x l l ，当λ=____________时，方程组有非零解。 A) 0 B) ±1 C) 2 D) 任意实数 5．下列向量组中，____________是线性无关向量组。 A) (1, 2), (3, 0), (5, 1) B) (1, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 2, 0) C) (2, 6, 0), (3, 9, 0), (0, 0, 2) D) (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) 6．对齐次线性方程组 Ô Ó Ô Ì Ï - = - = - = 0 0 0 1 3 2 3 1 2 x x x x x x ____________是它的一个基础解系。 A) ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê 0 1 1 , 2 2 2 B) ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê 1 1 0 , 4 4 4 C) ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê 1 1 1 D) ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Ë Ê 1 0 1 7．当 k = ____________ 时，方程组 Ô Ó Ô Ì Ï - - = - - + = + - = ( 1)( 2) ( 3)( 4) 2 2 2 4 3 2 3 1 2 3 k k x k k x x x x x 无解。 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 8．设向量组α1,α2,α3 中是齐次线性方程组 AZ = 0 的一个基础解系，则向量组 ____________也是 AZ = 0 的一个基础解系。 A) α1 +α2, α2 +α3,α3 －α1 B) α1 +α2, α2 +α3, α1 +2α2+α3 C) 2α1,α1 +α2,α1 －α2 D) α1 +α2, α1 －α2,α3 9．设 A 为 m×n 矩阵，秩(A) = m < n，下列结论正确的是____________。 A) 齐次线性方程组 AZ = 0 只有零解 B) 非齐次线性方程组AZ = b有无穷多解 C) A 中任一个 m 阶子式均不等于零 D) A 中任意 m 个列向量必线性无关。 10．设η1，η2，η3是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则____________也是该方程组的一个基础解系。 A) 可由η1，η2，η3线性表示的向量组； B) 与η1，η2，η3等秩的向量组 C) η1，η1+η3，η1+η2+η3 D) η1－η2，η2－η3，η3－η1 11．设ξ1，ξ2是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同解，η是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个非零解，则____________。 A) 向量组ξ1－ξ2，ξ1线性无关 B) B) 向量组ξ1－ξ2，η线性相关 C) Ax = b 的通解为ξ1＋kη，其中 k 为任意数 D) D) Ax = b 的通解为ξ1＋s (ξ1－ξ2)＋tη，其中 s，t 为任意数 12．设 A 为 m×n 矩阵，秩 (A) = r，则下列结论中正确的是____________。 A) r = n 时，Ax = b 有唯一解 B) m = n 时，Ax = b 有唯一解 C) r < n 时，Ax = b 有无穷多解 D) m = n 时，Ax = b 有解 13．已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0，则____________。 A) 方程组有无穷多解 B) 方程组无解 C) 方程组有唯一解或无穷多解 D) 方程组可能无解，也可能有无穷多解三、计算题每小题 8 分，共 40 分

3 1．求向量组α1=（－1，0，1，0）, α2 =（1，1，1，1）,α3=（0，1，2，1）， α4=（－1，1，3，1）的秩，并求其一个极大无关组。 2．设有向量α1=（1+t，1，1）, α2 =（1，1+t，1）,α3=（1，1，1+t），β=（0，t， t2），问 t 为何值时， 1） β可由α1,α2,α3 线性表示，且表达式唯一； 2） β可由α1,α2,α3 线性表示，且表达式不唯一； 3） β不可由α1,α2,α3 线性表示。 3．对 ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Ë Ê = ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Á Á Ë Ê ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Ë Ê - - b a x x x x x 3 1 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1 5 4 3 2 1 ， 1） a，b 为何值时，方程组有解； 2）方程组有解时，求导出组的一个基础解系； 3）方程组有解时，求其通解。 4．已知齐次线性方程组（I）为 Ó Ì Ï + - = + - = 0 0 2 3 4 1 2 3 x x x x x x ，齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为 ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Ë Ê = ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Ë Ê- = 1 1 0 1 , 4 2 1 1 x 1 x 2 。求（I），（Ⅱ）的公共解，并指明该公共解如何由（I），（Ⅱ）的基础解系线性表示。 5． a，b，c，d 满足什么条件时，方程组 Ô Ô Ó Ô Ô Ì Ï + - - = - - + = - + - = + + + = 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 dx cx bx ax cx dx ax bx bx ax dx cx ax bx cx dx 何时只有零解？四、证明题：每题 8 分，共 24 分 1． a a a m , , , 1 2 L 是 m 个 n 维列向量，且 A 是可逆的 n 阶矩阵。证明：当a a a m , , , 1 2 L 线性相关时，Aa Aa Aa m , , , 1 2 L 也线性相关；当a a a m , , , 1 2 L 线性无关时， Aa Aa Aa m , , , 1 2 L 也线性无关。 2．设 A 是 n 阶方阵，若存在 n 维列向量a 和正整数 k，使得 0 , 0 1 = ¹ - a a k k A A ，证明：向量组a a a a 2 1 , , , , k - A A L A 线性无关。 3．设 A，B 是 n 阶方阵，且 AB = 0，则秩（A）+ 秩 (B) ≤ n