分厦门大学《高等代数(I)》课程试卷 数学,经济学院各,统计系2020年级各专业 主考教师:林亚南杜妮,林鹭试卷类型:A卷考试日期:2021.1.5 、填空题:(18分.每题3分,共6题) 1.在R+={a∈R>0}中,定义加法和数乘为a④b=b,ka=d,则R+构成R上的线 性空间,此时dimR+= 请写出它的一个基 2设向量组I:α1,a2,ax3,向量组I:α1+α2,α2+a3,aax1+a3,则向量组等价于向量组I的 充分必要条件是a 3.设α1,∞2,…,ax,β是V中线性无关的向量组,Ⅵ1=(a1,α2,…,cx,V2=(α1+B,2,…,ax), 则dim(V1+V2) dim(V∩v2) 4设是线性空间V到W的线性映射,且q在V的基552,53和W的基n,n2下的矩阵为 则Imq= 110 5设二维线性空间v的线性变换φ在基51,与2下的矩阵为 则p在基51,51+52下 的矩阵为 200 6设q是三维线性空间v的线性变换q在V的基52,53下的矩阵为120|.则p的 012 所有非平凡不变子空间是
fÄåÆ5p ìÍ£I§6ëß£Ú ÍÆ, ²L Æ à, ⁄O X 2020c? à ;í ÃìµÊH,⁄V, ˘ £Úa.µA Ú £Fœµ2021.1.5 ò!WòK: (18©. zK3©, 6K) 1 .3R + = {a ∈ R|a > 0}•, ½¬\{⁄Ͷèa Lb = ab, k · a = a k , KR +§R ˛Ç 5òm, dûdimR + = , û—ßòრ. 2 .ï˛|I: α1,α2,α3, ï˛|II: α1 +α2,α2 +α3,aα1 +α3, Kï˛|I duï˛|II ø©7á^á¥a . 3 .α1,α2,··· ,αr ,β¥V•Ç5Ã'ï˛|,V1 = hα1,α2,··· ,αri,V2 = hα1+β,α2,··· ,αri, Kdim(V1 +V2) = , dim(V1 T V2) = . 4 .ϕ¥Ç5òmVWÇ5N, Öϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3⁄Wƒη1,η2 e› è 1 2 1 −1 1 0 ! , KImϕ = , Kerϕ = . 5 .ëÇ5òmVÇ5CÜϕ3ƒξ1,ξ2e› è 1 2 1 1 ! , Kϕ3ƒξ1, ξ1 +ξ2e › è . 6 .ϕ¥nëÇ5òmVÇ5CÜ, ϕ3Vƒξ1,ξ2,ξ3e› è 2 0 0 1 2 0 0 1 2 , Kϕ §kö²ÖÿCfòm¥ . 1
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 选择题:(18分,每题3分,共6题) 是线性空间V={A∈F3×3AT=-A}的一个基 (A)E12,E13,-E21,E23,-E31,-E32 B)0,E12-E21,E13-E31,E23-E32 (CE12-E21,E13-E31,E23-E32 ①D)E11E12,E13,-E21,E2,E23,-E31,-E32,E33 2设V1,V2是n维线性空间V的子空间,且V=V1+V,则 (A)VUV是V的子空间 (B)dimv=dimVitdimv2 (C)W的一个基与V2的一个基凑在一起即构成V的一个基 ①D)若1=(1,52,…,5),V=(+1,5+2,…,5n),则V=(51,2,…,5,5+1,5+2,…,5n 3设51,52,…,5n和m,2,…,mn是n维线性空间V的向量,满足(,n2,…,mn)=(51,52,…,n)A, 则是错误的 (A)若A可逆,则n,n2,…,n必线性无关 (B)若A不可逆,则n1,m2,…,nm必线性相关 (C)若1,52,…,5n和n1,n2,…,mn都是V的基,则A必可逆 (D)若51,52,…,与n是V的基,A可逆,则n1,n2,…,mn必是V的基 4.设q是V到U的线性映射,则 (A)把V的基变成U的基 (B)φ把V中子空间变成U中子空间 (C)φ把V的直和分解变成U的直和分解 (D)φ把v中线性无关向量组变成U中线性无关向量组 5.下列定义中有个是Fnxn的线性同构. AHA b A d.:A→A (C)2 (D)3 6.设φ是线性空间V的线性变换,U是φ-子空间,下列叙述中有 个是正确的 a.若是单射,则qu是单射 b.若φ是满射,则φu是满射 c.若q是可逆,则φu是可逆 d.若q是同构,则qpb是同构 第2页,共3页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú !¿JK: (18©, zK3©, 6K) 1 . ¥Ç5òmV = {A ∈ F 3×3 |A T = −A}òáƒ. (A) E12,E13,−E21,E23,−E31,−E32 (B) 0,E12 −E21,E13 −E31,E23 −E32 (C) E12 −E21,E13 −E31,E23 −E32 (D) E11,E12,E13,−E21,E22,E23,−E31,−E32,E33 2 .V1,V2¥nëÇ5òmVfòm, ÖV = V1 +V2, K . (A) V1 S V2¥Vfòm (B) dimV = dimV1 +dimV2 (C) V1òáƒÜV2òáƒn3òÂ=§Vòრ(D) eV1 = hξ1,ξ2,··· ,ξri, V2 = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni, KV = hξ1,ξ2,··· ,ξr ,ξr+1,ξr+2,··· ,ξni 3 .ξ1,ξ2,··· ,ξn⁄η1,η2,··· ,ηn¥nëÇ5òmVï˛, ˜v(η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)A, K ¥Üÿ. (A) eAå_, Kη1,η2,··· ,ηn7Ç5Ã' (B) eAÿå_, Kη1,η2,··· ,ηn7Ç5É' (C) eξ1,ξ2,··· ,ξn⁄η1,η2,··· ,ηn—¥Vƒ, KA7å_ (D) eξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vƒ, Aå_, Kη1,η2,··· ,ηn7¥Vƒ 4 .ϕ¥VUÇ5N, K . (A) ϕrVƒC§Uƒ (B) ϕrV•fòmC§U•fòm (C) ϕrVÜ⁄©)C§UÜ⁄©) (D) ϕrV•Ç5Ã'ï˛|C§U•Ç5Ã'ï˛| 5 .e½¬•k á¥F n×nÇ5”. a. σ : A 7→ A T b. σ : A 7→ A ∗ c. σ : A 7→ −A d. σ : A 7→ A−A T (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3. 6 .ϕ¥Ç5òmVÇ5CÜ, U¥ϕ−fòm, eQ„•k á¥(. a. eϕ¥¸, Kϕ|U¥¸ b. eϕ¥˜, Kϕ|U¥˜ c. eϕ¥å_, Kϕ|U¥å_ d. eϕ¥”, Kϕ|U¥” (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. 12ê, 3ê
2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 性相关证明:必可由1,…,线丝人…、O线性无关,a1,,m,B线 三、(6分)设α1,α2,…,αxm,β是线性空间v的向量, 四、(12分)设U={A∈F2×2AB=BA},其中 B 11 (1)证明:U是F2×2的子空间; (2)求U的一个基,并给出证明; (3)将(2)的基扩为F2×2的基 五、(12分)设A∈FX且A为可逆矩阵,A= A .V,V2分别是A1X=O和A2X=O的解空间 证明 六、(12分)设dmV=n,V是V的子空间 (1)若dimV≥号,证明存在V的子空间W,W,使得 V=V1⊕W=V⊕W且W∩W2=O; (2)问dmV<时,结论是否成立?并说明理由 七、(12分)设φ是V到U的线性映射,证明存在U到V的线性映射v,使得vqy=v 八、(10分)设是2n维线性空间V的线性变换.证明:Imo=Kero的充分必要条件是存在v的一 O E 个基,使得σ在这个基下的矩阵为 附加题(10分)设线性空间V=U⊕W,其中dmU=k.对于U到W的线性映射q,定义 F={u+q()|u∈U 设S是V的k维子空间证明:存在U到W的线性映射φ使得S=Iφ的充分必要条件是S∩W=0 第3页,共3页
2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5p ìÍ(I)6œ"£Ú n!(6©) α1,α2,··· ,αm,β¥Ç5òmVï˛, Öα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã', α1,α2,··· ,αm,βÇ 5É', y²: β7ådα1,α2,··· ,αmÇ5L—. o!(12©) U = {A ∈ F 2×2 |AB = BA}, Ÿ• B = 1 2 1 1 ! . (1) y²: U¥F 2×2fòm; (2) ¶Uòáƒ, øâ—y²; (3) Ú(2)ƒ*èF 2×2ƒ. !(12©) A ∈ F n×nÖAèå_› , A = A1 A2 ! . V1,V2©O¥A1X = O⁄A2X = O)òm. y²: F n = V1 MV2. 8!(12©) dimV = n, V1¥Vfòm. (1) edimV1 ≥ n 2 , y²3VfòmW1,W2, ¶ V = V1 LW1 = V1 LW2ÖW1 T W2 = O; (2) ØdimV1 < n 2û, (ÿ¥ƒ§·? ø`²nd. ‘!(12©) ϕ¥VUÇ5N, y²3UVÇ5Nψ, ¶ψϕψ = ψ. l!(10©) σ¥2nëÇ5òmVÇ5CÜ. y²: Imσ = Kerσø©7á^á¥3Vò áƒ, ¶σ3˘áƒe› è O En O O ! . N\K (10©) Ç5òmV = U LW, Ÿ•dimU = k. ÈuUWÇ5Nϕ, ½¬ Γϕ = {u+ϕ(u)|u ∈ U}. S¥Vkëfòm. y²: 3UWÇ5Nϕ¶S = Γϕø©7á^á¥S T W = 0. 13ê, 3ê