填空题、选择题练习(内积空间部分) 填空题 1.在R2中定义内积 (X,Y)=x1+2x2,VX=(x1,x2),Y=(y,y)∈R2 则基a1=(1,1),a2=(1,2)的度量矩阵为( 2.已知e1=(),e=(-者加),e3=(0,-立)是R3的 组标准正交基,则向量=(1,-1,0)在该基下的坐标为 3.设A=(a1)nxn为正交矩阵且a1=-1,则矩阵方程AX=(1,0,…,0) 的解为( ),YA=(1,0,…,0)的解为 4.设实对称矩阵A3×3的全体特征值为A1=A2=-1,A3=2,且X3= (1,1,1)是A的属于特征值2的一个特征向量,则A的属于特征值-1的全体特 征向量为() 选择题 1.在下列二元实函数中,()可作为实线性空间V=C[-1,1的内积 (A)y1(f(x),g(x)=1,vf(x),9(x)∈ (B)2(f(), g(a))=Jo f(a)g(a)dx, Vf(ar),g(r)EV (C)3(f(r), g(a))=Jo f(r)g(r)dx-f(a)g(a)d. Vf(), g(a)EV (D)(f(x),g(x)=/1f(x)9(x)dx+2/bf(x)y(x)d,vf(x),9(x)∈V 1234 2在R4中,与矩阵A=2345的每个行向量都正交的全体向量所 构成的子空间W的维数为() (A)1(B)2(C)3(D)4 3.下列矩阵中,()是正交矩阵 221 )01-4 212
✁✂✄☎✆✂✝✞ (✟ ✠✁✡☛☞) ✌✍✎✏✑ 1. ✒ R 2 ✓✔✕✖✗✘ (X, Y ) = x1y1 + 2x2y2, ∀X = (x1, x2), Y = (y1, y2) ∈ R 2 , ✙✚ α1 = (1, 1), α2 = (1, 2) ✛✜✢✣✤✥ ( ). 2. ✦ ✧ e1 = ( √ 1 3 , √ 1 3 , √ 1 3 ) 0 , e2 = (−√ 2 6 , √ 1 6 , √ 1 6 ) 0 , e3 = (0, −√ 1 2 , √ 1 2 ) 0 ★ R 3 ✛✩ ✪✫✬✭✮✚✘✙✯✢ β = (1, −1, 0)0 ✒✰✚✱✛✲✫✥ ( ). 3. ✳ A = (aij )n×n ✥✭✮✣✤✴ a11 = −1, ✙ ✣✤✵✶ AX = (1, 0, · · · , 0)0 ✛✷✥ ( ),Y A = (1, 0, · · · , 0) ✛✷✥ ( ). 4. ✳✸✹✺✣ ✤ A3×3 ✛✻✼✽✾✿✥ λ1 = λ2 = −1, λ3 = 2, ✴ X3 = (1, 1, 1)0 ★ A ✛❀❁✽✾✿ 2 ✛✩❂✽✾✯ ✢ ✘✙ A ✛❀❁✽✾✿ -1 ✛✻✼✽ ✾ ✯ ✢ ✥ ( ). ❃✍❄❅✑ 1. ✒ ✱❆❇❈✸❉❊✓✘ ( ) ❋●✥ ✸❍■❏❑ V = C[−1, 1] ✛ ✖✗✍ (A) ϕ1(f(x), g(x)) = 1, ∀f(x), g(x) ∈ V ; (B) ϕ2(f(x), g(x)) = R 1 0 f(x)g(x)dx, ∀f(x), g(x) ∈ V ; (C) ϕ3(f(x), g(x)) = R 1 0 f(x)g(x)dx − R 0 −1 f(x)g(x)dx, ∀f(x), g(x) ∈ V ; (D) ϕ4(f(x), g(x)) = R 0 −1 f(x)g(x)dx + 2 R 1 0 f(x)g(x)dx, ∀f(x), g(x) ∈ V. 2. ✒ R 4 ✓✘▲ ✣✤ A = 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 ✛▼❂◆✯ ✢❖✭✮✛✻✼✯ ✢P ◗❘✛❙❏❑ W ✛❚❊✥ ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. ✱❆✣✤✓✘ ( ) ★✭✮✣✤✍ (A) −1 2 1 0 1 −4 1 2 1 ; (B) 2 2 1 1 −2 2 −2 1 2 ; 1
0 333 4.设A∈Rx"(n≥2),A·为A的伴随矩阵,则A为正交矩阵的充分必要条 件为() (A)A2为正交矩阵(B)A为正交矩阵 (C)当|4>0时A*=A(D)当|4<0时A*=-A 5设(1,2)是实对称矩阵A的特征向量,且|4<0,则()也是A的特征 向量 (A)k(1,2),k∈R(B)k(-2,1),k∈R非零 (C)k1(1,2)+k2(-2,1),k1,k2∈R不全为零 (D)k1(1,2)+k2(-2,1),k,k∈R全不为零
(C) 2 3 2 3 1 3 1 3 − 2 3 2 3 − 2 3 1 3 2 3 ; (D) √ 1 2 √ 1 6 3 0 −√ 2 6 1 −√ 1 2 √ 1 6 −1 ; 4. ✳ A ∈ R n×n (n ≥ 2), A∗ ✥ A ✛❯❱✣✤✘✙ A ✥✭✮✣✤✛❲❳❨❩❬ ❭✥ ( ). (A) A 2 ✥✭✮✣✤ (B) A ∗ ✥✭✮✣✤ (C) ❪ |A| > 0 ❫ A∗ = A 0 (D) ❪ |A| < 0 ❫ A∗ = −A 0 5. ✳ (1, 2)0 ★ ✸✹✺✣✤ A ✛✽✾✯ ✢ ✘✴ |A| < 0, ✙ ( ) ❴★ A ✛✽✾ ✯ ✢✍ (A) k(1, 2)0 , k ∈ R (B) k(−2, 1)0 , k ∈ R ❵❛ (C) k1(1, 2)0 + k2(−2, 1)0 , k1, k2 ∈ R ❜✻✥ ❛ (D) k1(1, 2)0 + k2(−2, 1)0 , k1, k2 ∈ R ✻❜✥ ❛ 2