厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）二次型

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(一)试题 (二次型部分 选择题 1.设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A2+A=2E,且4=4,则二次型xAa的规范形为( (2019年) (4)班2++3(B)+-(C)--(D)-班--明 2.设二次型f(x1,x2,x3)=x+2+3+4x1x2+4x2x3+4x1x3,则f(x1,x2,x3)=2在空间直角坐标系 下表示的二次曲面是().(2016年) (A)单页双曲面 (B)双叶双曲面 (C)椭球面 (D)柱面 填空题 (a)设f(x1,x2,x3)=a1-n2+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围为().(2014年) (b)已知实二次方程型f(x1,x2,x3)=a(x12+x2+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换r=Py可 化成标准型f=6,则a=().(2002年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换为x=Py下的标准形为2v2+v2-v,其中P=(e1,e2,e3).若Q (e1,-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为().(2015年) (A)2-2+(B)22+-3(C)2-2-(D)2++弱 三.计算题 1.设二次型f(x1,x2)=n+4x12+4n2经正交变换(1)=Q的)化为二次型00,)=a 4v2+bv,其中a≥b (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵Q.(2020年)

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êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£ò§£K (g.‹©) ò. ¿JK 1. A¥3¢È°› , E¥3¸†› . eA2 + A = 2E, Ö|A| = 4, Kg.x T Ax5â/è( ). (2019c) (A) y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 (B) y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) −y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 2. g.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 4x1x2 + 4x2x3 + 4x1x3, Kf(x1, x2, x3) = 23òmÜãIX eL´g­°¥( ). (2016c) (A) ¸êV­° (B) VìV­° (C) ˝•° (D) Œ° . WòK (a) f(x1, x2, x3) = x 2 1 − x 2 2 + 2ax1x3 + 4x2x3K.5çÍè1, Kaäâåè( ). (2014c) (b) Æ¢gêß.f(x1, x2, x3) = a(x1 2+x2 2+x3 2 )+4x1x2+4x1x3+4x2x3 ²CÜx = P yå z§IO.f = 6y 2 1 , Ka = ( ). (2002c) 3. g.f(x1, x2, x3)3CÜèx = P yeIO/è2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 , Ÿ•P = (e1, e2, e3). eQ = (e1, −e3, e2), Kf(x1, x2, x3)3CÜx = QyeIO/è( ). (2015c) (A) 2y 2 1 − y 2 2 + y 2 3 (B) 2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) 2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) 2y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 n. OéK 1. g.f(x1, x2) = x 2 1 + 4x1x2 + 4x 2 2 ²CÜ x1 x2 ! = Q y1 y2 ! zèg.g(y1, y2) = ay2 1 + 4y1y2 + by2 2 , Ÿ•a ≥ b. (1) ¶a, bä; (2) ¶› Q. (2020c) 1

2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求∫(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2xi-2+ar3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为2+A22.求a的值及一个正交矩阵Q(2017年) 4.矩阵A 011 A为矩阵A的转置,已知r(AA)=2,且二次型f=xA (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年) 5.已知二次型f(x1,x2,x3)=x7Ax在正交变换下x=Qy下的标准型为+,且Q的第三列是(,0,2) (1)求矩阵A (2)证明A-E为正定矩阵其中E为3阶单位矩阵.(2010年) 6.设二次型f(x1,x2,x3)=an2+an2+(a-1)-3+2x1x3-2x2x2 (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范型是驴+v2,求a的值.(2009年) 7.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)2+(1-a)x2+2x3+2(1+a)x1x2的秩为2 (1)求a的值; (2)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形 3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.(2005年) 8.设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+ax2)2+(x2+ax3)2+…+(xn-1+axn)2+(xn+ax1)2,其 中a(=1,2,,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,,xn)为正定 次型.(2000年) 9.设矩阵A=020,矩阵B=(kE+A),其中k为实数,E为单位矩阵求对角矩阵A使B与A相 101 似,并求k为何值时,B为正定矩阵.(1998年) 10.设二次曲面2+a2+2+2+2x+2y=4,可经正交变换y=Pn化为椭圆柱面方 程n2+4(2=4,求a,b和正交阵P.(1998年)

2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 5. Æg.f(x1, x2, x3) = x T Ax3CÜex = QyeIO.èy 2 1+y 2 2 , ÖQ1n¥( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . (1) ¶› A; (2) y²A − Eè½› ,Ÿ•Eè3¸†› . (2010c) 6. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3, (1) ¶g.f› §kAä; (2) eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 , ¶aä. (2009c) 7. Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2ùè2. (1) ¶aä; (2) ¶CÜx = Qy, rf(x1, x2, x3)z§IO/; (3) ¶êßf(x1, x2, x3) = 0). (2005c) 8. kn¢g.f(x1, x2, . . . , xn) = (x1 + ax2) 2 + (x2 + ax3) 2 + · · · + (xn−1 + axn) 2 + (xn + ax1) 2 , Ÿ •ai(i = 1, 2, . . . , n)è¢Í. £Ø: a1, a2, . . . , an˜v¤´^áû, g.f(x1, x2, . . . , xn)è½ g.. (2000c) 9. › A =   1 0 1 0 2 0 1 0 1  , › B = (kE + A) 2 , Ÿ•kè¢Í, E踆› . ¶È› Λ, ¶BÜΛÉ q, ø¶kè¤äû, Bè½› . (1998c) 10. g­°x 2 + ay2 + z2 + 2bxy + 2xz + 2yz = 4, å²CÜ   x y z   = P    η ζ   zè˝Œ°ê ßη 2 + 4ζ 2 = 4,¶a, b⁄ P. (1998c) 2

11.已知二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x2+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2 (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值; (2)指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面.(1996年) 12.二次型f=2x12+3x2+3x32+2ax2x3,(a>0),通过正交变换可化为标准式:f=y12+2y2+592 求参数a和所用的正交变换矩阵.(199年 13.求一个正交变换,使二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x2+x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3化为标准式 (1990年) 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记a=(a1,a2,a3)2,B (b1,b2b3) (1)证明二次型f对应的矩阵为2aa+B1B (2)若a,B正交且均为单位向量.证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+v2.(2013年) 2.设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=ME+AA.试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩 阵.(1999 3.设A是n阶正定阵,求证:|A+I1>1.(1991年) 吕洪波林秋林程潘红林鹭整理)

11. Æg.f(x1, x2, x3) = 5x 2 1 + 5x 2 2 + cx2 3 − 2x1x2 + 6x1x3 − 6x2x3ùè2. (1) ¶ÎÍc9dg.ÈA› Aä; (2) ç—êßf(x1, x2, x3) = 1L´¤´g­°. (1996c) 12. g.f = 2x1 2 + 3x2 2 + 3x3 2 + 2ax2x3,(a > 0), œLCÜåzèIO™:f = y1 2 + 2y2 2 + 5y3 2 , ¶ÎÍa⁄§^CÜ› . (1993c) 13. ¶òáCÜ,¶g.f(x1, x2, x3) = x1 2 + 4x2 2 + x3 2 − 4x1x2 + 4x1x3 − 8x2x3 zèIO™. (1990c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα = (a1, a2, a3) T , β = (b1, b2, b3) T . (1) y²g.fÈA› è2α T α + β T β; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛. y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 2. Aèm × n¢› , Eèn¸†› , Æ› B = λE + AT A. £y: λ > 0û, › Bè½› . (1999c) 3. A¥n½ , ¶y: |A + I| > 1. (1991c) (½ˆÅ ¢ ߢ ˘ n) 3