厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）线性方程组

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 线性方程组部分 选择题 1.设4矩阵A=(a)不可逆,a12的代数余子式A12≠0,a1,a2,a3,a3为矩阵4的列向量组,A+为A的伴 随矩阵,则Ax=0的通解为().(2020年) (A)x=k1a1+k2a2+k3a3,其中k1,k2,k3为任意常数 (B)x=k1a1+k2a2+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (C)x=k1a1+k2a3+k3a4,其中k1,k2,k3为任意常数 (D)x=k1a2+k2a3+k3a4,其中k,k2,k为任意常数 2.设A是四阶矩阵,A是A的伴随矩阵.若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量,则的秩 是().(2019年) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.设A=12a,b=a.若集合9={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件 4a2 为().(2015年) (A)agn, d Q (B)ag9,d∈! (C)a∈!,dg (D)a∈9,d∈9 4.设A是4×3矩阵,m,m,m是非齐次线性方程组Ax=B的3个线性无关解,k,k2为任意常数,则Ax B的通解为().(2011年) (A)m+n+k1(h2-m) C)m+n+k1(m3-m)+k2(m2-m) (D)。+k2(m2-m)+k1(7-m) 5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A·≠0,若51,2,53,54是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应 的齐次线性方程组Ax=0的基础解系().(2004年)

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (Ç5êß|‹©) ò. ¿JK 1. 4› A = (aij )ÿå_, a12ìÍ{f™A12 6= 0, α1, α2, α3, α3è› Aï˛|, A∗èAä ë› , KA∗x = 0œ)è( ). (2020c) (A) x = k1α1 + k2α2 + k3α3, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (B) x = k1α1 + k2α2 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (C) x = k1α1 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í (D) x = k1α2 + k2α3 + k3α4, Ÿ•k1, k2, k3è?ø~Í 2. A¥o› , A∗¥Aäë› . eÇ5êß|Ax = 0ƒ:)X•êk2áï˛, KA∗ù ¥( ). (2019c) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. A =   1 1 1 1 2 a 1 4 a 2  , b =   1 d d 2  . e8‹Ω = {1, 2}, KÇ5êß|Ax = bkðı)ø©7á^á è( ). (2015c) (A) a 6∈ Ω, d 6∈ Ω (B) a 6∈ Ω, d ∈ Ω (C) a ∈ Ω, d 6∈ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω 4. A¥4 × 3› , η1, η2, η3¥ö‡gÇ5êß|Ax = β3áÇ5Ã'), k1, k2è?ø~Í, KAx = βœ)è( ). (2011c) (A) η2+η3 2 + k1(η2 − η1) (B) η2−η3 2 + k2(η2 − η1) (C) η2+η3 2 + k1(η3 − η1) + k2(η2 − η1) (D) η2−η3 2 + k2(η2 − η1) + k1(η3 − η1) 5. n› Aäë› A∗ 6= 0, eξ1, ξ2, ξ3, ξ4 ¥ö‡gÇ5êß|Ax = bpÿÉ), KÈA ‡gÇ5êß|Ax = 0ƒ:)X( ). (2004c) 1

(A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量 6.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)X=0().(2002年) (A)当n>m时仅有零解 (B)当n>m时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解 (D)当m>n时必有非零解 7.设A是n阶矩阵,a是n维列向量.若秩 秩(4),则线性方程组().(2001年) (A)AX=a必有无穷多解 (B)AX=a必有唯一解 A 0仅有零解 0必有非零解 y 8.设A为n阶实矩阵,A是A的转置矩阵,则对于线性方程组(a):AX=0和(b):4AX=0,必有() (2000年) (A)(b)的解是(a)的解,(a)的解也是(b)的解(B)(b)的解是(a)的解,但(a)的解不是(b)的解 (C)(a)的解不是(b)的解,(b)的解也不是(a)的解(D)(a)的解是(b)的解,但(b)的解不是(a)的解 9.设a1a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量,且秩(4)=3,a1=(1,2,3,4),a2+a3= (0,1,2,3)2,c表示任意的常数,则线性方程组AX=B的通解为().(2000年) 3 10.齐次线性方程组 Ax1+x2+A2x3=0 的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0,则().(199年) (A)A=-2且B=0(B)A=-2且B≠0(C)A=-1且B=0(D)A=1且B≠0 11.设A为m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是().(1992年) (A)A的列向量线性无关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关 填空题

(A) ÿ3 (B) =¹òáö")ï˛ (C) ¹k¸áÇ5Ã')ï˛ (D) ¹knáÇ5Ã')ï˛ 6. A¥m × n› , B¥n × m› , KÇ5êß|(AB)X = 0( ). (2002c) (A) n > mû=k") (B) n > mû7kö") (C) m > nû=k") (D) m > nû7kö") 7. A¥n› , α¥nëï˛. eù A α α T 0 ! =ù(A), KÇ5êß|( ). (2001c) (A) AX = α7kðı) (B) AX = α7kçò) (C) A α α T 0 ! X y ! = 0=k") (D) A α α T 0 ! X y ! = 07kö") 8. Aèn¢› , AT¥A=ò› , KÈuÇ5êß|(a): AX = 0⁄(b):AT AX = 0, 7k( ). (2000c) (A) (b))¥(a)), (a))è¥(b)) (B) (b))¥(a)), (a))ÿ¥(b)) (C) (a))ÿ¥(b)), (b))èÿ¥(a)) (D) (a))¥(b)), (b))ÿ¥(a)) 9. α1, α2, α3¥oö‡gÇ5êß|AX = Bná)ï˛, Öù(A) = 3, α1 = (1, 2, 3, 4)T , α2+α3 = (0, 1, 2, 3)T , cL´?ø~Í, KÇ5êß|AX = Bœ)è( ). (2000c) (A)   1 2 3 4   + c   1 1 1 1   (B)   1 2 3 4   + c   0 1 2 3   (C)   1 2 3 4   + c   2 3 4 5   (D)   1 2 3 4   + c   3 4 5 6   10. ‡gÇ5êß|    λx1 + x2 + λ 2x3 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 x1 + x2 + λx3 = 0 XÍ› PèA. e3n› B 6= 0¶AB = 0, K( ). (1998c) (A) λ = −2Ö|B| = 0 (B) λ = −2Ö|B| 6= 0 (C) λ = −1Ö|B| = 0 (D) λ = 1Ö|B| 6= 0 11. Aèm × n› , ‡gÇ5êß|AX = 0=k")ø©^á¥( ). (1992c) (A) Aï˛Ç5Ã' (B) Aï˛Ç5É' (C) A1ï˛Ç5Ã' (D) A1ï˛Ç5É' . WòK 2

1.设A=11-1,b=1|,Ax=6有无穷多解,则a=().(2019年) 01 1 2.设A B=1其中a1≠a1(≠1,j 1,2,…,n).则线性方程组AX=B的解是().(1996年) x1+x2=-a1 3.若线性方程组 有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件().(1990年) T3+a= 4.齐次线性方程组{x1+2+x3=0只有零解,则X应满足的条件是().(199年 0 三.计算题 1.设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同特征值,且a3=a1+2a2 (1)证明:r(4)=2; (2)若B=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解.(2017年) 2.设矩阵A 1,且方程组Ax=B无解 (1)求a的值; (2)求方程组ATAx=AB的通解.(2016年) 3.设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 (1)求Ax=0的一个基础解 (2)求满足AB=E的所有矩阵B.(2014年) 4.设A=0x-10,b=(1,1)7.已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解 (1)求入a; (2)求方程组Ax=b的通解.(2010年)

1. A =   1 0 −1 1 1 −1 0 1 a 2 − 1  , b =   0 1 a  , Ax = bkðı), Ka =( ). (2019c) 2. A =   1 1 1 · · · 1 a1 a2 a3 · · · an a1 2 a2 2 a3 2 · · · an 2 . . . . . . . . . . . . . . . a1 n−1 a2 n−2 a3 n−1 · · · an n−1   , X =   x1 x2 x3 . . . xn   , β =   1 1 1 . . . 1   Ÿ•ai 6= aj (i 6= j;i, j = 1, 2, · · · , n). KÇ5êß|AT X = β)¥( ). (1996c) 3. eÇ5êß|    x1 + x2 = −a1 x2 + x3 = a2 x3 + x4 = −a3 x4 + x1 = a4 k), K~Ía1, a2, a3, a4A˜v^á( ). (1990c) 4. ‡gÇ5êß|    λx1 + x2 + x3 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 êk"), KλA˜v^á¥( ). (1989c) n. OéK 1. 3› A = (α1, α2, α3)k3áÿ”Aä, Öα3 = α1 + 2α2. (1) y²: r(A) = 2; (2) eβ = α1 + α2 + α3, ¶êß|Ax = βœ). (2017c) 2. › A =   1 1 1 − a 1 0 a a + 1 1 a + 1  , β =   0 1 2a − 2  , Öêß|Ax = βÃ). (1) ¶aä; (2) ¶êß|AT Ax = AT βœ). (2016c) 3. › A =   1 −2 3 −4 0 1 −1 1 1 2 0 −3  , Eèn¸†› . (1) ¶Ax = 0òáƒ:)X; (2) ¶˜vAB = E§k› B. (2014c) 4. A =   λ 1 1 0 λ − 1 0 1 1 λ  , b = (a, 1, 1)T . ÆÇ5êß|Ax = b3¸áÿ”). (1) ¶λ, a; (2) ¶êß|Ax = bœ). (2010c) 3

5.设n元线性方程组Ax=b,其中矩阵A 其中A为n阶方阵,x= (1 (1)证明行列式|A|=(n+1)a (2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.(2008年) 0 6.设线性方程组{x+22+an3=0与方程x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a的值及所有公共解 0 (2007年) 7.将4维向量组a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2)2,a3=(3,3,3+a,3)2,a4=(4,4,4,4+a)2 问a为何值时a1,a2,a3,a4线性相关?当a1,a2,a3,a4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将 其余向量用该极大线性无关组线性表出.(2006年) (a1 +b)z1+a2I2+a3T3+.+an iIn=0 a1T1+(a2+b)22+a3T3+.+anIn=0 8.已知齐次线性方程组{a1x1+a2x2+(a3+b)x3+…+anxn=0,其中a1+a2+…+an≠0.试讨 a1T1+a2C2+a3I3+.+(an+bIn=0 论a1,a2,…,an和b满足何关系时, (1)方程组仅有零解 (2)方程组有非零解.此时,求方程组的一个基础解系.(2003年) ar1+bx2+br3+…+bxn=0 9.设齐次线性方程组 1+ax2+bx3+…+bxn=0 ,其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值 ba1+ bI2+br3 +.+arn=0 时,方程组仅有零解,有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解 (2002年) 1+a1x2+a12x3=a1 10.设线性方程组 x1+a2x2+a22x3=a (1)证明:若(a1,a2,a3,a4)两两不相等,则此线性方程组无解;

5. nÇ5êß|Ax = b, Ÿ•› A =   2a 1 · · · 0 0 a 2 2a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 2a 1 0 0 · · · a 2 2a   , Ÿ•Aènê , x = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (1, 0, · · · , 0)T . (1) y²1™|A| = (n + 1)a n; (2) aè¤äû, Têß|kçò), ø¶x1¶ (3) aè¤äû, Têß|kðı), ø¶œ). (2008c) 6. Ç5êß|    x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 + ax3 = 0 x1 + 4x2 + a 2x3 = 0 Üêßx1 + 2x2 + x3 = a − 1k˙
), ¶aä9§k˙
). (2007c) 7. Ú4ëï˛|α1 = (1 + a, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 2 + a, 2, 2)T , α3 = (3, 3, 3 + a, 3)T , α4 = (4, 4, 4, 4 + a) T , Øaè¤äûα1, α2, α3, α4Ç5É'? α1, α2, α3, α4Ç5É'û, ¶Ÿòá4åÇ5Ã'|, øÚ Ÿ{ï˛^T4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2006c) 8. ƇgÇ5êß|    (a1 + b)x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = 0 a1x1 + (a2 + b)x2 + a3x3 + · · · + anxn = 0 a1x1 + a2x2 + (a3 + b)x3 + · · · + anxn = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + (an + b)xn = 0 , Ÿ•a1 + a2 + · · · + an 6= 0. £? ÿa1, a2, · · · , an⁄b˜v¤'Xû, (1) êß|=k"); (2) êß|kö"). dû, ¶êß|òáƒ:)X. (2003c) 9. ‡gÇ5êß|    ax1 + bx2 + bx3 + · · · + bxn = 0 bx1 + ax2 + bx3 + · · · + bxn = 0 · · · · · · bx1 + bx2 + bx3 + · · · + axn = 0 , Ÿ•a 6= 0, b 6= 0, n ≥ 2. £?ÿa, bè¤ä û, êß|=k"), kðı|)? 3kðı|)û, ¶—‹), ø^ƒ:)XL´‹). (2002c) 10. Ç5êß|    x1 + a1x2 + a1 2x3 = a1 3 x1 + a2x2 + a2 2x3 = a2 3 x1 + a3x2 + a3 2x3 = a3 3 x1 + a4x2 + a4 2x3 = a4 3 (1) y²: e(a1, a2, a3, a4)¸¸ÿÉ, KdÇ5êß|Ã); 4

(2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1,B2是该方程组的两个解,其中B B2 写出此方程组的通解.(1994年) 11.k为何值时,线性方程组 有唯一解,无解,有无穷多组解?在有解的情况下,求出其全部解.(199年 x1+2x2-2x3=0 12.已知三阶矩阵B≠0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:{21-x2+A3=0 (1)求A的值 (2)证明B=0.(1992年) +x2+x3+x4+ 13.已知线性方程组 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 x2+x3+2x4+6x5=b 2 (1)a,b为何值时,方程组有解? (2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; (3)方程组有解时,求出方程组的全部解.(1990年) +x2+2x3+3x4=1 14设方程组为+3n2+6x3+4=3 问k1与k2各取何值,方程组无解?有唯一解?有无穷多 3x1-x2-k1x3+15x4=3 x2-10x3+12x4=k2 解?有无穷多解时,求其一般解.(1989年) 1-x2+4x 15.解线性方程组 x1+x3-x-4=-3 (197年) 3r1+x2+x3=1 四.证明题 设向量a1,a2,…,at是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量不是方程组AX=0的解, 即A8≠0.试证明:向量组B,B+a1,B+a2,…,B+at线性无关.(1996年) 王忠梅吕洪波方珍程潘红林鹭整理)

 (2) a1 = a3 = k, a2 = a4 = −k(k 6= 0), ÖÆβ1, β2¥Têß|¸á), Ÿ•β1 =  −1 1 1   , β2 = 1 1 1 ! —dêß|œ). (1994c) 11. kè¤äû, Ç5êß|    x1 + x2 + kx3 = 4 −x1 + kx2 + x3 = k 2 x1 − x2 + 2x3 = −4 kçò), Ã), kðı|)? 3k)ú¹e, ¶—Ÿ‹). (1993c) 12. Æn› B 6= 0, ÖBzòáï˛—¥±eêß|):    x1 + 2x2 − 2x3 = 0 2x1 − x2 + λx3 = 0 3x1 + x2 − x3 = 0 (1) ¶λä; (2) y²|B| = 0. (1992c) 13. ÆÇ5êß|    x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = 0 x2 + x3 + 2x4 + 6x5 = b 5x1 + 4x2 + 3x3 − x5 = 2 (1) a, bè¤äû, êß|k)? (2) êß|k)û, ¶—êß|—|òáƒ:)X; (3) êß|k)û, ¶—êß|‹). (1990c) 14. êß|è    x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x1 + 3x2 + 6x3 + x4 = 3 3x1 − x2 − k1x3 + 15x4 = 3 x1 − 5x2 − 10x3 + 12x4 = k2 , Øk1Ük2à¤ä, êß|Ã)? kçò)? kðı )? kðı)û, ¶ŸòÑ). (1988c) 15. )Ç5êß|    2x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = −4 x1 + x3 − x − 4 = −3 3x1 + x2 + x3 = 1 7x1 + 7x3 − 3x4 = 3 . (1987c) o. y²K 1. ï˛α1, α2, · · · , αt¥‡gÇ5êß|AX = 0òáƒ:)X, ï˛βÿ¥êß|AX = 0), =Aβ 6= 0. £y²: ï˛|β, β + α1, β + α2, · · · , β + αt Ç5Ã'. (1996c) (ßr ½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 5