厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（考研竞赛题选）线性空间

国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 线性空间部分) 选择题 1.设a1,a2,as3均为三维向量,任意常数k,L,向量组a1+ka3,a2+la3线性无关是向量组a1,a2,a3( (2014年) (A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件 既非充分又非必要条件 2.设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则().(2013年) (A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 设 1,a4=1,其中a,2,e,为任意常数,则下列向量 C2 组线性相关的是().(2012年 (A)a1,a,a3 (B)a1,a2,a34 (C)a1,a3,a4 (D)a2,a3,a4 4.设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于().(2010年) 00 000 1000 0100 0100 0-100 (C) 0010 00-10 00-10 0000 0000 0000 00 5.设AP均为阶矩阵,且PAP=010,若P=(a1,a2a3.Q=(a1+a2,a2,a3),则QAQ=( 002 (2009年)

I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (Ç5òm‹©) ò. ¿JK 1. α1, α2, α3˛ènëï˛, ?ø~Ík, l, ï˛|α1 + kα3, α2 + lα3Ç5Ã'¥ï˛|α1, α2, α3 ( ). (2014c) (A) 7áöø©^á (B) ø©ö7á^á (C) ø©7á^á (D) Qöø©qö7á^á 2. › A, B, C˛èn› , eAB = C, ÖBå_, K( ). (2013c) (A) › C1ï˛|Ü› A1ï˛|d (B) › Cï˛|Ü› Aï˛|d (C) › C1ï˛|Ü› B1ï˛|d (D) › Cï˛|Ü› Bï˛|d 3. α1 =   0 0 c1  , α2 =   0 1 c2  , α3 =   1 −1 c3  , α4 =   −1 1 c4  , Ÿ•c1, c2, c3, c4è?ø~Í, Keï˛ |Ç5É'¥( ). (2012c) (A) α1, α2, α3 (B) α1, α2, α34 (C) α1, α3, α4 (D) α2, α3, α4 4. Aè4È°› , ÖA2 + A = 0, eAùè3, KAÉqu( ). (2010c) (A)   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0   (B)   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0   (C)   1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0   (D)   −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0   5. A, P˛è3› , ÖP T AP =   1 0 0 0 1 0 0 0 2  , eP = (α1, α2, α3), Q = (α1+α2, α2, α3), KQT AQ = ( ). (2009c) 1

(A)110 002 002 002 002 6.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组线性相关的是().(2007年) (A)a1-a2,a2-a3,a3-a1 a1 (D)a1+2a2,a2+2a3,a3+2a1 Q1, a s均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是().(2006年) (A)若a1,a2…,a线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aa。线性相关 (B)若a1,a2,……,a线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关 (C)若a1,a2,……,a线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关 (D)若a1,a2,…,a线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关 8.设a1,a2,…,a,均为n维向量,下列结论不正确的是().(2003年) (A)若对于任意一组不全为零的数k2,k2,…,ks,都有k1a1+k2a2+…+kas≠0,则a1,a2 a,线性无关 (B)若a1,a2,…,a线性相关,则对于任意一组不全为零的数k2, k,都有k1a1+k2a2+ (C)a1,a2,……,a线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D)a1,a2,…,a,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 9.设向量可由向量组a1,a2,…,am线性表示,但不能由向量组a):an,a2,…,am-1线性表示,记向量 组(b):a1,a2,…,am-1,B,则().(1999) (A)am不能由(a)线性表示,也不能由(b)线性表示(B)am不能由(a)线性表示,但由可由(b)线性表示 (C)am可由(a)线性表示,也可由(b)线性表示D)am可由(a线性表示,但不能由(b)线性表示 1 aa 10.设n(n≥3阶矩阵A=aa1…a若矩阵A的秩为n-1,则a必为().(199年) aaa (A)1 11.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是().(1997年)

(A)   2 1 0 1 1 0 0 0 2   (B)   1 1 0 1 2 0 0 0 2   (C)   2 0 0 0 1 0 0 0 2   (D)   1 0 0 0 2 0 0 0 2   6. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|Ç5É'¥( ). (2007c) (A) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1 (B) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (C) α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D) α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1 7. α1, α2, · · · , αs˛ènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥( ). (2006c) (A) eα1, α2, · · · , αsÇ5É', KAα1, Aα2, · · · , Aαs Ç5É' (B) eα1, α2, · · · , αsÇ5É', KAα1, Aα2, · · · , Aαs Ç5Ã' (C) eα1, α2, · · · , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, · · · , Aαs Ç5É' (D) eα1, α2, · · · , αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, · · · , Aαs Ç5Ã' 8. α1, α2, · · · , αs˛ènëï˛, e(ÿÿ(¥( ). (2003c) (A) eÈu?øò|ÿè"Ík2, k2, · · · , ks, —kk1α1 + k2α2 + · · · + ksαs 6= 0, Kα1, α2, · · · , αsÇ5Ã' (B) eα1, α2, · · · , αsÇ5É', KÈu?øò|ÿè"Ík2, k2, · · · , ks, —kk1α1 + k2α2 + · · · +ksαs = 0 (C) α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'ø©7á^á¥dï˛|ùès (D) α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'7á^ᥟ•?ø¸áï˛Ç5Ã' 9. ï˛βådï˛|α1, α2, · · · , αmÇ5L´, ÿUdï˛|(a): α1, α2, · · · , αm−1Ç5L´, Pï˛ |(b): α1, α2, · · · , αm−1, β, K( ). (1999c) (A) αmÿUd(a)Ç5L´, èÿUd(b)Ç5L´(B) αmÿUd(a)Ç5L´, dåd(b)Ç5L´ (C) αmåd(a)Ç5L´, èåd(b)Ç5L´ (D) αmåd(a)Ç5L´, ÿUd(b)Ç5L´ 10. n(n ≥ 3)› A =   1 a a · · · a a 1 a · · · a a a 1 · · · a . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1   e› Aùèn − 1, Ka7è( ). (1998c) (A) 1 (B) 1 n−1 (C) −1 (D) 1 n−1 11. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|•, Ç5Ã'¥( ). (1997c) 2

(A)a1+a2,a2+a3,a3-a1 (B)a1+a2,a2+a3,a1+2a2+a3 (C)a1+2a2,2a2+3a3,3a3+a1 2.设有任意两个n维向量组a1,…,am和B1,…,Bm,若存在两组不全为零的数A1,…,Am和k1,…,k 使(1+k1)a1+…+(Mm+km)am+(A1-k1)61+…+(λ ).(1996年) )a1,…,am和B1,…,Bn都线性相关 B)a1,……,am和B1,…,Bm都线性无关 C)a1+B1,…,am+Bm,a1-B1,…,am-Bn线性无关 (D)a1+B1,…,am+Bm,a1-B1,…,am-Bm线性相关 13.设A为m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是().(1992年) (A)A的列向量线性无关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关 14.向量组a1,a2,……,as线性无关的充分条件是().(1990年) (A)a1,a2,…,a,均不为零向量 (B)a1,a2,…,as中任意两个向量的分量不成比 (C)a1,a2,……,as中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)a1,a2,…,a,中有一部分向量线性无关 15.设m阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中().(1987年) (A)必有r个行向量线性无关 (B)任意r个行向量均可构成极大无关组 (C)任意r个行向量均线性无关 (D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 填空题 1.设矩阵A=112|.a,a2a3线性无关的维列向量组,则向量组A,.Am,A3的秩为() 011 (2017年) 2.设阶矩阵A=212,三维列向量a=(a,1,1).已知Aa与线性相关,则a=().(202年) 304 k111 3.设矩阵A 1k11 ,且秩(4)=3,则k=().(2001年) 11k 111k

(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 − α1 (B) α1 + α2, α2 + α3, α1 + 2α2 + α3 (C) α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 (D) α1 + α2 + α3, 2α1 − 3α2 + 22α3, 3α1 + 5α2 − 5α3 12. k?ø¸ánëï˛|α1, · · · , αm⁄β1, · · · , βm, e3¸|ÿè"Íλ1, · · · , λm⁄k1, · · · , km ¶(λ1 + k1)α1 + · · · + (λm + km)αm + (λ1 − k1)β1 + · · · + (λm − km)βm = 0, K( ). (1996c) (A) α1, · · · , αm⁄β1, · · · , βm—Ç5É' (B) α1, · · · , αm⁄β1, · · · , βm—Ç5Ã' (C) α1 + β1, · · · , αm + βm, α1 − β1, · · · , αm − βmÇ5Ã' (D) α1 + β1, · · · , αm + βm, α1 − β1, · · · , αm − βmÇ5É' 13. Aèm × n› , ‡gÇ5êß|AX = 0=k")ø©^á¥( ). (1992c) (A) Aï˛Ç5Ã' (B) Aï˛Ç5É' (C) A1ï˛Ç5Ã' (D) A1ï˛Ç5É' 14. ï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'ø©^á¥( ). (1990c) (A) α1, α2, · · · , αs˛ÿè"ï˛ (B) α1, α2, · · · , αs•?ø¸áï˛©˛ÿ§' (C) α1, α2, · · · , αs•?øòáï˛˛ÿUdŸ{s − 1áï˛Ç5L´ (D) α1, α2, · · · , αs•kò‹©ï˛Ç5Ã' 15. nê Aùr < n, K3Aná1ï˛•( ). (1987c) (A) 7krá1ï˛Ç5Ã' (B) ?ørá1ï˛˛å§4åÃ'| (C) ?ørá1ï˛˛Ç5Ã' (D) ?ò1ï˛˛ådŸ¶rá1ï˛Ç5L´ . WòK 1. › A =   1 0 1 1 1 2 0 1 1  , α1, α2, α3èÇ5Ã'3ëï˛|, Kï˛|Aα1, Aα2, Aα3ùè( ). (2017c) 2. 3› A =   1 2 −2 2 1 2 3 0 4  , nëï˛α = (a, 1, 1)0 . ÆAαÜαÇ5É', Kα=( ). (2002c) 3. › A =   k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k   , Öù(A) = 3, Kk = ( ). (2001c) 3

算题 1.已知向量组()a1=(1,1,4),a2=(1,0,4),a3=(1,2,a2+3).(I)1=(1,1,a+3),B2 (0,2,1-a),B3=(1,3,a2+3).若向量组(I)和向量组(I)等价,求a的取值,并将3用a1,a2,a3线性表 出.(2019年) 0-1 2.已知矩阵A=|2-30 (2)设三阶矩阵B=(a1,a2,a3)满足B2=BA.记B100=(61,B2,B3),将1,B2,B3分别表示 为 a3的线性组合.(2016年) 1a00 3.设A_01a0 001a 001 0 (1)求4; (2)已知线性方程组AX=B有无穷多解,求a,并求AX=B的通解.(2012年) 4.设向量组a1=(1,0,1),a2=(0,1,1)r,a3=(1,3,5),不能由向量组1=(1,1,1)2,B2=(1,2,3), B3=(3,4,a)线性表示 (1)求a的值; (2)将B1,B2,B3用a1,a2,a3线性表示.(2011年) 5.A为3阶是对称矩阵,A的秩为2,且A00 (1)求A的特征值与特征向量 (2)矩阵A.(2011年) 6.设A=-13a,正交矩阵Q使得QAQ为对角阵若Q的第一列是(12.17,求Q.(200年) 7.设A=-111|,51=(-1.-2)7 0-4-2 (1)求满足A2=51,A253=51的所有向量2,53 (2)对(1)中的任一向量2,53,证明:51,E2,53线性无关.(2009年)

n. OéK 1. Æï˛|(I) α1 = (1, 1, 4)T , α2 = (1, 0, 4)T , α3 = (1, 2, a2 + 3)T . (II) β1 = (1, 1, a + 3)T , β2 = (0, 2, 1 − a), β3 = (1, 3, a2 + 3). eï˛|(I)⁄ï˛|(II)d, ¶aä, øÚβ3^α1, α2, α3Ç5L —. (2019c) 2. Æ› A =   0 −1 1 2 −3 0 0 0 0  . (1) ¶A99; (2) n› B = (α1, α2, α3) ˜vB2 = BA. PB100 = (β1, β2, β3), Úβ1, β2, β3 ©OL´ èα1, α2, α3Ç5|‹. (2016c) 3. A =   1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1   , β =   1 −1 0 0   . (1) ¶|A|; (2) ÆÇ5êß|AX = βkðı), ¶a, ø¶AX = βœ). (2012c) 4. ï˛|α1 = (1, 0, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (1, 3, 5)T , ÿUdï˛|β1 = (1, 1, 1)T , β2 = (1, 2, 3)T , β3 = (3, 4, a) T Ç5L´. (1) ¶aä; (2) Úβ1, β2, β3^α1, α2, α3Ç5L´. (2011c) 5. Aè3¥È°› , Aùè2, ÖA   1 1 0 0 −1 1   =   −1 1 0 0 1 1  . (1) ¶AAäÜAï˛; (2) › A. (2011c) 6. A =   0 −1 4 −1 3 a 4 a 0  , › Q¶QT AQèÈ , eQ1ò¥√ 1 6 (1, 2, 1)T , ¶a, Q. (2010c) 7. A =   1 −1 −1 −1 1 1 0 −4 −2  , ξ1 = (−1.1. − 2)T . (1) ¶˜vAξ2 = ξ1, A2 ξ3 = ξ1§kï˛ξ2, ξ3; (2) È(1)•?òï˛ξ2, ξ3, y²: ξ1, ξ2, ξ3Ç5Ã'. (2009c) 4

8.设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1特征值,向量a3满足Aa3=a2+a3, (1)证明a1,a2,a3线性无关; (2)令P=(a1,a2,a3),求P-1AP.(2008年) 9.将4维向量组a1=(1+a,1,1,1)7,a2=(2,2+a,2,2)7,a3=(3,3,3+a,3)7,a4=(4,4,4,4+a)2, 问a为何值时a1,a2,a3,a4线性相关?当a1,a2,as3,a4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将 其余向量用该极大线性无关组线性表出.(200年) 10.设a1=(1,2,0),a2=(1,a+2,-3a),a3=(-1,-b-2,a+2b)2,B=(1,3,-3)2.试讨论当a,b为何 值时 (1)B不能由a1,a2,a3线性表示; (2)B可由a1,a2,a3唯一的线性表示,并求出表示式 (3)可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.(2004年) 11.设向量组a1=(a,2,10)a2=(-2,1,5)'a3=(-1,1,4),B=(1,b,c),试问:当a,b,c满足什么条件 (1)可由a1,a2,a3线性表出,且表示唯一? (2)B不能由a1,a2,a3线性表出? (3)可由a1,a2,a3线性表出,但表示不唯一?并求出一般表示式.(2000年) 1+入 2.设有三维列向量a1=1,a2=1+,a3=1,B=x问取何值时, (1)B可由a1,a2,a3线性表示,且表达式唯 (2)B可由a1,a2,a3线性表示,且表达式不唯 (3)B不能由a1,a2,a3线性表示.(1991年) 13.设a1=(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,t) (1)问当t为何值时,向量组a1,a2,a3线性无关 (2)问当t为何值时,向量组a1,a2,a3线性相关 (3)当向量组a1,a2,a3线性相关时,将a表示为a1和a2的线性组合.(1989年) 14.设向量组a1,a2,…,a2(s≥2)线性无关,且B1=a1+a2,B2=a2+a3,…,B-1=aa-1+a3,B as+a1,讨论向量组,B2,…,B的线性相关性.(1988年 四.证明题

8. Aè3› , α1, α2èA©O·uAä−1ß1Aä, ï˛α3˜vAα3 = α2 + α3, (1) y²α1, α2, α3Ç5Ã'; (2) -P = (α1, α2, α3), ¶P −1AP. (2008c) 9. Ú4ëï˛|α1 = (1 + a, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 2 + a, 2, 2)T , α3 = (3, 3, 3 + a, 3)T , α4 = (4, 4, 4, 4 + a) T , Øaè¤äûα1, α2, α3, α4Ç5É'? α1, α2, α3, α4Ç5É'û, ¶Ÿòá4åÇ5Ã'|, øÚ Ÿ{ï˛^T4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2006c) 10. α1 = (1, 2, 0)T , α2 = (1, a + 2, −3a) T , α3 = (−1, −b − 2, a + 2b) T , β = (1, 3, −3)T . £?ÿa, bè¤ äû, (1) βÿUdα1, α2, α3Ç5L´; (2) βådα1, α2, α3çòÇ5L´, ø¶—L´™; (3) βådα1, α2, α3Ç5L´, L´™ÿéò, ø¶—L´™. (2004c) 11. ï˛|α1 = (a, 2, 10)0 ,α2 = (−2, 1, 5)0 ,α3 = (−1, 1, 4)0 , β = (1, b, c) 0 , £Ø: a, b, c˜vüo^á û, (1) βådα1, α2, α3Ç5L—, ÖL´çò? (2) βÿUdα1, α2, α3Ç5L—? (3) βådα1, α2, α3Ç5L—, L´ÿçò? ø¶—òÑL´™. (2000c) 12. knëï˛α1 =   1 + λ 1 1   , α2 =   1 1 + λ 1   , α3 =   1 1 1 + λ   , β =   0 λ λ 2   Øλ¤äû, (1) βådα1, α2, α3Ç5L´, ÖLà™çò; (2) βådα1, α2, α3Ç5L´, ÖLà™ÿçò; (3) βÿUdα1, α2, α3Ç5L´. (1991c) 13. α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 2, 3), α3 = (1, 3, t). (1)Øtè¤äû, ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã'? (2)Øtè¤äû, ï˛|α1, α2, α3Ç5É'? (3)ï˛|α1, α2, α3Ç5É'û, Úα3L´èα1⁄α2Ç5|‹. (1989c) 14. ï˛|α1, α2, · · · , αs(s ≥ 2)Ç5Ã', Öβ1 = α1 + α2, β2 = α2 + α3, · · · , βs−1 = αs−1 + αs, βs = αs + α1, ?ÿï˛|β1, β2, · · · , βsÇ5É'5. (1988c) o. y²K 5

1.设向量a1,a2,……,ot是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解 即AB≠0.试证明:向量组B,B+a1,B+a2,…,B+a线性无关,(1996年) 2.已知向量组:a)a1,a2,a3;(b)a1,a2,a3,a4;(c)a1,a2,a3,a5,如果各向量组的秩分别为r(a)=r(b) 3,r(c)=4.证明:向量组a1,a2,a3,a5,=a4的秩为4.(1995年) 3.试证明n维列向量组a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是 02 an (1991年) 王忠梅吕洪波方珍程潘红林鹭整理)

1. ï˛α1, α2, · · · , αt¥‡gÇ5êß|AX = 0òáƒ:)X, ï˛βÿ¥êß|AX = 0), =Aβ 6= 0. £y²: ï˛|β, β + α1, β + α2, · · · , β + αtÇ5Ã'. (1996c) 2. Æï˛|: (a) α1, α2, α3; (b) α1, α2, α3, α4; (c) α1, α2, α3, α5, XJàï˛|ù©Oèr(a) = r(b) = 3, r(c) = 4. y²: ï˛|α1, α2, α3, α5, −α4ùè4. (1995c) 3. £y²nëï˛|α1, α2, · · · , αnÇ5Ã'ø©7á^ᥠD =           α1 T α1 α1 T α2 · · · α1 T αn α2 T α1 α2 T α2 · · · α2 T αn · · · · · · · · · · · · αn T α1 αn T α2 · · · αn T αn           6= 0 (1991c) (ßr ½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 6