首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 (数学类,2009) 考试形式:闭卷_考试时间:120分钟满分:100分 题号 四 五 六 七总分 满分1 5 10 10 15 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 得分 、(15分)求经过三平行直线 评阅人 L:x=y==,L 的圆柱面的方程 迟出 第1页(共6页
第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 （数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一、（15 分）求经过三平行直线 1 Lx y z : = = ， 2 Lx y z :1 1 − = =+ ， 3 Lx y z : 11 = += − 的圆柱面的方程. 得 分 评阅人
得分 、(20分)设Cm是n×n复矩阵全体在通常的运算下所构成 评阅人 00:0-an 的复数域C上的线性空间,F=0 (1)假设A= 若AF=FA,证明 A=a f+a. -+.+af+ae (2)求Cm的子空间C(F)={XECm|FX=MF的维数 第2页(共6页)
第 2 页（ 共 6 页） 二、（20 分）设 n n C × 是n n × 复矩阵全体在通常的运算下所构成 的复数域C 上的线性空间， 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00 1 n n n a a F a a − − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ − # # # # ### # # . （1）假设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " """" " ，若 AF FA = ，证明： 1 2 1 11 21 11 n n A aF a F aF aE n n − − = + ++ + − " . （2）求 n n C × 的子空间 () | { } n n C F X C FX XF × =∈ = 的维数. 得 分 评阅人
得分 三、(15分)假设V是复数域C上n维线性空间(n>0),∫,g 评阅人 是V上的线性变换如果/g-gf=f,证明:f的特征值都是 0,且∫,g有公共特征向量 迟出 第3页(共6页)
第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 三、（15 分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（n > 0 ），f , g 是V 上的线性变换.如果 fg gf f − = ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共特征向量. 得 分 评阅人
得分 四、(10分)设{(x)是定义在[ab]上的无穷次可微的函数序 评阅人 列且逐点收敛,并在[a上满足n(x)≤M.(1)证明{(x) 在[a]上一致收敛;(2)记f(x)=limf(x),问f(x)是否一定在[上处处可导,为 什么? 得分 五、(10分)设an= d,证明∑一发散 sin t 评阅人 第4页(共6页)
第 4 页（ 共 6 页） 四、（10 分）设{ fn ( ) x }是定义在[a b, ]上的无穷次可微的函数序 列且逐点收敛，并在[a b, ]上满足 '( ) nf x M≤ .（1）证明{ fn ( ) x } 在[a b, ]上一致收敛；（2）记 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = ，问 f ( ) x 是否一定在[a b, ]上处处可导，为 什么? 五、（10 分）设 3 2 0 sin d sin n nt at t t π = ∫ ， 证明 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. 得 分 评阅人 得 分 评阅人
得分 15分)f(x,y)是{(x,y)x2+y2s上二次连 评阅人 续可微函数,满足+/=xy2,计算积分 f 可f x2+12 ay 第5页(共6页
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 六、（15 分）f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次连 续可微函数，满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，计算积分 2 2 1 22 22 d d x y xf yf I xy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 得 分 评阅人
得分 七、(15分)假设函数f(x)在[O,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过 评阅人 点A(0,f(0),与点B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c,f(c),其中0<c<1.证明:在(O,1)内至少存在一点ξ,使∫"()=0 第6页(共6页)
第 6 页（ 共 6 页） 七、（15 分）假设函数 () f x 在 [0, 1]上连续，在(0, 1) 内二阶可导，过 点 (0, (0)) A f ，与点 (1, (1)) B f 的直线与曲线 () y = f x 相交于点 Cc f c ( , ( ))，其中 0 1 < <c . 证明：在 (0, 1) 内至少存在一点 ξ ，使 () 0 f ′′ ξ = . 得 分 评阅人