首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 (数学类,2009) 考试形式:闭卷考试时间:120分钟满分:100分 题号 四 五 六 七总分 满分1 5 10 10 15 得分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记 得分 、(15分)求经过三平行直线L:x=y=, 评阅人 L2:x-1=y=z+1,l3:x=y+1=--1的圆柱面的方程 解:先求圆柱面的轴L的方程.由已知条件易知,圆柱面母线的方向是 迟出 n=(1,1,1),且圆柱面经过点O(0,0,0),过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平 面x的方程为:x+y+z=0 (3分) 丌与三已知直线的交点分别为O0,0,0),P(,0,-1),Q(0,-1,1) (5分) 圆柱面的轴L是到这三点等距离的点的轨迹,即 12+ +(2+ (y+1)2+(二-1) x-二 (9分) y 将L的方程改为标准方程 圆柱面的半径即为平行直线x=y=z和x-1=y+1=z之间的距离.P(1-1,0) 第1页(共6页
第 1 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 一 、（ 15 分）求经过三平行直线 1 Lx y z : = = ， 2 Lx y z :1 1 − = =+ ， 3 Lx y z : 11 = += − 的圆柱面的方程. 解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是 n = (1,1,1) G ， 且圆柱面经过点O(0,0,0) ， 过点O(0,0,0) 且垂直于n = (1,1,1) G 的平 面π 的方程为： xyz ++= 0 . ……………………………（3 分) π 与三已知直线的交点分别为OP Q (0,0,0), (1,0, 1), (0, 1,1) − − ………… （5 分) 圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) xyz x y z xyzx y z ⎪⎧ + + =− + ++ ⎨ ⎪⎩ + + = ++ +− ， 即 1 1 x z y z ⎧ − = ⎨ ⎩ − = − ，……………………………………………（9 分) 将 L0 的方程改为标准方程 x −1 1 = += y z. 圆柱面的半径即为平行直线 x = y z = 和 x −1 1 = += y z 之间的距离. 0 P (1, 1,0) − 得 分 评阅人
为L上的点 (12分) 对圆柱面上任意一点Sxy,2),有nxBS1_1nxBO,即 n n 2)2=6 所以,所求圆柱面的方程为 3x+3y=0 (15分) 得分 、(20分)设C是n×n复矩阵全体在通常的运算下所构成 评阅人 10:0 的复数域C上的线性空间,F=01:0-am2 (1)假设A=aa2 an|,若AF=FA,证明: a,F+aE (2)求Cm的子空间C(F)={XC|FX=F}的维数 (1)的证明:记A=(a1,a2…,an),M=anFm+an-1Fm2+…+a2F+a1E要证明 M=A,只需证明A与M的各个列向量对应相等即可若以e记第i个基本单位列向 量于是,只需证明:对每个,Me1=Ae(=ar) (2分) 若记B=(-an,-an1…-a1),则F=(2eg,…en,B)注意到 F F2e= fe F-e=F(f-e, (6分) 由 Me, =(aF+a.F+ .+a F+aeje e, a a2, +a a21e2+a1e1 (10分) A Me,=MFe,=FMe,= FAe= AFe= Ae, 第2页(共6页)
第 2 页（ 共 6 页） 为 L0 上的点. ………………………………………………………………. （12 分) 对圆柱面上任意一点Sxyz (, ,)， 有 0 0 | || | || || n PS n PO n n × × = G JJJG G JJJG G G ， 即 22 2 ( 1) ( 1) ( 2) 6 − + − + − − +− + + = yz xz xy ， 所以，所求圆柱面的方程为： 2 22 x y z xy xz yz x y ++−−−−+ = 33 0 . ………………. （15 分) 二、（20 分）设 n n C × 是n n × 复矩阵全体在通常的运算下所构成 的复数域C 上的线性空间， 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00 1 n n n a a F a a − − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ − # # # # ### # # . （1）假设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " """" " ，若 AF FA = ，证明： 1 2 1 11 21 11 n n A aF a F aF aE n n − − = + ++ + − " ； （2）求 n n C × 的子空间 () | { } n n C F X C FX XF × =∈ = 的维数. （1）的证明:记 1 2 (, , , ) A = α α α " n ， 1 2 1 11 21 11 n n M n n aF a F aF aE − − = + ++ + − " .要证明 M = A，只需证明 A与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 i e 记第i 个基本单位列向 量.于是，只需证明：对每个i ， ( ) Me Ae i ii = =α . ……………………… （2 分) 若记 1 1 ( , ,, )T n n β aa a =− − − − " ，则 2 3 (,, ,,) F ee e = " n β .注意到， 2 12 12 1 23 1 1 1 , ,, ( ) n n Fe e F e Fe e F e F F e Fe e n n − − = == = = = " − （*） ….. （6 分) 由 1 2 1 1 11 21 11 1 1 2 1 1 11 1 21 1 11 1 1 11 1 21 2 11 1 1...............................................(10 ( ) n n n n n n n n nn n n Me a F a F a F a Ee a F e a F e a Fe a Ee ae a e ae ae α Ae − − − − − − − − 1 = + ++ + = + + + + = + + + + = = " " " 分） 知M 2 1 1 1 12 e MFe FMe FAe AFe Ae = = === 得 分 评阅人
e=mfe=F Me=F2 ae= aFe=ae Me= MF 把e1=F" 所以,M=A (14分) (2)解:由(1),C(F)=pm{E,F,F2,…,Fm}, (16分) 设xE+xF+x2F2+…+xn1Fm=O,等式两边同右乘e,利用(*)得 8=0e=(xE+x, F+x,F+.+x-F)e xoEe,+xFe,+xFe,+ .e+xe+xe +...+x e (18分) 因e1e2e3…en线性无关,故,x0=x1=x2=…=xn1=0 (19分) 所以,E,F,F2,…,F线性无关因此,E,F,F2…,F是C(F)的基,特别地, dimC(F) (20分) 得分 (15分)假设V是复数域C上n维线性空间(n>0),f,g 评阅人 是V上的线性变换如果-8f=∫,证明:∫的特征值都是 迟出 0,且∫,g有公共特征向量 证明:假设λ是∫的特征值,W是相应的特征子空间,即 W={∈F|f(m)=m于是,W在∫下是不变的 (1分) 下面先证明,41=0任取非零n∈W,记m为使得n,g(m)g2(m)…,g"(n)线性相关的 最小的非负整数,于是,当0≤i≤m-1时,n,8(m),g(m)…,g(n)线性无关(2分) 0≤i≤m-1时令W=spm{,g(),g(m),…g(m)},其中,W={}因此,dmW (1≤i≤m),并且,Wn=Wm=Wn2=…显然,g(W)W1,特别地,W在g下 是不变的 (4分) 下面证明,W在∫下也是不变的事实上,由f(7)=3n,知 g(m)=gf(m)+f(m)=1g(7)+A3n (5分) 第3页(共6页)
第 3 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： 22 2 2 M 3 1 1 1 13 e MF e F Me F Ae AF e Ae = = === """"" 11 1 1 1 111 nn n n M n n e MF e F Me F Ae AF e Ae −− − − = = === 所以，M = A. ………………………….. （14 分) （2）解： 由（1）， 2 1 () {, , , , } n C F span E F F F − = " ，………… （16 分) 设 2 1 012 1 n n x E xF xF x F O − + + ++ = " − ，等式两边同右乘 1e ，利用（*）得 2 1 10 1 2 1 1 ( ) n θ Oe x E x F x F x F e n − = = + + ++ " − 2 1 01 11 2 1 1 1 01 12 23 1 .........................(18 n n n n x Ee x Fe x F e x F e xe xe xe x e − − − = + + ++ = + + ++ " " 分） 因 123 ,,, , n eee e " 线性无关，故， 012 1 0 n xxx x = === = " − …………（19 分) 所以， 2 1 ,, , , n EFF F " − 线性无关.因此， 2 1 ,, , , n EFF F " − 是C F( ) 的基，特别地， dim ( ) CF n = . ……………………………（20 分) 三、（15 分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（n > 0 ），f , g 是V 上的线性变换.如果 fg gf f − = ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共特征向量. 证 明 ：假设 λ0 是 f 的特征值， W 是相应的特征子空间，即 W Vf =∈ = {η | () η λη0 }.于是，W 在 f 下是不变的. …………………………（1 分) 下面先证明，λ0 =0.任取非零η ∈W ，记m 为使得 2 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " 线性相关的 最小的非负整数，于是，当0 1 ≤ i m≤ − 时， 2 , ( ), ( ), , ( ) i η gg g ηη η " 线性无关…..（2 分) 0 1 ≤≤ − i m 时令 2 1 { , ( ), ( ), , ( )} i W span g g g i η ηη η − = " ,其中， 0 W = { }θ .因此，dimW i i = （1≤ ≤i m），并且，WW W mm m = + + 1 2 = =". 显然， 1 ( )i i gW W⊆ + ，特别地，Wm在 g 下 是不变的. ……………………………（4 分) 下面证明，Wm在 f 下也是不变的.事实上，由 0 f ( ) η = λ η ，知 0 0 fg gf f g () () () () η = η η λ η λη += + …………（5 分) 得 分 评阅人
2()=8/g(7)+g(7) g(0g(7)+07)+(4g(m)+2) 42g2(m)+22g(m)+n (6分) 根据 (m)=8g(m)+←(m7) =g(g-)m)+g-(m) 用归纳法不难证明,(m)一定可以表示成7,g(m),g2()…,g(m)的线性组合,且 表示式中g(m)前的系数为石 (8分) 因此,W在∫下也是不变的,∫在W上的限制在基刀,g(),g2(m)…,g"(n)下的 矩阵是上三角矩阵,且对角线元素都是,因而,这一限制的迹为m2…(10分) 由于/-gf=f在W上仍然成立,而/-8f的迹一定为零,故m=0,即 (12分 任取n∈W,由于f(7)=,爬(m)=gf(m)+f(m)=g(0)+f(m)=0,所以 g(n)∈W因此,W在g下是不变的从而,在W中存在g的特征向量,这也是f,g的 公共特征向量 (15分) 得分 四、(10分)设{(x)是定义在[ab]上的无穷次可微的函数序 评阅人 列且逐点收敛,并在[订上满足(x)≤M.(1)证明{(x) 在[a]上一致收敛;(2)设∫(x)=limf(x),问f(x)是否一定在[ab]上处处可导为什 ? 证明:(1)vE>0,将区间ak等分,分点为x2=a+0,j=02…k,使 得n>N 使得|(x)-f(x)<6对每个j=02…K成立 (3分) 于是wx∈[a6],设x∈[x,x1,则 m(x)-f(x)sn(x)-m(x)+/(x)-f(x)+(x)-f() 第4页(共6页)
第 4 页（ 共 6 页） 2 0 00 0 2 0 00 .............................(6 () () () ( () ) ( () ) () 2 () fg gfg fg gg g g g η ηη λ η λη λ η λη λ η λ η λη = + = + + + = + + 分） 根据 1 1 1 1 () () () ( )( ) ( ) kk k k k fg gfg fg g fg fg η ηη η η − − − − = + = + 用归纳法不难证明， ( ) k fg η 一定可以表示成 2 , ( ), ( ), , ( ) k η gg g ηη η " 的线性组合，且 表示式中 ( ) k g η 前的系数为λ0 . …………………………………. （8分) 因此，Wm在 f 下也是不变的， f 在Wm上的限制在基 2 1 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " − 下的 矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是λ0 ，因而，这一限制的迹为mλ0 . …..（10 分) 由于 fg gf f − = 在Wm 上仍然成立，而 fg gf − 的迹一定为零，故 0 mλ = 0 ，即 λ0 =0. ………………………….. （12 分) 任取η ∈W ，由于 f ( ) η = θ ， fg gf f g f () () () () () η = η η θ ηθ +=+= ，所以， g W ( ) η ∈ .因此，W 在 g 下是不变的.从而，在W 中存在 g 的特征向量，这也是 f , g 的 公共特征向量. ………………………………. （15 分) 四、（10 分）设{ fn ( ) x }是定义在[a b, ]上的无穷次可微的函数序 列且逐点收敛，并在[a b, ]上满足 '( ) nf x M≤ .（1）证明{ fn ( ) x } 在[a b, ]上一致收敛；（2）设 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = ，问 f ( ) x 是否一定在[a b, ]上处处可导,为什 么？ 证明：（1）∀ > ε 0 ，将区间[a b, ] K 等分，分点为 ( ), 0,1,2, , j jb a x a jK K − =+ = " ，使 得 b a K ε − > mnN ， 使得 () () mj nj f x fx − < ε 对每个 j = 0,1,2, , " K 成立. ………………………….. （3 分) 于是∀ ∈x [,] a b ，设 1 [, ] j j x x x ∈ + ，则 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () m n m mj mj nj nj n f x fx f x f x f x fx fx fx −≤ − + − + − ， 得 分 评阅人
=Xx-x)+(x)-1(x)+1,Vm)x-x)<(2M+)…(5分) (2)不一定 (6分) 令(x)=1x2+,则f(x)=imnf(x)在[a上不能保证处处可导(10分) 得分 五、(10分)设a=[Fmd,证明∑发 sin t 评阅人 sin nt dt dt=1,+I (3分) sI sint sin nt 1= dt<nIntdt= n (5分) l2 dt (7分) (8分) 因此ax,由此得到∑发散 (10分) 得分 (15分)fxy)是{(xy)1x2+y2s1上二次 评阅人 连续可微函数,满足0faf 积分 f 解:采用极坐标x=rcs,y= raine,则 1= dr cos.---- at+ sine grde=」x以(ay d-dx(6分) ay (-,) (10分) 第5页(共6页)
第 5 页（ 共 6 页） 专业： 线 年级： 封 所在院校： 密 身份证号： 姓名： '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) m j mj nj n j = −+ − + − f ξ η xx f x fx f xx ，由此得到 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. ……………………（10 分) 六、（15 分） f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次 连续可微函数，满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，计算 积分 2 2 x y 1 22 22 xf yf I dxdy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 解： 采用极坐标 xr yr = cos , sin θ = θ ，则 1 2 0 0 cos sin f f I dr rd x y π θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⋅+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ 2 22 1 0 xyr f f dr dy dx x y + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ …..（6 分) 2 22 1 2 2 0 xyr f f dr dxdy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ 2 22 ( ) 1 2 2 0 xyr dr x y dxdy + ≤ = ∫ ∫∫ ……. （10 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人
= drl edpl cos2 0de (15分) 得分 七、(15分))假设函数f(x)在[O,1上连续,在(0,1)内二阶可导, 评阅人 过点AO,f(0),与点B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c,f(c),其中0<c<1.证明:在(0,1)内至少存在一点5,使∫"(2)=0 证明:因为f(x)在[0,c]上满足 Lagrange中值定理的条件,故存在51∈(0,c), 使f(5) f(c)-f(0) (4分) 由于C在弦AB上,故有 o)-()=0)-/0)=f()-o (7分) 从而f(5)=f()-f(0) (8分) 同理可证,存在2∈(c,1),使f(52)=f()-f(0). (11分) 由∫()=f(52),知在[,如2]上f(x)满足Roll定理的条件,所以存在 5∈(,2)c(0,1),使f"()=0 (15分) 第6页(共6页)
第 6 页（ 共 6 页） 1 2 5 22 00 0 cos sin 168 r dr d d π π = = ρ ρ θ θθ ∫∫ ∫ . ……………….（15 分) 七、（15 分））假设函数 () f x 在 [0, 1]上连续，在(0, 1) 内二阶可导， 过点 (0, (0)) A f ，与点 (1, (1)) B f 的直线与曲线 () y = f x 相交于点 Cc f c ( , ( ))，其中 0 1 < <c . 证明：在 (0, 1) 内至少存在一点 ξ ，使 () 0 f ′′ ξ = . 证明：因为 f ( ) x 在 [0, ] c 上满足 Lagrange中值定理的条件，故存在 1 ξ ∈(0, ) c ， 使 1 ( ) (0) ( ) 0 f c f f c ξ − ′ = − . …………………………………………………………………. （4 分) 由于 C 在弦 AB 上，故有 ( ) (0) (1) (0) 0 10 f cf f f c − − = − − = f (1) (0) − f . ……………….………….……….. （7 分) 从而 1 f ′( ) (1) (0) ξ = − f f . ……………………………………………...………..……….. （8分) 同理可证，存在 2 ξ ∈( , 1) c ，使 2 f ′( ) (1) (0) ξ = f f − . ………………….……..（11 分) 由 1 2 f f ′ ′ () () ξ = ξ ， 知 在 1 2 [, ] ξ ξ 上 f ′( ) x 满 足 Rolle 定理的条件，所以存在 1 2 ξ ξξ ∈ ⊂ ( , ) (0, 1) ，使 f ′′() 0 ξ = . …………………………………….………….…….（15 分) 得 分 评阅人
